Hola
Se trata de probar:
Sea \( f:[a,b]\longrightarrow{\mathbb{R}} \) continua. Supongamos que:
para cada \( x\in{[a,b]} \) hay algún \( y\in{[a,b]} \) tal que \( \Big|f(y)\Big|\leq{\displaystyle\frac{1}{5}\Big|f(x)\Big|} \). (H)
Entonces \( f \) se anula en algún punto de \( [a,b] \).
En la demostración usaremos algunos resultados auxilares conocidos. Destaco:
Teorema A. Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente al mismo límite.
Teorema B. Dada función continua \( f:X\to Y \) entre dos espacios métricos, y una sucesión en \( X \) convergente \( \{x_n\}\to x \) se cumple que \( \{f(x_n)\} \) converge a \( f(x). \)
Teorema C. Toda sucesión contenida en un compacto tiene una subsucesión convergente en ese compacto (es decir el límite de la sucesión pertenece al compacto).
Teorema D. El límite de una sucesión de números reales si existe es único.
Pasos para la prueba del resultado:1) Construimos una sucesión \( \{y_n\} \) contenida en \( [a,b] \) tal que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) para todo \( n>2 \).
Spoiler
Para ello escogemos un \( y_1 \) cualquiera en \( [a,b] \). Por la hipótesis (H) existe un \( y_2\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_2)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_1)| \).
Después de nuevo por (H) existe un \( y_3\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_3)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_2)| \).
De nuevo por (H) existe un \( y_4\in [a,b] \) cumpliendo \( |f(y_4)|\leq \dfrac{1}{5}|f(y_3)| \).
Y así sucesivamente.
2) La sucesión \( \{y_n\} \) construída anteriormente cumple que \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \).
Spoiler
Es consecuencia de la relación recursiva vista en (1) \( |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5}f(y_{n-1}) \) .
3) La sucesión \( \{f(y_n)\} \) converge a cero.
Spoiler
Basta tener en cuenta que:
\( 0\leq |f(y_n)|\leq \dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)| \)
Como \( |f(y_1)| \) es un valor constante, \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}\dfrac{1}{5^{n-1}}|f(y_1)|=0 \). Por el Teorema del Sandwich, deducimos que \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}|f(y_n)|=0 \) y por tanto \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}f(y_n)=0 \)
4) Por el Teorema (C) la sucesión \( \{y_n\} \) contenida en el compacto \( [a,b] \) tiene una subsucesión convergente \( a \) un punto de \( [a,b], \{y_{n_k}\}\to \sigma\in [a,b] \).
5) Por el Teorema (A) la subsucesión \( \{f(y_{n_k})\} \) de \( \{f(y_n)\} \) converge al mismo límite que ésta, es decir, a cero.
6) Por el Teorema (B) y por el paso (4), como \( f \) es continua y \( \{y_{n_k}\}\to \sigma \), deducimos que \( \{f(y_{n_k})\} \) converge a \( f(\sigma) \) con \( \sigma\in [a,b] \).
7) Por (6) tenemos que \( \{f(y_{n_k})\}\to f(\sigma) \) y por 5) que \( \{f(y_{n_k})\}\to 0 \). Por el Teorema (D), como el límite de una sucesión si existe es único, de deduce que \( f(\sigma)=0 \) y por tanto la función se anula en \( \sigma\in [a,b]. \)
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