Voy a poner un ejemplo de razonamiento con infinitésimos que es fácilmente adaptable a una prueba rigurosa. Ya buscaré alguno que no lo sea.
Es conocido que de la ley de la gravitación de Newton se deducen las leyes de Kepler. Admitamos que ya hemos probado la primera y tenemos al Sol en el origen de coordenadas del plano y un planeta describiendo una órbita elíptica a su alrededor. De este modo, en coordenadas polares, podemos considerar la función \( \rho(\theta) \) que nos da la distancia al Sol del planeta en función de su coordenada angular \( \theta \).
Admitamos también que hemos probado que en los movimientos causados por una fuerza central se conserva el momento angular y que, en coordenadas polares, esto equivale a que la función
\( \displaystyle \rho^2(t)\,\frac{d\theta}{dt} \)
es constante. A partir de estos hechos, veamos la demostración de la segunda ley de Kepler: el radio que une el planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Un argumento típico de los físicos es el siguiente:
Consideramos un ángulo infinitesimal \( d\theta \). El área \( d\sigma \) barrida por el planeta cuando pasa de la posición \( \theta \) a la posición \( \theta+d\theta \) es el área de un sector de elipse que "aproximadamente" es un triángulo de altura \( \rho = \rho(\theta) \) y base \( \rho\,d\theta \), luego
\( \displaystyle d\sigma = \frac12\rho^2\,d\theta \),
luego
\( \displaystyle\frac{d\sigma}{dt}=\frac12\rho^2\frac{d\theta}{dt}= \) cte.
Esto significa que la velocidad areolar es constante, como había que probar.
La única parte que no es obvia en todo este argumento es la presunta aproximación del área del sector de elipse por el área de un triángulo y, en particular, que sea lícito aproximar la altura del triángulo por uno de sus lados (pues \( \rho(\theta) \) es realmente un lado del triángulo) y menos aún que podamos aproximar la base por \( \rho\,d\theta \). A priori, esto puede ser como mucho una interpretación razonable de la igualdad
\( d\sigma = \frac12\rho^2\,d\theta \),
pero nunca una justificación de la misma. Nadie nos asegura a priori que no estamos metiendo la pata hasta el fondo, como al aproximar el área de una rodaja de esfera por el área del cilindro correspondiente.
Ahora bien (y a partir de aquí todo lo que digo es riguroso) el elemento de área en \( \mathbb{R}^2 \) es la forma diferencial \( dx\land dy \), luego el área de un sector de elipse \( S \) comprendido entre dos valores \( \theta_0 \) y \( \theta \) es
\( \sigma=\int_Sdx\land dy \).
Para pasar a coordenadas polares observamos que \( x=\rho \cos\theta \), \( y=\rho \sen \theta \), luego
\( dx = \cos\theta\,d\rho-\rho\sen\theta\,d\theta,\qquad dy=\sen\theta\,d\rho+\rho\cos\theta\,d\theta \),
luego
\( dx\land dy = (\cos\theta\,d\rho-\rho\sen\theta\,d\theta)\land (\sen\theta\,d\rho+\rho\cos\theta\,d\theta) \)
\( =\rho\cos^2\theta\,d\rho\land d\theta -\rho\sen^2\theta\,d\theta\land d\rho=\rho\,d\rho\land d\theta \),
donde hemos usado que \( d\rho\land d\rho=d\theta\land d\theta=0 \) y \( d\theta\land d\rho=-d\rho\land d\theta \).
Así pues,
\( \sigma(\theta)=\displaystyle\int_{\theta_0}^{\theta}\int_0^{\rho}\rho\,d\rho d\theta =\int_{\theta_0}^{\theta}\frac12\rho^2\,d\theta \),
luego, derivando la integral
\( \displaystyle\frac{d\sigma}{d\theta}=\frac12\rho^2 \),
lo cual equivale a la igualdad de formas diferenciales \( d\sigma=\displaystyle\frac12\rho^2\,d\theta \).
Esto es la justificación seria (o una posible justificación seria, que puede simplificarse si uno está dispuesto a prescindir de formas diferenciales y, por consiguiente, a alejarse de la manipulación de diferenciales) de la relación entre área y ángulo que los físicos sustituyen por el engaño "se puede aproximar tal y tal". En efecto, se puede, porque se puede demostrar que así es.
A partir de aquí el resto de la prueba es rigurosa, siempre que se conciba como una manipulación de formas diferenciales: al considerar a \( \theta \) como función de \( t \) tenemos que \( d\theta = \displaystyle\frac{d\theta}{dt}\,dt \), luego, considerando a \( \sigma \) como función de \( t \), resulta que
\( d\sigma = \displaystyle\frac{1}{2}\rho^2\frac{d\theta}{dt}\,dt \),
y esto implica que
\( \displaystyle\frac{d\sigma}{dt}=\rho^2\frac{d\theta}{dt}= \) cte.
Al trabajar con formas diferenciales, \( d\theta \), \( dt \), etc. ya no son "incrementos infinitesimales", ni incrementos de ninguna clase, pero las formas diferenciales se comportan formalmente como los presuntos incrementos infinitesimales de los que hablan los físicos (hasta cierto punto, descartando abusos y atropellos varios).
