y que éstos no se contemplan mientras no vayan asociados a una integración.
Esta frase no la entiendo, así que no puedo suscribirla.
Lo que quiero decir es: ¿tiene sentido hablar de elementos diferenciales si no es la integración de los mismos el objetivo final?
Claro. Puedes usar diferenciales para acabar calculando una derivada, por no hablar de otros usos más sofisticados, como calcular grupos de cohomología de De Rham (grupos definidos como cocientes de formas con diferencial nula sobre formas exactas), los cuales a su vez determinan propiedades topológicas del espacio sobre el que están definidos.
Por poner un ejemplo muy simple: un subespacio de \( \mathbb{R}^n \) es simplemente conexo si y sólo si todas sus formas diferenciales con diferencial nula son exactas.
O al revés, ¿tiene sentido hablar de integración de algo que no sea un elemento diferencial (no especifico su tamaño, ojo)?
Hombre, eso según lo mires. Alguien te podría contestar que puedes integrar una función, y sería difícil rebartirle que su respuesta es "ortodoxa", aunque yo te admito que "en el fondo", al integrar una función \( f \) estamos integrando una forma diferencial \( f\,dx \), pero si alguien no quiere admitir esto, la "legalidad estricta" estará de su parte. No hay por qué pensar toda integral como la integral de una forma diferencial. (Me restrinjo aquí a "integrales normales", si generalizamos mucho, entonces sin duda la respuesta es negativa, se pueden integrar muchas cosas que no tienen nada de infinitesimales.)
Por lo tanto, diferenciales-integración es un binomio que no se puede separar.
Al contrario, se puede separar a través de la teoría de formas diferenciales, pero la mera definición de integral no basta para ello, pues en la definición de integral, aunque termine expresando la integral de una función en la forma \( \int_a^bf(x)\,dx \), en realidad eso es "pura caligrafía", pues en ningún momento se define "\( dx \)".
¿Al contrario? Si dices que en \( \int_a^bf(x)\,dx \) no se define "\( dx \)", de alguna manera "\( dx \)" irá "anclado" a "\( \int \)", ¿no?
Estamos diciendo lo mismo: a partir de la mera definición de integral \( \int \) y \( dx \) están "anclados", como tú dices, pero eso no significa que no se puedan separar, sólo que ahí no están separados, pero se pueden separar a través de la definición de forma diferencial.
Por cierto, prefiero llamar "ese" de suma a "\( \int \)" antes de "gusanito" por razones históricas que tú ya conoces (la integral como herramienta de cálculo de sumas, "S" de "suma").
No pretendía ser "irreverente", y no es que llame "gusanitos" a los signos de integral de forma habitual. Usé ese término en ese contexto para enfatizar que, en la definición de integral, \( \int \) y \( dx \) no son más que "garabatitos" en el papel, que no tienen una definición independiente, que por el hecho de representar así una integral no has justificado que tengas definido nada llamado \( dx \), ni mucho menos que una integral sea una suma.
Aún así admiten que los "malabarismos" que se pueden hacer con los diferenciales están respaldados por la teoría general de formas diferenciales que hay detrás,
No entiendo lo de "aun así". Y admito que hay malabarismos que están respaldados por la teoría de formas diferenciales y otros que no.
Me refería a los "malabarismos", teniendo en cuenta que aceptemos que los diferenciales van anclados a la integración.
Pues por eso no entendía el "aun así": yo no digo "no se pueden separar \( \int \) y \( dx \), pero aun así se puede jugar con diferenciales aislados. Yo digo: las formas diferenciales permiten separar \( dx \) de la integral y por eso (no a pesar de eso) tienen sentido algunas manipulaciones con diferenciales.
pero que la mayoría de las demostraciones que hay en los libros de física, ingeniería, etc. son poco o nada rigurosas desde el punto de vista estrictamente matématico, aunque como acaban en resultados verdaderos son aceptados sin ese rigor, sin olvidar que esos mismos planteamientos pueden desembocar en resultados que no son ciertos o no obedecen a leyes físicas.
No, no son aceptados a pesar de que no tienen rigor, sino que son aceptados porque en otros libros están demostrados con rigor.
Creo que deben existir muchos más libros de física, ingeniería, etc. donde no aparece el rigor al que aludes que en los que éste sí se explica con todo lujo de detalles.
Sin duda, y hay más gente que afirma que las estrellas son soles lejanos sin ser astrónomos que gente que lo afirme siendo astrónomos, pero si podemos decir con convicción que las estrellas son soles lejanos es porque así lo afirma la minoría de los astrónomos, no la mayoría de la gente.
