1.- ¿Qué es un "elemento diferencial" en Matemáticas? ¿Existe tal definición? ¿Cuál es?
Históricamente, Leibniz fue el primero en representar los incrementos infinitesimales de una variable \( x \) con la notación \( dx \). Obviamente, esto no tiene ningún rigor, sin embargo, las ideas de Leibniz dan lugar a una teoría coherente, que es lo que llamamos cálculo diferencial e integral. Ahora bien, al fundamentar con precisión el cálculo diferencial e integral, sucede que los diferenciales, entendidos como incrementos infinitesimales, desaparecen y se sustituyen por razonamientos con límites. No obstante, resulta que es posible construir con rigor unos objetos matemáticos, las llamadas formas diferenciales, que dan sentido a parte de las manipulaciones con infinitésimos de los matemáticos de los siglos XVII y XVIII sin considerar por ello cantidades infinitamente pequeñas.
El interés de la teoría de formas diferenciales es que se generaliza a variedades diferenciales arbitrarias, e incluso a contextos algebraicos en los que no hay ninguna topología subyacente (algo similar a lo que sucede al definir la derivada de un polinomio con coeficientes en un cuerpo arbitrario, sin topología ni nada). Sin embargo, por simplicidad pondré ejemplos considerando únicamente el caso de las formas diferenciales sobre \( \mathbb{R} \).
Llamamos \( L \) al espacio vectorial de todas las aplicaciones lineales de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \) (en el caso de \( \mathbb{R}^n \) consideraríamos aplicaciones lineales de \( \mathbb{R}^n \) en \( \mathbb{R} \) y en el caso de una variedad diferencial \( V \) consideraríamos aplicaciones que a cada punto \( p\in V \) le asigna una aplicación lineal del espacio tangente \( T_pV \) en \( \mathbb{R} \)).
Una forma diferencial \( \omega \) en \( \mathbb{R} \) se define como una aplicación de \( \mathbb{R} \) en \( L \), es decir, para cada \( p\in \mathbb{R} \), tenemos que \( \omega_p:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) lineal.
Si llamamos \( \Lambda(\mathbb{R}) \) al conjunto de todas las formas diferenciales en \( \mathbb{R} \) y llamamos \( F(\mathbb{R}) \) al anillo de todas las funciones de \( \mathbb{R} \) en \( \mathbb{R} \), podemos definir una operación \( F(\mathbb{R})\times \Lambda(\mathbb{R})\longrightarrow \Lambda(\mathbb{R}) \) mediante
\( (f\omega)_p=f(p)\omega_p \)
donde el producto del miembro derecho es el producto natural en \( L \) como espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \). Con este producto y la suma definida de forma natural punto a punto, resulta que \( \Lambda(\mathbb{R}) \) tiene estructura de módulo sobre \( F(\mathbb{R}) \) (vamos, que es como un espacio vectorial, sólo que \( F(\mathbb{R}) \) no es un cuerpo, sino un anillo).
La idea de fondo es que si \( f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R} \) es una función derivable, entonces los "incrementos infinitesimales" de la variable \( x \) determinan "incrementos infinitesimales" de la variable \( y=f(x) \) cuya relación es lineal en el sentido de que los términos de mayor grado son despreciables y \( f'(x) \) es el factor de proporcionalidad entre ambos incrementos. Ésta es la idea de Leibniz (y de Newton) que, dicha así, no significa nada en concreto, pero lo que hay de "operativo" en esta idea "cabe" en una forma diferencial, a saber, la dada por \( df_p(x)=f'(p)x \), es decir, la forma diferencial \( df \) asigna a cada punto \( p \) la aplicación lineal dada por \( x\mapsto f'(p)x \).
Si aplicamos esto a la propia función identidad \( x \) obtenemos que \( dx_p \) es la aplicación (lineal) identidad, para todo punto \( p \), es decir, que \( dx_p(u)=u \).
