Carlos, no te crispes.
Ehh, que no me crispo en absoluto. Es que sinceramente me ha resultado muy difícil seguirte en tu post anterior y he tratado de explicarte lo que me chirriaba, pero nada de lo que he dicho ha pretendido expresar ninguna clase de enojo y mucho menos de crítica.
No estoy renunciando al rigor, no veo en qué momento dije que el rigor no importa.
Pienso que se puede ir agregando rigor en cada cosa que vaya surgiendo.
No tengo mucho apuro, sin embargo, porque no sé si voy a tener que terminar escribiendo un libro de cada cosa que se discuta.
Ojo, que no te he reprochado que dijeras cosas sin rigor (obviamente aquí no es plan de ponerse a demostrar cada cosa que se dice) sino que, salvo que te haya entendido mal, decías que no importaba que los argumentos con diferenciales no fueran rigurosos, porque siempre se podrían presentar de una forma alternativa rigurosa. Es decir, mi "queja" no era que no fueras riguroso, sino que parecías decir que no era importante ser riguroso (no en este hilo, sino al escribir libros de física).
En cuanto a los diferenciales en teoría abstracta de la medida, aparecen "sueltos" si uno quiere, cuando uno estudia las funciones absolutamente continuas respecto otra medida antes definida.
Algo como \( \displaystyle d\mu =\dfrac{d\mu}{d\nu}d\nu \) tiene sentido incluso en casos en que \( \dfrac{d\mu}{d\nu} \) no es una función diferenciable...
Ahí, tanto \( \mu \) como \( \nu \) son "medidas", y sin embargo aparecen escritos con notación de diferencial.
No son "formas diferenciales", pero son algo que se escribe parecido,
y en algunos contextos es claro que coinciden.
Estamos en las mismas. Cuando defines la integral de una función respecto a una medida, defines la expresión
\( \displaystyle \int_Af\,d\mu \)
"en bloque", sin asignarle un significado específico a \( d\mu \), con lo que la ecuación \( \displaystyle d\mu =\dfrac{d\mu}{d\nu}d\nu \) tampoco significa nada con rigor, salvo una "regla mnemotécnica" que sólo tiene significado cuando en la forma
\( \displaystyle \int_Af\,d\mu=\int_A f\,\frac{d\mu}{d\nu}\,d\nu \)
Que la derivada no sea diferenciable no es nada destacable, pues se trata de una función que aparece en el integrando de una integral, y estamos de acuerdo en que nada nos obliga a exigir diferenciabilidad en los integrandos.
En efecto, ahí \( d\mu \) no es una forma diferencial porque no es nada, al igual que no es nada \( dx \) cuando defines la integral de Riemann o de Lebesgue \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx \).
En efecto, todo esto viene por la "dD" que metió Jabato.
De todos modos, los "elementos diferenciales" cuando están puestos en función de "otros", tipo una regla de sustitución, ¿no amerita esto discutir qué pasa con el caso general de \( d\alpha \)?
Es natural transformar el dominio de integración.
Lo siento, no lo hago adrede, pero me vuelvo a perder. Sí, es natural transformar el dominio de integración, mediante aplicaciones diferenciables, y ahí está el teorema de cambio de variables, que admite una expresión muy elegante y natural en términos de formas diferenciales. No sé a dónde quieres ir a parar.
No entiendo por qué dicen que estoy desvirtuando el debate.
Entiendo que se está hablando del uso de los diferenciales.
Hombre, está claro que se puede debatir sobre cualquier cosa, pero entiendo que discutir sobre el uso que se hace de los diferenciales no es lo mismo que estudiar hasta qué punto se podría generalizar la noción de "diferencial" para ir mucho más allá del uso que realmente se hace de los diferenciales, que es lo que me parecía entender que proponías, y todavía no tengo muy claro. Disculpa si no te sigo bien.
Los físicos los usan en forma "suelta", y aunque los argumentos como los que has expuesto de ellos son ciertamente muy dudosos, pienso que matemáticamente están todos justificados, y tendremos que mirar caso por caso.
Hombre, claro. Nunca he pretendido afirmar que los teoremas que usan los físicos puedan ser falsos. Imagina un libro de física que presenta sin demostración los resultados matemáticos que necesita. Es razonable que si lo consultas y no ves en ellos nada sospechoso, aceptes que, en efecto, esos resultados se pueden demostrar con rigor, sólo que en ese momento no te interesa la prueba. No digo que haya motivos para sospechar que uno de ellos pueda ser falso, sino que únicamente señalo que ahí no está demostrado. Igualmente, si un libro de física "demuestra" los resultados matemáticos mediante malabarismos con diferenciales, lo que digo es que eso es peor que enunciarlos sin demostración, pues lo cierto es que no está demostrando nada y, en cambio, pretende convencer al lector de lo contrario.
