Hola. He estado de viaje estos días, con acceso a internet muy esporádico, así que no he podido intervenir en el foro hasta hoy. Creo que el último post de argentinator resume bien lo dicho hasta aquí en mi ausencia, así que bastará con que responda a dicho post.
Es que las formas diferenciales están bien, pero simplemente ponen de manifiesto otra noción distinta de diferencial, que requiere variedades "suaves".
No veo por qué dices que es distinta. Ahora vuelvo sobre eso. En cuanto a lo de que requiere variedades "suaves", es cierto, pero ojo, que eso no significa que sea necesario trabajar con funciones suaves. Es posible definir formas diferenciales en general y distinguir entre ellas formas "continuas", "integrables", \( C^\infty \), etc. Para particularizar la teoría a \( \mathbb{R} \) basta tener en cuenta que \( \mathbb{R} \) es una variedad "suave", aunque en ella podamos considerar funciones discontinuas, no derivables, etc.
Si yo expongo los "elementos diferenciales" para definir la integral de Riemann-Stieljes, no quiere decir que lo que yo exponga es suficiente para cubrir el caso de que lo que se ha dicho sobre formas diferenciales.
Aquí creo que hay una confusión. Cuando construyes la integral de Riemann, o la integral de Rieman-Stieljes, o la de Lebesgue, no defines en ningún momento "elementos diferenciales". Tú defines (particularizando a una variable, por simplicidad)
\( \int_a^bf(x)\,dx \)
como un operador \( \int_a^b\ \ \,dx \) actuando sobre una función \( f \), pero de modo que en tu definición el "gusanito" \( \int \) y la "coletilla" \( dx \) son formalmente un mismo elemento indivisible. No tienes una definición de \( \int \) y de \( dx \) por separado que luego reunas en una misma expresión, como cuando al escribir \( \cos \ln x \) estás combinando la definición de coseno con la de logaritmo.
En otras palabras, tu construcción de la integral te da derecho a escribir que \( \displaystyle\int_{a}^{b}\frac1x\,dx=\ln b-\ln a \), pero no te da derecho en absoluto a escribir algo como
\( d\ln x = \displaystyle\frac{1}{x}\,dx \)
Esta igualdad carecería de rigor si toda nuestra teoría disponible fuera la construcción de la integral de Rieman-Stieljes, o cualquier otra.
Lo que hace la definición de integral es mostrar que, teniendo un poco de cuidado, los usos de diferenciales se pueden eliminar. Por ejemplo, imaginemos que queremos resolver la ecuación diferencial
\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=y \),
y para ello procedemos así:
\( \displaystyle\frac{dy}{y}=dx\Rightarrow \displaystyle\int_{a}^{x}\frac{dy}{y}=\int_a^x\,dx\Rightarrow \ln y(x)-\ln y(a)=x-a\Rightarrow \ln y = x+c\Rightarrow \cdots \)
La "separación de variables", entendida literalmente, carecería de rigor sin más base que una definición del concepto de integral. Otra cosa es que es fácil demostrar que el método es válido en general en el sentido de que se puede probar que la solución a la que lleva esa manipulación sin rigor de diferenciales es equivalente a una demostración matemática rigurosa que no usa diferenciales "sueltas" y que lleva al mismo resultado, de modo que la manipulación de diferenciales puede verse como una "regla mnemotécnica" del método de resolución de ecuaciones diferenciales por separación de variables.
(Nota: Por no desviarme no me he parado aquí con los detalles que también habría que estudiar en el ejemplo sobre la posibilidad de que la función incógnita y pudiera anularse en algún punto.)
Sin embargo, lo cierto es que el proceso de separación de variables es totalmente riguroso, pero no gracias a la definición de integral, sino a la definición de forma diferencial. De la igualdad
\( \displaystyle\frac{dy}{dx}=y \),
donde se entiende que \( y \) es una función de \( x \) (desconocida), es totalmente riguroso pasar a la iguadad de formas diferenciales
\( \displaystyle\frac{dy}{y}=dx \)
al igual que lo son todos los pasos subsiguientes del método de separación de variables. Por eso digo que no entiendo por qué dices que las formas diferenciales "ponen de manifiesto otra noción distinta de diferencial". No lo veo así. Las formas diferenciales formalizan precisamente esa noción de diferencial que usan los físicos cuando escriben una relación entre diferenciales y luego "integran".
Otro ejemplo que ilustra perfectamente esta situación es la manipulación de diferenciales habitual al aplicar la integración por partes, o al aplicar el teorema de cambio de variable.
