1.- Si los elementos diferenciales que utilizamos en las ciencias aplicadas (ingeniería, física, etc.) se justifican en única y última instancia con la teoría de formas diferenciales, entonces el debate está terminado. Nos damos la mano y no hay más que discutir. No parece que ningún matemático vaya a dar alguna visión alternativa sin utilizar las formas diferenciales. Y yo contra eso no puedo hacer nada.
Pues entonces ya está. Lo que no entiendo es lo de "no puedo hacer nada". ¿Por qué querrías hacer algo? ¿Qué hay de malo en que un problema haya encontrado una solución idónea? ¿Por qué querría nadie evitar la solución de un problema para resolver el problema?
2.- Es precisamente al revés de lo que dices. Del ingeniero tengo una visión práctica, además a diario y en primera persona, de lo que tengo una visión romántica es de la Matemática, especialmente de la época del León (Newton), Leibniz, Bernouilli, Euler, Gauss, etc., donde precisamente el rigor y el puritanismo matemático brillaba por su ausencia y sin embargo es la parte de la historia de las matemáticas en la que más rápido y en más cantidad y calidad de resultados se ha avanzado. Euler es uno de los mejores ejemplos. Si no hubiera sido por su "imprudencia", jamás habría sido uno de los matemáticos más prolíficos, si no, el que más, e importantes de todos los tiempos. Con esto no digo que el rigor que trajeron después Weirstrass, Cauchy, etc. con la época del delta-épsilon, la formalización y el análisis moderno no sea importante a la vez que necesario, que lo es, pero los anteriores sí que constituyeron una época romántica y prolífica, que en muchos casos es la base de todo el análisis contemporáneo. En este marco es donde me gustaría que algún matemático se atreviera a definir los elementos diferenciales.
Sigo sin entender el "se atreviera". Tus afirmaciones parecen tener una "moralina" de fondo que viene a decir que "las formas diferenciales son malas" o son "de cobardes" (porque nadie se atreve (?) a renunciar a ellas") o cosas así que no entiendo. En realidad, la forma más exacta de plasmar las ideas de Newton, Leibniz, Euler, etc. es el análisis no estándar, que es una teoría muchísimo más complicada que la teoría de formas diferenciales. Si se trata de plasmar el espíritu del "análisis primitivo", tenemos que ir hacia el análisis no estándar, y a complicarnos la vida innecesariamente, si se trata de mantener el lenguaje y los resultados de dicho "análisis primitivo" con fidelidad a las formas pero alterando los contenidos (las definiciones) para dar rigor a lo que no lo tenía, entonces tenemos las formas diferenciales, que son mucho más sencillas, y si se trata de preservar los resultados pero erradicando los métodos "primitivos", entonces tienes la teoría de límites. Tienes tres opciones para tres finalidades distintas:
Análisis no estándar: conserva ideas (permite hablar literalmente de cantidades infinitamente pequeñas), formas y resultados.
Formas diferenciales: conserva formas y resultados, pero alterando las ideas básicas (no hay cantidades infinitamente pequeñas, por lo que los elementos diferenciales no pueden definirse como tales).
Líimites: conserva los resultados pero elimina los métodos (sustituye los elementos diferenciales por operaciones finitas y pasos al límite).
Las tres formas de trabajar parten de ideas ingeniosas, brillantes incluso en muchos casos, y cumplen su cometido. Lo que es absurdo es que pretendas usar la tercera para conseguir los objetivos que consigue la segunda (y más absurdo aún si, como motivación, presentas los fines que sólo consigue la primera). Cada una vale para lo que vale.
En la época de la que hablo, ningún matemático sabía lo que era una forma diferencial y aparentemente no lo necesitaba para justificar el empleo que se hacía, con resultados absolutamente correctos e inovadores, de los incrementos infinitesimales, que es como los llamaban en aquella época, bien en las fluxiones de Newton o en la notación diferencial de Leibniz.
De absolutamente correctos nada. Aquí hay mucho que analizar y, de paso, vuelvo al asunto de por qué no debe extrañarnos que los aviones vuelen:
Hacer (buenas) conjeturas en matemáticas es relativamente fácil. "Relativamente" significa aquí que es necesaria una cierta dosis de genialidad, pero que los genios capaces de hacer buenas conjeturas nunca han escaseado entre las filas de los matemáticos. Riemann conjeturó la hipótesis de Riemann, y no la enuncio por decir algo, sino que tenía evidencias de que debe ser cierta, si bien no pudo probarla. Recientemente, Wiles ha demostrado el último teorema de Fermat demostrando una conjetura sobre formas modulares que llevaba mucho tiempo sin ser demostrada. Pese a ello, los expertos del área confiaban en que debía de poder demostrarse, y no es una conjetura propuesta a la ligera, sino que se llegó a ella tras reunir numerosas evidencias de que debía ser cierta.