Por lo tanto:
\( df_p(x)=f'(p)x =f'(p)dx_p(x) \), luego \( df_p=f'(p)dx_p \), como aplicaciones lineales, luego \( df=f'\,dx \)
De este modo, \( df \) es la forma diferencial que a cada punto \( p\in \mathbb{R} \) le asigna la relación lineal entre los incrementos infinitesimales de la variable \( x \) y la función \( f \), pero en la definición no hablamos para nada de incrementos infinitesimales, sino únicamente de la derivada de \( f \).
Esto sólo sería un tonto juego de palabras si no fuera porque el lenguaje de las formas diferenciales puede desarrollarse hasta hacerse increíblemente versátil. En primer lugar, el hecho de que, en la relación anterior, \( x \) sea específicamente la función identidad en \( \mathbb{R} \) puede generalizarse notablemente.
Llama "carta" a toda función \( y \) en \( \mathbb{R} \) derivable y con derivada no nula en ningún punto (la identidad \( y=x \) es un caso particular). Entonces, para cada función derivable \( f \), definimos
\( \displaystyle\frac{df}{dy}=\displaystyle \frac{f'}{y'} \)
Así,
\( df = f'\,dx = \displaystyle \frac{f'}{y'}y'\,dx = \frac{df}{dy}\,dy \),
es decir, la identidad
\( df = \displaystyle \frac{df}{dy}\,dy \)
es válida para cualquier función derivable \( f \) y cualquier carta \( y \), no necesariamente la identidad. Se demuestra que toda forma diferencial en \( \mathbb{R} \) es de la forma \( f\,dx \), para cualquier carta \( x \) prefijada (no necesariamente la identidad) y que
\( f\, dx = g\,dy \leftrightarrow f = g\,\displaystyle \frac{dy}{dx} \).
Una forma diferencial \( \omega = f\,dx \) es integrable en un intervalo \( [a,b] \) si la función \( f \) es integrable en el intervalo \( [x(a), x(b)] \), y se define
\( \int_a^b\omega = \int_{x(a)}^{x(b)}f(x)\,dx \),
donde la expresión de la derecha es la integral en el sentido usual (donde "dx" no significa nada en concreto), entendiendo que si \( x(b)<x(a) \) la integral tiene el signo opuesto a la integral con los extremos "ordenados".
Se demuestra que esta definición no depende de la elección de la carta \( x \), de modo que, cuando \( x \) es la identidad, a partir de aquí podemos dejar de pensar en
\( \int_a^bf(x)\,dx \)
como una expresión "formal", en la que \( dx \) no significa nada, para entenderla como la integral de la forma diferencial \( f\,dx \) en el intervalo \( [a,b] \).
En estos términos, la regla de Barrow afirma que
\( \int_a^b df = f(b)-f(a) \)
Es fácil probar la relación \( d(uv)=u\,dv+v\,du \), de la que al integrar y aplicar la regla de Barrow obtenemos la fórmula de integración por partes
\( \int_a^b u\,dv = (uv)(b)-(uv)(a)-\int_a^b v\,du \)
que puede, pues interpretarse como una relación entre formas diferenciales, al igual que las manipulaciones que hacemos al aplicarla (al calcular \( du \) a partir de \( u \) y \( v \) a partir de \( dv \)).
De este modo, hay muchas manipulaciones con "diferenciales" que son totalmente rigurosas cuando interpretamos expresiones del tipo \( df \) como formas diferenciales, y en dichos términos resultan totalmente naturalesy transparentes, hasta el punto de que podemos aplicar (rigurosamente) teoremas como el teorema de cambio de variable sin darnos cuenta siquiera de que lo estamos aplicando.