Creo que merece la pena comentar una frase de un mensaje anterior:
Cuando las formas diferenciales aparecen en geometría diferencial, se está pensando de otra forma, o sea, en términos de funcionales lineales, y allí no hace falta pensar en "integrales", pues lo que interesa es razonar sobre "suavidad" de las variedades y espacios tangentes.
O sea, el "diferencial" se está pensando en forma "de derivabilidad".
No siempre lo diferencial y lo integral encajan tan bien como con la integral de Riemann.
Dicrepo rotundamente. Las formas diferenciales que aparecen en geometría diferencial (que, obviamente tienen aplicaciones muy diversas) son esencialmente "objetos destinados a ser integrados". No soy especialista en la historia de las matemáticas, pero me atrevería a afirmar que surgieron precisamente para exponer en toda su generalidad teoremas como el teorema de la divergencia o el teorema de Stokes, que son generalizaciones de la regla de Barrow para funciones de una variable.
Y precisamente la teoría de formas diferenciales es la forma más elegante de mostrar cómo encajan perfectamente "lo diferencial y lo integral". De hecho, aunque es indiscutible que a la hora de construir el cálculo integral el primer paso es definir la integral de una función respecto de una medida, cuando uno llega a formularlo en términos de formas diferenciales (y esto es una forma de hablar que nadie debería tomarse al pie de la letra) termina pensando que lo "ortodoxo" es integrar formas diferenciales, hasta el punto de que integrar funciones roza el "sinsentido", como lo sería hablar de coordenadas sin haber fijado un sistema de referencia.
Lo que estoy afirmando es que, aunque es igualmente válido concebir
\( \int_0^5 x^2\,dx \)
como la integral de la función \( x^2 \) en el intervalo \( [0,5] \) o como la integral de la forma diferencial \( x^2\,dx \) en el intervalo \( [0,5] \), quien lo concibe del segundo modo está viendo una misma realidad desde una perspectiva mucho más profunda. La diferencia es similar a la que hay entre quien piensa en \( \mathbb{R}^3 \) como el objeto matemático definido como \( \mathbb{R}^3 \) y quien piensa en \( \mathbb{R}^3 \) como un ejemplo de espacio vectorial sobre \( \mathbb{R} \) de dimensión \( 3 \), que es algebraicamente indistinguible de cualquier otro ejemplo conjuntistamente distinto. No es necesario saber lo que es un espacio vectorial para operar correctamente con \( \mathbb{R}^3 \), pero quien piensa en términos de espacios vectoriales tiene una visión más profunda de \( \mathbb{R}^3 \) que quien sólo ve ternas de números.
En cualquier caso, en lo que insisto es en que pensar en términos de integrar funciones o integrar formas diferenciales son dos formas de concebir lo mismo, y no pensar en dos cosas distintas en contextos distintos. La diferencia es que quien piensa en funciones no tiene a su alcance ningún concepto riguroso de diferencial, en el sentido de que para él \( dx \) no tiene ningún significado independiente y, por consiguiente, ningún uso independiente que no vaya precedido por un "gusanito" en la misma expresión, de modo que el gusanito y la diferencial puedan ser entendidos como un único "bloque" de notación. Por el contrario, quien piensa en formas diferenciales puede manipular aisladamente objetos como \( x^2,dx \) que a su vez pueden ser interpretados (con esa "intuición" de estar por casa de la que tanto has hablado en otro hilo, que está ahí, pero que no es auténtica intuición, en el sentido de que no tiene rigor alguno, pues no tiene contenido intuitivo ninguno, en sentido propio) como incrementos infinitamente pequeños de funciones.
Son contextos distintos, en que se usa una misma notación "dx", indicando conceptos que tienen cierta similitud u origen matemático, pero que deben pensarse diferente.
Pero al menos se podrá aclarar el asunto de las integrales.
Como ya digo, discrepo rotundamente de eso. Al concebir \( dx \) como forma diferencial estamos dando un significado independiente a la \( dx \) que se introduce como mera notación al definir la integral de una función. A ver si este ejemplo resulta ilustrativo:
Al construir los números reales, puede resultar útil (según cómo se haya ido desarrollando la construcción) definir en primer lugar cuándo un número real \( x \) cumple \( x\geq 0 \), para luego definir
\( x\geq y\leftrightarrow x-y\geq 0 \).
Cuando se razona así, primero se define \( \geq 0 \) en bloque, de modo que, con la definición dada, no tiene sentido escribir \( \geq \) sin poner a continuación un cero. Luego, al definir el caso general, ya podemos separar con rigor el \( \geq \) del \( 0 \) y escribir \( \geq \) entre dos números cualesquiera. El proceso de definir las formas diferenciales es análogo en cuanto que nos permite "despegar" el \( dx \) del gusanito de la integral y usarlos independientemente.