Para que te hagas una idea de lo sofisticada que puede ser una conjetura aún no demostrada pero que cualquiera que la conozca a fondo está convencido de que debe ser cierta, y que permite probar resultados constatables, fíjate en la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer que puedes ver aquí:
http://en.wikipedia.org/wiki/Birch_and_Swinnerton-Dyer_conjectureSi bajas un poco verás una igualdad "monstruosa" que involucra muchas cantidades sofisticadas. No importa lo que significan. Basta con que te des cuenta de que es algo muy preciso, muy afinado y que, si es una conjetura, no es una conjetura "frívola", sino el fruto de una mente (varias, de hecho) muy perspicaces.
¿A dónde quiero llegar con esto? A que los resultados que tú calificas de "absolutamente rigurosos" eran en realidad conjeturas. Conjeturas más sencillas que éstas que te cito. Pero si estas conjeturas que te cito, pese a su sofisticación, son relaciones muy precisas y fiables (no demostradas) entre objetos matemáticos (la función dseta de Riemann, curvas modulares, etc.) con mayor razón lo eran las conjeturas (mal llamadas teoremas) de Newton, Euler, etc.
No hablo de todos los resultados de Newton, Euler, etc. Todos aquellos cuyas "demostraciones" originales, pueden convertirse en auténticas demostraciones por cualquier matemático competente que no sea un genio son auténticos teoremas cuyo mérito cabe atribuir a Newton, Euler, etc.
Ahora bien, recuerdo haber leído una comparación entre una demostración de Euler sobre la factorización de la función seno en producto infinito y su correspondiente versión de análisis no estándar, y el resultado era que el argumento de Euler servía de guía para una demostración rigurosa, pero en el uso de infinitésimos que hacía Euler había algunos puntos que siendo "plausibles", no se pueden considerar demostrados en su exposición. Por ello, ese "teorema" de Euler es realmente una conjetura de Euler, porque es una demostración con agujeros. Admitiendo que tal o cual expresión debe tender a cero (cosa que Euler daba por obvia sin motivos) el resultado se cumple. Eso significa que, a partir de la conjetura razonable de que tal cosa tiende a cero, se puede probar el resultado que Euler decía haber demostrado. La "demostración" de Euler es en realidad la "reunión de indicios" que convierte su conjetura en una conjetura sólida y brillante y no en una afirmación frívola.
Y aquí es donde tú dices: "Pero Euler tenía razón, el resultado es cierto", y yo te respondo, "Sí, lo cual prueba que Euler era uno de esos matemáticos brillantes capaces de enunciar conjeturas muy precisas y razonables, a pesar de no ser capaz de demostrarlas, como Riemann cuando conjeturó la hipótesis de Riemann o como Weil cuando conjeturó la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, que finalmente demostró Wiles.
A lo largo de la historia, han sido muchos los matemáticos brillantes que han hecho conjeturas brillantes que finalmente han sido demostradas. A un nivel más modesto, esto es algo cotidiano: cualquier matemático que hoy en día se propone demostrar un teorema original, lo primero que hace es conjeturar que es cierto y se esfuerza por probar su conjetura: los matemáticos mediocres conjeturan cosas que a veces acaban siendo ciertas y a veces acaban siendo falsas, mientras que los matemáticos brillantes tienen el don de acertar casi siempre con las conjeturas que formulan, un don muy especial, pero no milagroso ni sobrehumano.
A su vez, los matemáticos que hacen buenas conjeturas se dividen en dos categorías: los que, ingenuamente, llaman teoremas a sus conjeturas (como es el caso de Newton, Euler, Leibniz, etc., aunque insisto en que no estoy afirmando que todos sus resultados fueran conjeturas, sino que algunos -muchos- los sabían demostrar) y los que llaman conjeturas a sus conjeturas y teoremas a sus teoremas, como Riemann, etc.
Con esto no le quito ningún mérito a Newton, a Euler y compañía. Al contrario. El mérito de hacer buenas conjeturas es incluso más admirable que el de demostrarlas, porque el que las demuestra parte de la conjetura, mientras que el que las conjetura parte de perspicacia nada más.