Más en general, si tenemos una superficie, por ejemplo, la esfera unitaria en \( \mathbb{R}^3 \), el equivalente de una "carta" en el sentido que he definido antes para \( \mathbb{R} \) es un par de funciones \( (u,v) \) definidas sobre la esfera con valores en \( \mathbb{R} \) que constituyan una carta en el sentido de la geometría diferencial. A diferencia del caso de \( \mathbb{R} \), no hay una carta definida sobre toda la esfera, sino que ésta puede cubrirse por abiertos que admiten cartas. Por ejemplo, una carta en la semiesfera \( z>0 \) la constituyen las funciones coordenadas \( x, y \).
El llamado "elemento de superficie" \( d\sigma \) de una esfera (o de una variedad diferencial, en general) es una forma diferencial definida sobre toda la esfera, pero que sólo admite expresiones en términos de cartas cuando se restringe a abiertos sobre los que haya definida una carta. Por ejemplo, en la semiesfera citada se cumple que
\( d\sigma = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\,dx\land dy= \frac1z\,dx\land dy \),
donde el término de la derecha es una forma diferencial "local", es decir, que sólo está definida en la semiesfera, mientras que el término de la derecha es una forma diferencial global, definida sobre toda la esfera.
No puedo explicar aquí los detalles de esto, pero pongo el ejemplo para señalar que el elemento de área \( d\sigma \) es una forma diferencial en un sentido que generaliza de forma natural las definiciones que he dado antes para \( \mathbb{R} \), de modo que está definida la integral de cualquier forma diferencial y, en el caso de \( d\sigma \), su integral en un subconjunto de la esfera es igual a su área.
La idea en el fondo es la misma: para un rectángulo "infinitesimal" \( [x, x+dx]\times [y,y+dy] \), la proporción entre el área \( dydy \) del rectángulo y el área del fragmento infinitesimal de esfera cuyas coordenadas están en ese rectángulo es aproximadamente lineal, en el sentido de que los términos de mayor grado son despreciables. La forma \( d\sigma \) asigna a cada punto de la esfera una aplicación lineal en el plano tangente que a cada par de vectores linealmente independientes les asigna la aproximación lineal del área del paralelogramo que determinan, aproximación que será buena para vectores muy pequeños, pero todas estas consideraciones "infinitesimales" no aparecen en la definición de \( d\sigma \).
Por otra parte, hay que destacar que \( d\sigma \) no se define haciendo actuar algo llamado \( d \) sobre algo llamado \( \sigma \), sino que es el nombre que se da por definición a una cierta forma diferencial. Esto significa que la "d" no significa siempre lo mismo. Cuando escribimos \( df \), entonces \( d \) es el operador diferencial actuando sobre la función \( f \) para dar lugar a una forma diferencial \( df \), cuando escribimos \( d\sigma \) tenemos una forma diferencial definida así, sin más, cuando \( f: \mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}^m \), su siferencial \( df \) es otra cosa distinta (y, en particular, no es una forma diferencial). Hay distintos usos de la "d" como hay distintas cosas a las que los matemáticos llaman "números" sin que se pueda decir (sin entrar en filosofías) qué objetos merecen el nombre de "números". Simplemente se definen los números naturales, los enteros, etc., igual que podemos definir el operador diferencial entre funciones y formas diferenciales, la diferencial de una función entre variedades diferenciales y algunas diferenciales específicas definidas directamente como formas diferenciales.
¿Qué relación guarda con los elementos diferenciales de la Física? ¿Es correcto (desde luego útil lo es en Física o en Ingeniería) operar algebraicamente con operadores diferenciales? ¿Por qué hacerlo no es incorrecto a nivel práctico?
Hasta cierto punto, es correcto operar con diferenciales. Por ejemplo, si \( \rho \) es la función de densidad de materia
en una región del espacio, podemos decir que \( dm = \rho\,dv \), donde \( dv \) es el elemento de volumen, es decir, la forma diferencial cuya integral en una región es igual a su volumen y \( dm \) es el elemento de masa, la forma diferencial cuya integral en una región dada es igual a la masa que contiene.
