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Temas - Luis Fuentes

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Foro general / Quino
« en: 01 Octubre, 2020, 09:12 am »
Hola

 Se ha ido Quino. D.E.P.



Saludos.

5
Hola

Se trata de  probar:

Sea    \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \)    continua. Supongamos que:

 para cada    \( x\in{[a,b]} \)    hay algún    \( y\in{[a,b]} \)    tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)

Entonces   \( f \)    se anula en algún punto de    \( [a,b] \).



En la demostración usaremos algunos resultados auxilares conocidos. Destaco:

Teorema A. Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente al mismo límite.
Teorema B. Dada función continua \( f:X\to Y \) entre dos espacios métricos, y una sucesión en \( X \) convergente \( \{x_n\}\to x \) se cumple que \( \{f(x_n)\} \) converge a \( f(x). \)
Teorema C. Toda sucesión contenida en un compacto tiene una subsucesión convergente en ese compacto (es decir el límite de la sucesión pertenece al compacto).
Teorema D. El límite de una sucesión de números reales si existe es único.

Pasos para la prueba del resultado:

1) Construimos una sucesión \( \{y_n\} \) contenida en \( [a,b] \) tal que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) para todo \( n>2 \).

Spoiler
Para ello escogemos un \( y_1 \) cualquiera en \( [a,b] \). Por la hipótesis (H) existe un \( y_2\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_2)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_1)| \).

Después de nuevo por (H) existe un \( y_3\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_3)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_2)| \).

De nuevo por (H) existe un \( y_4\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_4)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_3)| \).

Y así sucesivamente.
[cerrar]

2) La sucesión \( \{y_n\} \) construída anteriormente cumple que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \).

Spoiler
Es consecuencia de la relación recursiva vista en (1) \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) .
[cerrar]

3) La sucesión \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.

Spoiler
Basta tener en cuenta que:

\( 0\leq |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \)

Como \( |f(y_1)| \) es un valor constante, \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)|=0 \). Por el Teorema del Sandwich, deducimos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}|f(y_n)|=0 \) y por tanto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=0 \)
[cerrar]

4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).

5) Por el Teorema (A) la subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) de \( \{f(y_n)\} \) converge al mismo límite que ésta, es decir, a cero.

6) Por el Teorema (B) y por el paso (4), como \( f \) es continua y \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \), deducimos que \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \) con \( \sigma\in [a,b] \).

7) Por (6) tenemos que \( \{f(y_{n_k})\}\to f(\sigma) \) y por 5) que \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \). Por el Teorema (D), como el límite de una sucesión si existe es único, de deduce que \( f(\sigma)=0 \) y por tanto la función se anula en \( \sigma\in [a,b]. \)

6
Hola

 Recientemente en prensa, en muchísimo medios de comunicación digital (bien conocidos algunos), ha salido publicadas unas "reglas para ganar o jugar mejor o peor al Euromillón". Con diferentes titulares algunos más llamativos que otros, pero todos, supongo, buscando el "click" fácil. Algunos ejemplos:

Huffingtonpost: "Un matemático revela las cuatro reglas que no debes seguir en el euromillones".
Okdiario: "Las cuatro reglas que no debes seguir en el euromillones según un matemático".
Cadena Ser: "Un matemático desvela por qué nunca hay que comprar una combinación automática en el Euromillones".
Lainformación: "Gana el Euromillones siguiendo las matemáticas: errores que debes evitar".
 
Me llamó en especial la antención el titular de la Cadena Ser, básicamente porque a priori (a falta de mayor explicación) la afirmación "nunca hay que comprar una combinación automática en el Euromillones" es totalmente incorrecta.

Leyendo los diferentes desarrollos de la "noticia", afirman una serie de puntos correctos, pero además todas señalan que:

-"Una cosa es que todos los números tengan las mismas probabilidades de salir, y otra cosa es que cualquier combinación sea susceptible de resultar ganadora. Según Hiltner, es en este punto donde las matemáticas y la probabilidad sí pueden ayudarnos a dar con una combinación ganadora.

Según su estudio sobre el Euromillones, y centrándose en las combinaciones ganadoras, Hiltner asegura que: «las combinaciones tienen diferentes composiciones. Son una composición similar y se agrupan como grupos combinatorios y éstos no tienen la misma probabilidad»
."

"La cantidad de jugadores que ganan con una máquina de selección rápida no es el indicador correcto para demostrar que puede darte mejores posibilidades de ganar", explica el matemático, que justifica su frase afirmando que las máquinas obvian cualquier estrategia matemática al elegir sus números."

 Bien está claro que esto no tiene sentido: es decir las probabilidades de acertar una combinación elegida por una máquina al azar, o por las fechas de nacimiento de tus amigos, o copiando la combinación de la semana pasada o tirando un dado.. son exactamente las mismas.

 Lo primero que pensé es que la prensa había interpretado mal los cálculos y afirmaciones del "matemático". Así que fui a la fuente:

https://lotterycodex.com/how-to-win-the-lottery-mathematically/

 Y en concreto este punto:

https://lotterycodex.com/how-to-win-the-lottery-mathematically/#Make_a_balanced_odd_and_even_numbers_in_your_combination

El matemático viene a decir lo siguiente (pongo un ejemplo más sencillo). Si tenemos que adivinar un número de dos cifras (de 00 a 99) hay 50 combinaciones con una cifra para y otra impar, 25 con dos cifras pares y 25 con dos cifras pares.

 Por tanto es más probable el suceso "número con cifra par e impar" que por ejemplo "número con dos cifras pares". Eso es cierto.