Por otro lado, los "matemáticos aplicados" = "ingenieros, físicos, etc.", argumentan que todas las teorías se basan en modelización matemática y esta modelización básicamente se cimienta sobre diferenciales de magnitudes medibles que luego son integradas en los dominios de actuación de esas magnitudes. Por ello, aunque a los matemáticos "puros" les escandalizan frases del estilo "sea un diferencial de presión, volumen, fuerza, corriente eléctrica, superficie, volumen, ángulo, etc.", los matemáticos aplicados" los aplican hasta en la sopa y para más inri sirven para construir teorías y modelos que acaban siendo edificios, aviones que vuelan, naves espaciales, etc. de ahí que el apellido "aplicada" sea extremadamente importante.
Eso no tiene nada de extraño. No necesitas construir un avión y ver si vuela para decidir si una fórmula matemática es correcta o no. Si no es correcta, en muchos casos no te costará encontrar un contraejemplo sin más que tomar un papel y un lápiz, por lo que nunca llegarás a construir un avión con ella que tenga la ocasión de estrellarse. Lo "típico" es que si uno intenta probar algo "con alegría" y se mete por donde no debe, no tardará en darse cuenta de que llega a algo absurdo y eso le llevará a tirar lo hoja de papel a la papelera y decirse a sí mismo "esto no vale", y a otra cosa. Pero eso no significa que los pasos que le han llevado a algo absurdo sean menos "plausibles" que los que le convencen de la validez de otro resultado que resulta ser "de los buenos".
Por otro lado, aunque no estoy familiarizado con la bibliografía sobre esos temas, mi sospecha es que no hay nada que los libros de texto de físicos e ingenieros que no esté demostrado con todo rigor en los libros adecuados. No hay una "matemática aplicada" y una "matemática rigurosa", sino libros malos y libros buenos. Y algunos físicos e ingenieros (quizá la mayoría) prefieren usar libros de texto malos en lugar de libros de texto buenos, pero eso sólo es una diferencia entre libros de texto, no entre tipos de matemática. Es como si se pusiera de moda usar libros sin demostraciones, donde simplemente aparecieran las fórmulas y los resultados necesarios sin demostración. Eso no llevaría a distinguir entre "matemáticas sin demostraciones" y "matemáticas con demostraciones".
¿No tiene nada de extraño? Creo que no me has entendido. Lo que quiero decir es que la "imprudencia" de los "matemáticos aplicados" acaba en resultados que sirven para que un avión no se caiga cuando vuela y seguramente no hay rigor matemático, desde un punto de vista "puritano", en esos cálculos, probablemente porque haya muchos "malabarismos con diferenciales" desde el principio del desarrollo, pero el avión sigue sin caerse y no se cae NO porque las matemáticas sean "impuras" en su manipulación, sino porque los principios FÍSICOS en los que se basa el modelo matemático "impuro" se ajustan con la realidad y la naturaleza. Acuérdate que a la física comoenzó como filosofía natural. Dicho de otro modo, podemos desarrollar un modelo matemático "purísimo" desde el punto de vista formal, pero como no esté basado en un principio físico real, mejor no te subas en el avión.
Creo que tienes una visión muy romántica del ingeniero. No hay un abismo tan grande entre la matemática pura y la matemática aplicada como tú pretendes. Los aviones vuelan porque los diseñan ingenieros que aplican unas fórmulas y técnicas válidas. El único detalle es que algunos de ellos creerán que saben que son válidas porque se las han demostrado, cuando la realidad es que saben que son válidas porque las han aprendido de fuentes fiables, aunque sería casi lo mismo si se las hubieran presentado sin demostración, para que se las aprendieran porque sí. No hay nada erróneo en los hechos que conocen, sólo se equivocan al creer que saben por qué son ciertas las cosas que saben. Ahora bien, son ciertas, como puede comprobar cualquiera que estudie uno de los libros (minoritarios) en los que se demuestran correctamente.
