Hola
Contestando a RDC:
pero si si cambia el TFA en el sentido de permitir que el 1 sea primo, además del elemento neutro del producto, entonces, ¿realmente qué cambia en la aritmética?
En NADA. Ya te lo han dicho en el hilo: es pura cuestión de comodidad y naturalidad, a la hora de manejar ciertos enunciados. El convenio de no considerar \( 1 \) primo funciona mejor en general que el de considerarlo primo.
Eso me parece también a mí. Era una pregunta retórica o al menos, para que alguien me mostrara que tomar el 1 como primo realmente cambia mucho las cosas.
De todos modos, en ciertos contextos igual cabe tener en mente que el 1 puede tomarse como primo, como dice danizafa, como el caso de la función sigma de Euler. Igual ayuda a entender mejor ciertas cosas. En todo caso, me gustaría un ejemplo claro de que tomando el $$1$$ como primo realmente tenemos muchos problemas y, por tanto, es necesario exceptuar el 1 en tal ámbito.
Como ya se ha explicado el ejemplo más típico es el Teorema fundamental de la arimética (y sus generalizaciones a situaciones más abstractas en lenguaje de anillios, ideales, descomposición primaria y estas cosas).
4) Que eso no lo tiene en cuenta el enunciado del TFA porque excluye al 1, y no habría razón de hacerlo.
En realidad y como ya he explicado: realmente el enunciado del TFA no tiene porque excluir al 1 con los convenios usuales que se establecen actualmente. Lo expliqué aquí:
Y realmente con los convenios usuales el Teorema Fundamental de la Aritmética puede enunciarse así: todo número entero positivo \( n \) se descompone de manera única (salvo orden) en producto de primos \( n=\displaystyle\prod_{i\in I}p_i \) (\( p_i \) primos, \( I \) finito).
¿Por qué encaja con el \( 1 \)? Por que el uno se pondría como producto de un conjunto vacío de primos y el convenio al manejar productos es que si no se multiplica "nada", el resultado es el neutro del producto: el \( 1 \). Pero a lo mejor esto te lía más...
También encaja con los números primos, que tendrían un sólo factor primo, porque el convenio para un producto es que si se multiplica un sólo número el resultado es ese número.
¿Qué pasa si se considera primo al \( 1 \)? Qué esa descomposición no es única:
\( 6=2\cdot 3 \) pero también \( 6=2\cdot 3\cdot 1=6\cdot 3\cdot 1\cdot 1=6\cdot 3\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\ldots \)
¿Es un drama? ¡No, tampoco es un drama! Pero a la hora de enunciar y manipular ciertos enunciados relacionados con este habría que tener en cuenta esa excepción en la unicidad de la descomposición cuando aparece el "primo" \( 1 \).
Tb estoy de acuerdo, Luís. El TFA podría decir, simplemente: "
cualquier número natural se puede escribir de forma única, a excepción del orden, como producto de primos", y tomar el 1 como primo, dado que la propiedad de ser
el elemento neutro del producto nos permite decir, sin problemas que $$6=2·3·=2·3·1=2·1·3·1·1$$, son factorizaciones equivalentes.
En algunos contextos nos resulta más conveniente escribir $$6=2·3$$, en otros $$6=2·3·1$$ (tema de buscar números perfectos por ejemplo), en otros $$6=2·1·3·1·1$$. Insisto, teniendo en cuenta que el 1 es el elemento neutro del producto, todas estas representaciones son factorialmente equivalentes.
Por consiguiente, tampoco veo grandes cambios, más que entender que el $$1$$ siempre será un factor neutro de cualquier natural. Igual le podríamos llamar "el primo neutro".
Saludos