Yo no generalizo por deporte, los diferenciales se usan como "notación" de las integrales de medidas abstractas, las cuales involucran como caso particular a la teoría de probabilidad, de amplio uso en física.
Ah, pero es que eso no es lo mismo que estudiar si es posible definir una noción de \( d\alpha \) para funciones \( \alpha \) no necesariamente diferenciables, que es lo que entendía que proponías.
Si en una integral aparecen un dominio D y una medida \( \mu \), no son parte de lo mismo, porque en un mismo conjunto se pueden definir medidas distintas.
Aquí eres tú el que no me a entendido. Lo que yo decía es que tú defines \( \int_Df\,d\mu \) como una única expresión con tres variables libres, \( D,f,\mu \) de modo que en teoría, daría igual que la escribieras así que en la forma \( I(f, D, \mu) \), pues no has definido realmente nada llamado \( d\mu \).
¿Cómo discutir la formalización de todo esto, si no se discuten antes, al menos informalmente, los contextos y modos en que aparece la notación de diferencial, y cómo se transforman unos integrandos en otros, incluso sobre dominios de distintas dimensiones?
Para mí todo está en juego en el debate. Me refiero a todo lo que involucra la notación "d" para integrales, o en formas diferenciales, o en derivadas.
En gran medida estoy de acuerdo con lo que dices aquí, pero dicho literalmente así es capcioso, porque una cosa es definir algo de la forma \( d \)"algo" y otra cosa definir algo y en la notación empleada para expresar la definición colar una "d" de contrabando, sin definición específica, lo cual es riguroso (puedes usar la notación que quieras), pero capcioso, pues ahí no tienes realmente ninguna "d" definida.
Y no he mencionado la integral de Lebesgue esperando que alguien más lo haga, porque se ve que el interés general va más por el lado de la integral de Riemann.
Pero ahí el diferencial está más como una notación, indicando que se integra bajo la medida de Lebesgue, pero ya no se lo piensa como "elemento diferencial".
¿Por qué no? Todo lo que he dicho yo en mis posts anteriores vale indistintamente para la integral de Riemann o la de Lebesgue. La integral de Lebesgue induce un elemento de medida (una forma diferencial en \( \mathbb{R}^n \)) que a su vez induce un elemento diferencial en cada subvariedad regular de \( \mathbb{R}^n \), con lo que perfectamente puedes tomar la medida de Lebesgue (y la integral de Lebesgue) como el sustrato de toda la teoría de integración de funciones en subvariedades regulares de \( \mathbb{R}^n \). El partir de la integral de Lebesgue o la integral de Riemann simplemente modifica el conjunto de formas diferenciables integrables (que es más extenso si consideras la integral de Lebesgue). A decir verdad, yo siempre he hecho "mis cuentas" considerando la integral de Lebesgue, y ahora mismo no sabría decirte si al tratar de hacerlas con la integral de Riemann (en variedades, quiero decir) no podrían surgir problemas delicados. No lo sé.
Pero bueno, si el debate es otro, sepan disculpar.
Pues... ya estoy hecho un lío y no sé si estamos debatiendo sobre lo mismo o no. Es probable que sí.
Lo correcto entonces será tomar frases sueltas de los libros de física que involucren razonamientos con diferenciales, y discutirlos matemáticamente.
Yo no tengo a mano dichas frases. Las he visto, las he escuchado, pero no las tengo escritas para transcribirlas y discutirlas.
Veré si encuentro algunas. Debo de tener ejemplos relativamente a mano, pero ahora mismo es tarde para ponerme a buscar.
Hoy me resultas muy enigmático.
Es que es un debate general, no un cálculo.
Si hay que poner rigor se pone, y si no, no.
No creo que el asunto sea tan grave.
Prefiero atajar los penales a medida que van llegando.
Que sí, que sí. Si no trataba de cuestionar la forma en que planteabas el debate, ni mucho menos acusarte de falta de rigor. Sólo trataba de hacerte ver que, por algún extraño motivo, no era capaz de entender qué estabas afirmando, o proponiendo, o planteando, y sigo sin tenerlo del todo claro, aunque creo que te voy entendiendo y, en efecto, no es grave en absoluto. No creo que tardemos mucho en centrarnos.
Por ejemplo, de esas frases de los físicos, ver cuáles se pueden traducir al rigor matemático, y cuáles dan lugar a errores o malentendidos.
Buscaré.