No es una cuestión de purismo, ni mucho menos de puritanismo: si tú quieres demostrar el principio de Arquímedes y lo demuestras sólo para un objeto en forma de cubo, sólo has probado el principio de Arquímedes para cubos. Se puede probar para cuerpos arbitrarios, sólo que entonces necesitas un poco de geometría diferencial. Ahora bien, si aplicas el principio de Arquímedes para diseñar un barco, no se te hundirá sólo porque el barco no sea cúbico, porque el principio de Arquímedes es válido en general, aunque sólo te lo hayan probado para cubos. (No digo que en los libros de ingeniería sólo se demuestre el principio de Arquímedes para cubos, sólo trato de poner un ejemplo sencillo de la diferencia entre demostrar un caso particular y demostrar el caso general.) Ahora bien, si alguien quiere honestamente saber por qué se cumple el principio de Arquímedes, no se conformará con que se lo demuestren para cubos, porque la mayoría de los objetos flotantes no son cubos. Y eso no es puritanismo, sino honradez intelectual.
1.- En el ejemplo que has dado del "mal" cálculo de la superficie de una esfera, ¿cuál habría sido el planteamiento correcto anáologo al empleado para calcular el volumen, i.e. utilizando cálculo diferencial en coordenadas cartesianas?
Pues habrías tenido que considerar rodajas con forma de tronco de cono, con pendiente igual a la derivada de la "silueta" de la esfera en el punto correspondiente a la rodaja. Más técnicamente, la cuestión es que para calcular el volumen puedes aproximar esa silueta (la semicircunferencia) por su polinomio de Taylor de grado 0 mientras que para el área necesitas el polinomio de Taylor de grado 1. Eso es un argumento muy frecuente de los "físicos": "por simplificar aproximamos por el polinomio de Taylor de grado 1, o 2", o el que sea, pero no se molestan en comprobar que la aproximación que toman es suficiente para sus fines.
De acuerdo, pero no justificas por qué se puede en un caso y en el otro no, es decir, por qué en un caso sí sirve el desarrollo de grado 1 y en el otro tiene que ser de grado 2. ¿Tiene algo que ver que la superficie de la esfera sea la derivada del volumen de la misma? ¿Causa o consecuencia? ¿Es un hecho intrínseco sólo a la esfera? ¿Qué ocurriría en el caso de un cono? Está claro que un planteamiento no es correcto y el otro sí, pero ¿qué criterio darías para saber por qué es correcto o no aparte de que conozcamos el resultado final por otras vías?
¡Ésta sí que es buena! Estoy diciendo que esa clase de "demostraciones" son chapuceras precisamente por eso, porque todas las preguntas que me haces (todas cruciales y muy relevantes) quedan sin respuesta, ¿y ahora soy yo quien tiene que rendir cuentas de la chapucería ajena?
Aunque no sea mi responsabilidad, te respondo: cualquier superficie de revolución puede calcularse aproximando las rodajas infinitesimales por troncos de cono ¿y cómo se sabe eso? Calculando la superficie con rigor, y viendo que la fórmula que sale puede interpretarse como suma infinita de rodajas cónicas. Calcularla con rigor significa calcular el elemento de superficie de la superficie en cuestión e integrarlo sobre toda la superficie. Las fórmulas para ello se conocen desde Gauss.
Bueno, estoy pensando que igual entendí yo mal tu pregunta. Cuando dijiste "cuál sería el planteamiento correcto análogo...", yo entendí el planteamiento chapucero que lleva (casualmente) a la respuesta correcta. Entendí eso porque tu pregunta llevaba implícito que el procedimiento para el volumen era correcto (por lo que entendí que por "correcto" querías decir "chapucero que lleva a la respuesta correcta"). Si lo que preguntabas es por la forma rigurosa de calcular el área de la esfera, entonces mi respuesta no venía al caso, sino que es la que te indico en el párrafo anterior: hay que calcular el elemento de superficie de la esfera. Si quieres que detalle eso, puedo intentarlo, pero no sé hasta qué punto podré detallarlo en un post, porque, salvo que te conformes con la fórmula, justificarla es delicado.
Y para acabar me pregunto lo siguiente: ¿hay algún matemático que se atreva a definir matemáticamente lo que sería un elemento diferencial en las matemáticas aplicadas tan sólo utilizando el concepto de límite y sin tener remota idea de lo que es una forma diferencial?
Esa pregunta es perversa. El problema natural es formalizar el concepto de elemento diferencial, la respuesta natural está en la teoría de formas diferenciales, pero vas tú y pides una respuesta al problema natural que no sea la respuesta natural. Es como si pides que alguien proporcione un método para calcular \( \displaystyle\int_{0}^{5}\sen x\,dx \) sin usar la regla de Barrow ¿y por qué hay que evitar la regla de Barrow si resuelve completamente el problema de forma totalmente satisfactoria?