Y ahora damos una vuelta de tuerca más:
Si es posible que mentes brillantes hagan conjeturas brillantes, precisas y profundas en temas de matemática pura sin ninguna conexión con la experiencia y que, con el tiempo, acaban siendo demostradas, ¿qué tiene de extraño que mentes brillantes hagan conjeturas brillantes, precisas y profundas sobre cuestiones de física donde la experiencia está ahí para guiarlos si se equivocan?
En resumen: Es mucho más fácil hacer conjeturas fiables en cuestiones de física e ingeniería (donde cuentas con la experiencia para contrastar) que en matemática pura (donde no cuentas con nada más que tus propios razonamientos), y si el conjeturar cosas brillantes y demostrarlas después es relativamente habitual en matemática pura, no hay nada de extraño en que, durante un tiempo (ya pasado) los físicos y los ingenieros hicieran bien su trabajo a partir de sus conjeturas y que el hecho de que no las hubieran demostrado a pesar de que ellos creyeran lo contrario no suponía ningún obstáculo.
Además, el nacimineto de estos incrementos infinitesimales tenía sentido en aquella época y a mí románticamente me gusta seguir viéndolo así por el hecho del paso al límite al que se ven abocados en última instancia, pero ya hemos visto que no necesariamente tienen que ser cantidades muy pequeñas, tal y como ha señalado Jabato en varias ocasiones.
Cuidado: que Jabato haya afirmado algo no quiere decir que "ya lo hayamos visto". Jabato se ha limitado a describir la definición de integral. Dudo mucho que a partir de las ideas que ha expuesto se pueda desarrollar una teoría operativa sobre infinitésimos o diferenciales o lo que sea. En cualquier caso, si ese desarrollo es posible, tendrá que ser Jabato quien lo demuestre con una sucesión coherente de definiciones y teoremas, y no yo quien demuestre que no es posible.
Por tanto, mi pregunta no es perversa. Quizás la respuesta lo sea, pero la pregunta es la esencia de este debate. Ni más ni menos, aunque en el fondo "comprendo" que ningún matemático quiera meterse en este follón tan pantanoso.
No. No entiendo por qué la esencia del debate es sustituir una teoría que resuelve el problema (de dar rigor a los elementos diferenciales) por otra teoría que está diseñada para erradicar los diferenciales. En ningún momento has explicado qué hay de razonable en tu deseo de cambiar una teoría eficiente por una alternativa a la que no le veo pies ni cabeza. Usar los límites para sostener a los diferenciales es como tratar de alimentar a un gato con veneno para gatos: no puedes cuidar a un gato dándole algo expresamente diseñado para eliminarlo.
3.- En el ejemplo que das de del Principio de Arquímedes, creo que al árbol no te deja ver el bosque. La generalización para cualquier tipo de cuerpo, habiendo demostrado que se cumple para cubos, es algo trivial que se se puede hacer utilizando el Método de Elementos Finitos o directamente demostrar cada caso concreto con la geometría que corresponda. De hecho, se puede hacer una demostración general en la que no importa la forma del cuerpo sino su distribución de masa. Hablar de honradez intelectual me parece una frivolidad innecesaria.
Sólo pretendía poner un ejemplo sencillo que ilustrara la diferencia entre demostrar un caso particular y el resultado general. No tengo tan claro que sea tan trivial como dices, pero si lo fuera siempre podríamos buscar ejemplos nada triviales sobre el uso y abuso de esa falacia. Y sí me parece relevante hablar de honradez intelectual, en referencia a la honradez de llamar teoremas a los teoremas y conjeturas a las conjeturas. Ambas cosas tienen su valor y su porción de genialidad y su utilidad, pero cada cosa es lo que es.
4.- Con respecto a, en mi opinión, el "mal" ejemplo de la esfera, me he permitido la licencia de adjuntar un fichero a este post en el que calculo la superficie y el volumen mediante cálculo diferencia e integral. En la "moraleja" del documento aparece el tipo de respuesta que esperaba cuando te pregunté qué criterio debe haber para discernir si el planteamiento "diferencial" es correcto sin conocer el resultado final de antemano.
Tu fichero ilustra perfectamente el valor (\( =0 \)) de esa clase de "argumentos". Para calcular el volumen aproximas la altura por \( dx \), y para calcular el área la aproximas por \( dl \) (¡porque conviene!). Imagina que te cae una maceta en la cabeza y te produce una curiosa amnesia: recuerdas perfectamente todos tus conocimientos de matemáticas salvo que se te ha olvidado completamente cuál es el área de una esfera. Entonces vienes a mí y me preguntas: "Carlos, ¿me puedes recordar cuál es el área de una esfera, que ahora no lo recuerdo?" y yo te respondo: "Más que eso, te voy a dar dos demostraciones del área de la esfera", y te doy la misma demostración que tu adjuntas que da \( 4\pi R^2 \) junto con otra que sigue exactamente los mismos pasos y con la misma moraleja, salvo que uso \( dx \) para aproximar la altura y me da \( \pi^2R^2 \).