Ahora bien, otra cosa muy distinta es el "uso salvaje" de las diferenciales en los que se razona apoyándose en que son cantidades infinitesimales, sin que esto tenga ningún sentido concreto. Por ejemplo, hace un tiempo me escribió alguien preguntándome por una demostración, no sé si sacada de un libro o de un profesor en clase, que en el fondo era una simple aplicación del teorema de Stokes, pero, tal y como la tenía, consideraba un "cubo infinitesimal" y hacía ciertas manipulaciones en las que un par de términos se cancelaban supuestamente porque eran infinitésimos de segundo orden y, por tanto, despreciables. El que me escribía me preguntaba que cómo podía justificarse eso.
Yo le mostré un ejemplo concreto de su problema (partiendo de una función lineal en concreto en lugar de una función arbitraria) en el que se veía que los dos términos presuntamente despreciables eran constantes no nulas, pero una era justo la opuesta de la otra, luego se podían cancelar porque se cancelaban mutuamente (en ese ejemplo concreto), pero no porque cada una de ellas independientemente fuera despreciable.
Esa clase de razonamientos con infinitesimales son estafas. Simplemente, uno toma un resultado que es verdad (quiero decir, que es un teorema) y dice "voy a demostrarlo", escribe unos cuantos "infinitésimos", cancela lo que le conviene que se cancele y dice "ya está demostrado", pero no es verdad. Eso sí, el "demostrador" puede decir "¿a que no me encuentras un contraejemplo?", y en eso tiene razón, porque su teorema es verdad, pero eso no significa que su palabrería lo haya demostrado.
El cálculo diferencial tiene, como muchas ramas de la matemática su "componente estética", en el sentido de que las fórmulas verdaderas tienen cierta simplicidad que hace que uno pueda conjeturar fácilmente que algo vaya a ser cierto, lo cual se traduce en que ciertas expresiones tienen que anularse y cosas así, pero una cosa es que uno diga, "esto tiene que ser despreciable porque es necesario para que se cumpla esta fórmula bonita que he comprobado que se cumple en algunos ejemplos" y otra muy distinta demostrar que es así de verdad y, sobre todo, determinar qué hipótesis hacen falta para que se cumpla, porque a lo mejor hace falta que tal función no sólo sea continua, sino uniformemente continua, y cosas así, y se puede llegar a muchas paradojas de esa manera.
Es fácil dar dos razonamientos "con infinitesimales", de modo que uno lleve a un resultado correcto y otro a uno falso y, desde el momento en que no existe ninguna teoría que especifique qué razonamientos "con infinitesimales salvajes", es decir, no con formas diferenciales rigurosas, son correctos y cuáles no, es absurdo tomar tales razonamientos como formas diferenciales. La idea de que "funcionan" es ficticia. Es como si reúnes predicciones de adivinos que se han cumplido y ocultas todas las que han fallado. Puedes hacer creer así que la "adivinación" funciona, pero es falso. Los libros de física usan razonamientos con infinitésimos que conducen a resultados correctos, pero yo podría escribir un libro de cálculo para ingenieros lleno de razonamientos similares con infinitésimos que lleven a resultados falsos y nadie podría darme una razón por la cual los teoremas de los otros libros son aceptables y los míos, en cambio, son falsos.
No es cierto que los resultados que los libros de física que razonan con infinitésimos sean verdaderos porque están demostrados en esos libros, sino que están "demostrados" en esos libros porque son verdaderos. Las "demostraciones" falsas, pero igualmente "rigurosas" también existen, pero están censuradas. Ningún autor quiere incluirlas en sus libros, porque entonces pondría en evidencia que sus demostraciones no valen para nada.
2.- ¿Se puede considerar la derivada como el cociente de diferenciales? ¿Sólo si es la primera derivada? ¿Es correcto para derivadas de orden superior?
