Hola
Contestando a danizafa:Para empezar, no contesto como loco.
Estoy dando un punto de vista fundamentado.
Estoy totalmente de acuerdo. Otra cosa es que no esté de acuerdo con tus argumentos.
En ese sentido, un tirón de orejas generalizado, y hablo ahora como moderador: por favor, absteneos de hacer juicios de valor sobre la comprensión lectora de otro usuario; sus motivaciones a la hora de presentar el tema; y cuestiones que NADA tienen que ver con argumentos matemáticos.
Quien piense que otro usuario está obceado, o que piense que está insistiendo en un sinsentido, o que no es capaz de entender lo que se le decir, puede continuar esgrimiendo argumentos racionales para hacerle ver sus errores o su punto de vista si le apetece, o en todo caso no participar, pero evitar alusiones personales que sólo desvían el tema y entorpecen el debate.
Cosa distinta pudiera ser que el usuario mostrase alguna actitud inadecuada que motivase una respuesta en otro tono. No es el caso.
Ya tengo la demostración de porque no puede haber números perfectos impares, pero me imagino que si la publico acá me saltarán a la yugular...
Nadie te ha saltado a la yugular; es cierto que el tono de alguna respuesta ha sido un poco agrio y no debe de ser así. Pero más allá de eso, y ahora hablaré por mi, te he dado argumentos muy concretos y precisos en donde señalo y justifico los errores de tu discurso.
Asi que me esperaré o veré de mandarla a alguna revista y si consideran que es buena pues espero la publiquen.
Como quieras. Lo que habías presentado aquí al respecto, está mal y te he argumentado el porqué.
¿Pero dónde está el fallo?¿Puedes darme un número CONCRETO cualquiera donde falle?
Por ejemplo 7 es primo: cumple la afirmación "Cualquier número mayor que 1 es un número primo, o un producto de números primos", porque es primo.
Por ejemplo 6=2⋅3: cumple la afirmación "Cualquier número mayor que 1 es un número primo, o un producto de números primos", porque es producto de primos.
¿Dónde está el fallo?
y 7, por definición de primo, es 7⋅1. Y 1 no es primo.
¡Pero eso no contradice la frase!. La frase dice que un número entero mayor que uno es primo o es producto de primos. \( 7 \) es primo, por tanto la frase es cierta. FIN.
¿Qué tiene que ver que \( 7=7\cdot 1 \)?¿En qué contradice eso a la frase?. También \( 36=6\cdot 6 \) y \( 6 \) no es primo; es decir \( 36 \) puede escribirse como producto de NO-primos. ¡Pero eso no contradice que \( 36=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 \), es decir, no contradice que \( 36 \) se pueda escribir como producto de primos, qué es lo que afirma ese enunciado!.
Diría que este punto es en el que menos de acuerdo puedo estar contigo; no me parece discutible: el ejemplo que pones NO contradice la frase. En lo demás del hilo lo que subyace simplemente es que manejas definiciones sutilmente distintas a los de la matemática oficial. Y ya.(Bueno y por supuesto queda el asunto de la incorrecta demostración que has expuesto sobre la NO existencia de números perfectos impares).
Contestando a ani_pascual:Me parece que cuando danizafa habla de los factores de un número se refiere a los factores de la descomposición factorial del número en factores primos y, por tanto, son también divisores del número. Al menos, eso es lo que interpreto 
Si está usando factor como sinónimo de divisor, perfecto. Es una notación que se usa, de acuerdo. Pero factor también se usa con otros significado sutilmente distintos en estos contextos y por eso prefiero divisor; por ejemplo si escribimos \( 42=2\cdot 21 \) los factores de ese producto son \( 2 \) y \( 21 \), pero no \( 3 \) (que es divisor de \( 42 \), pero no factor del producto \( 2\cdot 21 \)). Y de hecho,
ani_pascual, tal como lo has dicho: "
factores de la descomposición factorial del número en factores primos" dejas lugar a la duda; porque por ejemplo los factores de la descomposición factorial de \( 30 \) en factores primos son \( 2,3,5 \) y no sería un factor de tal descomposición el \( 6 \) que sin embargo si es divisor de \( 30 \)).
Pero sea como sea si está usando factor=divisor, perfecto.
Contestando a RDC:pero si si cambia el TFA en el sentido de permitir que el 1 sea primo, además del elemento neutro del producto, entonces, ¿realmente qué cambia en la aritmética?
En NADA. Ya te lo han dicho en el hilo: es pura cuestión de comodidad y naturalidad, a la hora de manejar ciertos enunciados. El convenio de no considerar \( 1 \) primo funciona mejor en general que el de considerarlo primo.
Como ya se ha explicado el ejemplo más típico es el Teorema fundamental de la arimética (y sus generalizaciones a situaciones más abstractas en lenguaje de anillios, ideales, descomposición primaria y estas cosas).