Pregunto: ¿Tendrías alguna forma de saber cuál es la demostración correcta sin más que analizar las demostraciones que te doy, es decir, sin recurrir a otros argumentos o comprobaciones empíricas al margen de las pruebas que te doy?
Deberías reconocer que no podrías, y eso prueba que no hay una demostración correcta y otra incorrecta, sino que ninguna de las dos es correcta, pues lo mínimo que se le puede exigir a una ristra de garabatos en un papel para que pueda considerarse una demostración de algo es que quien la examine tenga elementos de juicio para discernir si es correcta o incorrecta sin más que analizar la prueba, es decir, sin recurrir a otros razonamientos ajenos a ella. Fíjate que no es lo mismo que decidir si el resultado es demostrable o no. Por ejemplo, si me dan esta "demostración" de que \( 2+2=4 \):
\( (2+2)\cdot 0 = 0 = 4\cdot 0\Rightarrow 2+2=4 \),
sería absurdo que yo dijera "la demostración es correcta, y si alguien lo duda sólo tiene que sumar dos y dos con la calculadora y verá que le da cuatro, puedes basarte en esto para construir un avión y seguro que volará". Por el contrario, tengo que decir que la prueba es incorrecta porque no se puede dividir por cero, y el hecho de que los aviones vuelen, a lo sumo justificará que \( 2+2=4 \), pero no que esta prueba sea correcta. Si al ingeniero que ha construido el avión le han enseñado que dos y dos son cuatro por el "argumento" anterior, sus aviones volarán sin problemas, porque es verdad que dos y dos son cuatro, pero él no sabe por qué dos y dos son cuatro.
Dicho esto, vuelvo a lo mismo, la cuestión no es juzgar el planteamiento inicial al escoger el elemento diferencial de un problema, se entiende que se debe hacer el correcto o el resultado estará equivocado,
Te habrás quedado descansado con esa tautología. El problema viene cuando la única forma de distinguir "lo correcto" de "lo incorrecto" es ver si lo que sale cuadra o no cuadra. Me recuerdas al rey de
"El principito": Tenía poder absoluto sobre el universo, si ordenaba que saliera el Sol, el Sol le obedecía y salía, eso sí, el rey se cuidaba mucho de no dar órdenes "incorrectas", como ordenar a medianoche que saliera el Sol. Tenía que saber de antemano a qué hora iba a salir el Sol para ordenarlo en el momento preciso para que el Sol "le obedeciera". La autoridad del rey era ficticia, como lo es el valor probatorio de tu argumento, pues necesitas saber el área de la esfera para decidir cuál es el teorema correcto igual que el rey tenía que saber lo que iba a hacer el Sol para saber cuál era la orden correcta que tenía que dar.
Esa clase de argumentos se oponen al conocimiento científico en un sentido lógicamente análogo al del "conocimiento teológico": si un enfermo se muere es porque Dios lo ha castigado por sus pecados, y si se salva es porque Dios lo ha perdonado: primero necesito el hecho y luego le sé encontrar una explicación plausible, pero no me pidas que te prediga si el enfermo va a morir o se salvará, porque tendré un 50% de posibilidades de equivocarme, las mismas que tendrías tú si tuvieras que decantarte por una de las dos "demostraciones" del área de la esfera si no supieras cuál es dicha área.
sino si esos elementos diferenciales pueden definirse matemáticamente sin emplear las formas diferenciales. Y disculpa que insista, pero piensa por un momento que estamos en el siglo XVIII, la teoría de formas diferenciales no la ha soñado nadie aún y buscamos una justificación a la pregunta objeto de este debate.
Imagina tú que estás en el siglo XVII y buscamos una justificación de por qué funciona la fórmula de Cardano para resolver ecuaciones polinómicas de grado 3 a pesar de que involucra raíces de números negativos y nadie entiende qué puede ser eso. ¿Crees que sería razonable pedir a los matemáticos que justificaran la fórmula de Cardano sin hablar de números complejos sólo porque Cardano no supiera lo que son los números complejos y hablara de raíces de números negativos sin saber explicar qué era eso? Leibniz estaba hablando de formas diferenciales sin saberlo igual que Cardano hablaba de números complejos sin saberlo.
