Demuestra que una superficie compacta tiene un punto elíptico.
Hola, no entiendo la solución de mi Profesor
Porque ¿
Por qué los espacios tangentes tienen que ser iguales?. Quisiera ver otro punto de vista, o
por qué lo hace así...
Sea \( S \) una superficie compacta. Queremos encontrar \( p\in S \) tal que \( k(p)>0. \) Como \( S \) es compacto, \( \exists R>0 \) tal que \( B(0,R)\subseteq S. \) Es claro que \( S^2_R \cap S=\varnothing \) y definimos \( r_0=\sup \{r>0| S_r^2\cap S\ne \varnothing \} \) que está acotado por \( R. \) Es un hecho que \( S_{r_0}^2\cap S \ne \varnothing \), porque \( S \) es cerrado. Sea \( S_0=\{p\in \mathbb{R}^3: \left\|{p}\right\|=r_0 \} \) y sea \( p\in S_0\cap S. \) Queremos probar que \( T_p S=T_p S_0. \) Sea \( \gamma: (-\varepsilon,\varepsilon)\to S, \gamma(0)=p. \) Definimos \( f(t):= \left\|{\gamma(t)}\right\|^2 \). Tenemos que \( f(0) \) es maximo y \( f'(0)=0. \) Luego, \( f'(t)=2\gamma'(t)\gamma(t) \), de donde \( 0=f'(0)=\gamma'(0)\cdot p \), lo que implica que \( v \in T_p S_0. \) Se tiene \( \gamma'(0)\in T_p S_0 \implies T_p S \subseteq T_p S_0. \) Como ambos tienen dimensión 2, son iguales.