4) Que eso no lo tiene en cuenta el enunciado del TFA porque excluye al 1, y no habría razón de hacerlo.
En realidad y como ya he explicado: realmente el enunciado del TFA no tiene porque excluir al 1 con los convenios usuales que se establecen actualmente. Lo expliqué aquí:
Y realmente con los convenios usuales el Teorema Fundamental de la Aritmética puede enunciarse así: todo número entero positivo \( n \) se descompone de manera única (salvo orden) en producto de primos \( n=\displaystyle\prod_{i\in I}p_i \) (\( p_i \) primos, \( I \) finito).
¿Por qué encaja con el \( 1 \)? Por que el uno se pondría como producto de un conjunto vacío de primos y el convenio al manejar productos es que si no se multiplica "nada", el resultado es el neutro del producto: el \( 1 \). Pero a lo mejor esto te lía más...
También encaja con los números primos, que tendrían un sólo factor primo, porque el convenio para un producto es que si se multiplica un sólo número el resultado es ese número.
¿Qué pasa si se considera primo al \( 1 \)? Qué esa descomposición no es única:
\( 6=2\cdot 3 \) pero también \( 6=2\cdot 3\cdot 1=6\cdot 3\cdot 1\cdot 1=6\cdot 3\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\ldots \)
¿Es un drama? ¡No, tampoco es un drama! Pero a la hora de enunciar y manipular ciertos enunciados relacionados con este habría que tener en cuenta esa excepción en la unicidad de la descomposición cuando aparece el "primo" \( 1 \).
Contestando a danizafa:Si, sólo divisible por DOS números.
"DOS" es una arbitrariedad.
¡Por supuesto! Toda definición es una arbitrariedad, en el sentido de que en principio no hay una razón objetiva para identificar con un nombre unas determinadas propiedades y no otras.
Cierto que con una definición uno intenta capturar y precisar una idea, un concepto; en este caso si se pone ese "DOS" ahí, es para evitar considerar el \( 1 \) como número primo y los motivos para hacerlo los acabo de explicar antes.
No es que sea un disparate considerar al \( 1 \) primo. De hecho el \( 1 \) se empezó a NO considerar primo a partir del siglo pasado y digamos que por una cuestión práctica.
Pero lo esencial es que el hecho de considerarlo o no considerarlo por si mismo (y más allá de nombres) no hace que aparezcan unos resultados nuevos o distintos en aritmética.En ese sentido volvemos circularmente a la cuestión del título del hilo: tu afirmación inicial de que el \( 1 \) es un número perfecto impar, está simplemente basada en que cambias sutilmente la definición de número perfecto que difiere de la que considera la matemática oficial. Entonces no hay ninguna novedad efectiva ahí.
Esto responde a esta afirmación:
Y puse que el 1 es un número perfecto, y el hilo siguió para otro lado. Mi postura para decir que el 1 es perfecto creo que la he puesto por todos lados.
El problema que hay al negar que el 1 sea un número primo es el siguiente:
1) Todo número mayor a 1 es un número primo o es un producto de números primos.
Un número en definitiva, es el producto de sus factores. Puede expresarse de diferentes maneras:
Por ejemplo 6, puede expresarse como 3x2, o como 6x1. Sin tener en cuenta el orden de los factores, esas son las dos formas de expresarlo. Cuando lo escribes como 6, el 1 no desaparece, es un factor implícito. Si el 1 no es primo. El 6 no es un factor de números primos. Me dirás que en el producto 3x2 no está, pues también está implícito, tanto el 3 como el 2 lo llevan implícito.
Veamos un primo: 7 -> El producto de sus factores es 7x1.
Si el 1 fuera primo, serían producto de primos. Si el 1 no es primo, pues no son producto de primos.
Es que con el lenguaje aceptado en matemáticas, cuando uno dice que todo entero se descompone o se expresa como producto de primos incluye la posibilidad de que esa descomposición conste de un sólo primo. Es decir igual que en lenguaje de sumatorios la suma puede tener un solo término (o incluso ninguno y el resultado es cero); en lenguaje de productorios el producto puede tener un sólo factor (o incluso ninguno y el resultado es uno).
Es lo que explique aquí (repito la cita que puse más arriba
):
Y realmente con los convenios usuales el Teorema Fundamental de la Aritmética puede enunciarse así: todo número entero positivo \( n \) se descompone de manera única (salvo orden) en producto de primos \( n=\displaystyle\prod_{i\in I}p_i \) (\( p_i \) primos, \( I \) finito).
¿Por qué encaja con el \( 1 \)? Por que el uno se pondría como producto de un conjunto vacío de primos y el convenio al manejar productos es que si no se multiplica "nada", el resultado es el neutro del producto: el \( 1 \). Pero a lo mejor esto te lía más...
También encaja con los números primos, que tendrían un sólo factor primo, porque el convenio para un producto es que si se multiplica un sólo número el resultado es ese número.
Saludos.