 Pero ahora viene la falacia y la barbaridad: de ahí concluye que es por tanto mejor apostar a un número con una cifra par y otra impar que con dos cifras pares (cuando obviamente la propiedad de un número concreto es la misma sea cual sea la estructura número).


 En fin. Me decidí a escribir este hilo por varios motivos:

1) Porque 8 o 10 ojos ven más que dos. ¿He interpretado bien lo que dice el matemático 2?.
2) Hacer notar lo desastroso de la selección y presentación de noticias que involucran ciencia (y matemáticas) en la prensa. Se explican mal. Se ponen titulares hiperbólicos o directamente falsos. Y por lo que veo se toma como fuente cualquier cosa: el autor de todo esto es un tal Edvin Hitlner. Buceando en la red su mayor y único mérito parece precisamente haber hecho ese estudio sobre la loteria que tiene en un blog y en un libro. Y de repente a aparece al unísono en media prensa hispana.

 ¿Qué os parece?.

Saludos.

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Foro general / Modelo simplificado del COVID-19
« en: 02 Abril, 2020, 12:33 pm »
Hola
 
 Mi hermano Alberto Fuentes, ha hecho una pequeña simulación del comportamiento de una EPIDEMIA siguiendo el Modelo SIR - Función de Gompertz. Lo comparto aquí, junto con su pequeña explicación porque me parece muy interesante:



  Esta gráfica interactiva solo pretende ilustrar, con intención didáctica, la aplicación de la función de Gompertz al estudio de las epidemias, a través del modelo SIR (en el que se tienen en cuenta la población SUSCEPTIBLE, y las NUEVAS INFECCIONES para obtener la, ya famosa (sobre todo su pico) CURVA DE INFECTADOS).

  Se puede comprobar como con con los parámetros adecuados la gráfica se ajusta muy bien a las observaciones de los datos que recoge la página https://covid19info.live/ sobre China, país que superó el primer brote de COVID-19.

  También se puede comprobar, a través de los botones, como se comporta la curva de infecciones suponiendo que hubiera vacuna o inmunidad adquirida (baja la población SUSCEPTIBLE), tratamiento (baja el TIEMPO DE RECUPERACIÓN), distanciamiento social (baja la CAPACIDAD DE CONTAGIO) o sin distanciamiento social, ni vacuna, ni tratamiento, como está ocurriendo con el coronavirus. Distanciamiento social, tratamiento, y sobre todo vacunas, consiguen el objetivo de APLANAR LA CURVA y dejarla dentro de los límites del sistema de salud.

  De este modo, se puede comprender mejor el por qué de la actual crisis sanitaria y las medidas de contención que se están adoptando en todo el mundo, y también la importancia de la vacunación para que un sistema sanitario capaz de soportar los picos infecciosos.


Saludos.

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Sea \( n \) un número entero positivo. En una cuadrícula de tamaño \( n\times n \), algunas casillas tienen un espejo de doble cara a lo largo de una de sus diagonales. En el exterior de cada casilla de los lados izquierdo y derecho hay un puntero láser, que apunta horizontalmente hacia el centro de la cuadrícula. Los láseres se enumeran, de arriba abajo, de \( 1 \) a \( n \) en cada lado. Un láser es rojo cuando sale de la cuadrícula por el borde superior y es azul si sale de la cuadrícula por el borde inferior. Si cada láser o bien sale por el borde inferior o por el superior, demostrar que la suma de los números que corresponden a los láseres rojos es menor o igual que la suma de los que corresponden a los láseres azules.

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Sea \( ABC \) un triángulo con \( AB<AC \) y sea \( I \) su incentro. El incírculo es tangente al lado \( BC \) en el punto \( D \). Sea \( E \) el único punto que satisface que \( D \) es el punto medio del segmento \( BE \). La recta perpendicular a \( BC \) que pasa por \( E \) corta a \( CI \) en el punto \( P \). Demostrar que \( BP \) es perpendicular a \( AD \).

Observación: El incírculo de \( ABC \) es el círculo que es tangente a los tres lados del triángulo. El incentro es el centro de dicho círculo.

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Dados \( a,b,c \) tres números reales, consideramos el polinomio:

\( p(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) \)

Demostrar que \( p(x)\geq 0 \) para todo número real \( x \) si sólo si \( a=b=c \).

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Determinar todos los valores reales de \( (x,y,z) \) para los que:

\( x+y+z=1 \)
\( x^2y+y^2z+z^2x=xy^2+yz^2+zx^2 \)
\( x^3+y^2+z=y^3+z^2+x \)

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Sean \( a_1,a_2,\ldots,a_{2020} \) números reales de manera que la suma de \( 1009 \) de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los \( 2020 \) números también es positiva.

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Dado un número natural \( n\geq 1 \), realizamos la siguiente operación: si \( n \) es par lo dividimos entre dos; si \( n \) es impar le sumamos \( 5 \). Si el número obtenido tras esta operación es \( 1 \), paramos el proceso. En caso contrario volvemos a aplicar la misma operación y así sucesivamente. Determinar todos los valores de \( n \) para los cuales este proceso es finito, es decir, llegamos a \( 1 \) en algún momento.

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Propuestos por todos / Comprobar si es subespacio vectorial
« en: 27 Noviembre, 2019, 04:53 pm »
Hola

 Propongo este problema, en principio bastante rutinario, de estudiar si un conjunto es subespacio vectorial de otro.

 Tiene como objetivo hacer una determinado matiz respecto a este tipo de comprobaciones. Está destinado a estudiantes y no a gente curtida en mil batallas.  ;)

 Ejercicio. Decidir razonadamente si \( U=\{(x,y)\in \Bbb R^2|5x^2-2xy+y^2=0\} \) es subespacio vectorial de \( \Bbb R^2. \)

Saludos.

 

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