¿Por qué no quieres formas diferenciales y sí que te valen límites? Te recuerdo que ni Newton ni Leibniz conocían el concepto de límite y, ya puestos, tampoco sabían lo que es un espacio vectorial, o un espacio compacto, o una función continua, o un espacio de Hilbert. Tienes las mismas razones para pedir a los matemáticos que eviten las formas diferenciales como para pedirles que demuestren los resultados del cálculo diferencial e integral sin usar todos estos conceptos "modernos", ni resultados como que una función continua en un compacto es uniformemente continua, etc.
¿Hay algún problema en afirmar que una función continua salvo en una cantidad numerable de puntos es integrable Riemann sólo por el hecho de que Leibniz no supiera lo que es un conjunto numerable?
5.- Ésta va tanto para Carlos, como para el_manco como para Jabato. Recordad que el método científico NO SIEMPRE es la guía estricta para desarrollar teorías y leyes, aunque sí el tribunal que juzgue la veracidad de las mismas. Sin ir más lejos, la mayoría de físicos teóricos no llevan a cabo la retroalimentación observación-teoría-comprobación empírica-depuración-teoría final-comprobación empírica. Einstein desarrolló toda la Teoría de la Relatividad porque intuyó cómo debía comportarse el universo, no porque el universo le revelara por observaciones cómo debía comportarse. Obviamente, la única manera de verificar su teoría es mediante la observación/contrastación empírica, cuando se puede (no siempre), y así se hizo para que el resto de la comunidad científica aceptara sus teorías. No me negaréis que el mérito de Einstein y otro@s frente al clásico ensayo-error es de admiración.
¿Y qué tiene que ver el modo en que a Einstein se le ocurriera la teoría de la relatividad con el problema de si es razonable presentar como teoremas lo que son razonamientos incompletos o incluso a veces ni siquiera razonamientos, pues no llegan al nivel de ser juzgados por criterios objetivos? La imaginación es libre. Nadie ha puesto nunca limitaciones a los caminos que puede seguir uno para elaborar una teoría física o matemática. En el caso de una teoría física, una vez ideada por cualquier medio, se le pedirá que sus predicciones se ajusten a la experiencia y que sus desarrollos matemáticos sean correctos. No he leído los trabajos originales de Einstein, pero fueron desarrollados con la asesoría de matemáticos profesionales del siglo XX, expertos en geometría riemanniana, álgebras de Lie, etc. Dudo mucho que sus matemáticas fueran las propias de un libro de texto chapucero para ingenieros (y quede claro que lo de chapucero califica a los libros, no a los ingenieros. Dudo mucho que podáis encontrar libros más chapuceros que los que yo mismo escribo para mis alumnos de la facultad de Economía).
6.- Me ha entrado la curiosidad por saber qué universidades y qué libros están en la "burbuja" y cuáles no.
Sobre los libros es fácil distinguir: los que demuestran las cosas, no, los que fingen demostrarlas, sí. Sobre las universidades, no sé qué se hace en cada sitio. Sólo he dicho que al documentarme para el libro de física que dejé a medias encontré libros de una y otra clase, y muchos de ellos eran libros destinados a estudiantes. El hecho de que haya encontrado libros de texto rigurosos sobre todos los temas por los que me interesé me hace conjeturar que hay (o por lo menos ha habido hasta hace poco) sitios donde esas cosas se explican con rigor. No me preguntes cuáles, que no lo sé. Incidentalmente (y siempre teniendo en cuenta que la muestra que manejé no era exhaustiva) todos los libros buenos estaban en inglés, y todos los libros de autores hispanohablantes eran bastante flojos. Eso te puede dar una idea de dónde están esas universidades.
¿Los Principia son una burbuja para ti? ¿Y los Opera Omnia? Ciertamente para mí no lo son y desde luego formalmente no creo que el análisis contemporáneo formal los admita, ¿no?
Por supuesto que no los admite. Su valor histórico es indudable, pero su valor científico es el de una lista de teoremas demostrados con descuido y conjeturas aparentemente demostradas, pero no demostradas, pero tanto los unos como las otras son brillantes y el resultado de mentes geniales, pues hace falta una gran dosis de genialidad para llegar a conjeturas tan precisas a partir de una profunda reflexión, hasta el punto de que, en muchos casos (no en todos) formular la conjetura requiere genialidad y demostrarla es sólo una tarea rutinaria (por lo menos, una vez que otro ha tenido la idea genial que permite encauzar las ideas geniales, como la introducción de los conceptos de límite, forma diferencial, etc.).