No. La derivada se define como un límite, y son ciertas formas diferenciales (por ejemplo la diferencial de una función con valores en \( \mathbb{R} \) las que se definen a partir de las derivadas y no al revés.
Si quieres algo parecido a una definición de derivada como cociente de diferenciales tienes que irte al análisis no estándar, donde sí tiene sentido hablar de números reales infinitamente pequeños, pero, aún así, si tomas una función, por ejemplo, \( x^2 \) y un número real infinitamente pequeño, por ejemplo, \( \epsilon \), te encuentras con que el cociente de infinitésimos
\( \displaystyle\frac{(x+\epsilon)^2-x^2}{\epsilon}=2x+\epsilon \)
depende del infinitésimo \( \epsilon \) considerado, y la derivada se define "redondeando" el cociente, eliminando el \( \epsilon \) residual, lo cual equivale a pasar al límite. La diferencia respecto al tratamiento "chapucero" es que en el contexto del análisis no estándar está perfectamente especificado cuándo un infinitésimo ha de estar ahí en los cálculos y cuándo se puede despreciar, pero el paso al límite lo tienes siempre, aunque sea camuflado en forma de "despreciar un infinitésimo". En particular, las formas diferenciales se definen en análisis no estándar igual que en el análisis estándar, como familias de aplicaciones lineales.
¿Se puede hablar de diferencial de un diferencial?
En general, puedes definir la diferencial de una forma diferencial, pero entonces \( d(d\omega) = 0 \) (la forma diferencial nula). Esto no significa que todas las formas diferenciales tengan diferencial nula, sino sólo las "exactas", es decir, las de la forma \( d\omega \), para otra forma diferencial \( \omega \).
Creo que era el_manco quien razonaba en el hilo que citabas que una diferencial segunda tiene que ser cero en cualquier interpretación razonable. Sus argumentos son la idea de fondo bajo el hecho de que el operador diferencial para formas diferenciales se defina de modo que \( d^2=0 \).
¿Se puede desprecia un diferencial frente a otro? ¿Por qué? ¿Tiene sentido definir el diferencial n-ésimo?
Como ya te he dicho, esos razonamientos que consisten en poner diferenciales cuando conviene y eliminarlos cuando conviene no tienen rigor alguno ni son fiables. En análisis no estándar sí tienen sentido esas cosas, pero eso no significa que los argumentos "alegres" de los libros de física sean correctos cuando se interpretan en el contexto del análisis no estándar. Al contrario, siguen siendo igual de incorrectos y el trabajo que hay que hacer para convertirlos en razonamientos rigurosos es más o menos el mismo que se requiere si no se usa el análisis no estándar.
¿Se puede definir el diferencial independientemente de la derivada? ¿Y viceversa? ¿Por qué?
"Se puede" es una pregunta muy general. Lo que "se hace" es lo que te he tratado de explicar. Si es posible descubrir alguna teoría innovadora al respecto, es algo que habrá que ver. Obviamente, yo no puedo hacer afirmaciones sobre lo que alguien podría "descubrir" en un momento dado. Lo que sí me atrevo a afirmar es que las "definiciones" de derivadas como cocientes de infinitésimos y cosas similares, en el sentido en que pueden verse en libros chapuceros, no son admisibles, y no estoy hablando como un matemático puritano que se escandaliza de usos "impuros", pero efectivos, de la matemática, como quien se escandalice de que alguien coma con las manos en lugar de con cubiertos. Lo que afirmo es que con esas bases se pueden demostrar muchas verdades y muchas falsedades a partes iguales, y que si en los libros que las usan no demuestran falsedades es porque cada vez que un matemático ha demostrado una falsedad por esos medios y otro matemático ha encontrado un contraejemplo, los siguientes autores de libros chapuceros se cuidan mucho de volver a incluir el resultado falso en sus nuevos libros, a pesar de que sigan usando las mismas técnicas que permiten probar fácilmente resultados falsos.
