Hola
RCD. Vaya por delante que cualquier cosa que se haga sin considerar primo al uno, se puede hacer considerándolo primo y sustituyendo cuando proceda "primo" por "primo distinto de uno". Por eso digo que el considerar al uno rimo o no, tampoco es una decisión dramática.
De todos modos, en ciertos contextos igual cabe tener en mente que el 1 puede tomarse como primo, como dice danizafa, como el caso de la función sigma de Euler. Igual ayuda a entender mejor ciertas cosas
¿Te refieres a la función que suma los divisores de un número? No se en que influye o ayuda para esa función que uno sea considerado o no primo.
Tb estoy de acuerdo, Luís. El TFA podría decir, simplemente: "cualquier número natural se puede escribir de forma única, a excepción del orden, como producto de primos", y tomar el 1 como primo, dado que la propiedad de ser el elemento neutro del producto nos permite decir, sin problemas que $$6=2·3·=2·3·1=2·1·3·1·1$$, son factorizaciones equivalentes.
NO. Pero si tomas el uno como primo no se descompone de manera única como producto de primos. Por que un mismo número podría escribirse como producto de \( 2 \) primos o de \( 3 \) primos ó de \( 4 \) primos. Otra cosa es que intentes arreglar eso definiendo "factorizaciones equivalentes" y ahí solventes esa diversidad de factorizaciones con distintos "unos" que multiplican. Pero se complica un poco la cosa.
Por ejemplo sin considerar al uno primo, todo número se escribe como producto de potencias de primos distintos de manera única:
\( n=p_1^{k_1}\ldots p_{m}^{k_m} \)
y de ahí el número de divisores de \( n \) es \( (k_1+1)(k_2+1)\ldots (k_m+1) \). Si uno permite que el uno sea primo eso ya no es cierto.
\( 5=5\cdot 1^3 \)
y sin embargo \( 5 \) no tiene \( (1+1)(3+1)=8 \) divisores. Una vez más uno podría arreglar la cosa dando un tratamiento especial al "primo" uno. Pero de nuevo nos complicamos.
En algunos contextos nos resulta más conveniente escribir $$6=2·3$$, en otros $$6=2·3·1$$ (tema de buscar números perfectos por ejemplo), en otros $$6=2·1·3·1·1$$.
¡Pero qué tendrá que ver considerar o no al uno primo con los números perfectos!.
Para definir número perfecto sólo hace falta el concepto de divisor (todos sabemos lo que es). Y luego de divisor propio (que es un divisor distinto del propio número). Un número perfecto es el que es suma de sus divisores propios.
Entonces los divisores propios de \( 6 \) son \( 1,2,3 \) y \( 1+2+3=6 \) y por eso \( 6 \) es perfecto. Tu pareces creer que el escribir \( 6=1\cdot 2\cdot 3 \) pone delante de nuestras narices todos sus divisores; pero eso es una coincidencia que no se da para otros números perfecto.s
Entonces los divisores propios de \( 28 \) son \( 1,2,4,7,14 \) y \( 1+2+4+7+14=28 \) y por eso \( 28 \) es perfecto. Pero no es cierto que \( 28=1\cdot 2\cdot 4\cdot 7\cdot 14 \). Y tampoco influye nada escribir \( 28=2\cdot 2\cdot 7 \) ó \( 28=1\cdot 2\cdot 2\cdot 7 \) a la hora de analizar si es o no perfecto.
De hecho para escribir todos los divisores de un número suele usarse su descomposición en primos (sin el uno). Si:
\( n=p_1^{k_1}\ldots p_{m}^{k_m} \)
los divisores de \( n \) son exactamente todos los números de la forma:
\( p_1^{a_1}\ldots p_m^{a_m} \) con \( 0\leq a_i\leq k_i,\quad i=1,2,\ldots,m \)
Insisto, teniendo en cuenta que el 1 es el elemento neutro del producto, todas estas representaciones son factorialmente equivalentes.
Tengo la impresión que mezcla/mezcláis el concepto de divisor con el de factorización en producto de primos o también con factorizar de cualquier manera. El considerar \( 1 \) primo o no, no influye en poder rescribir \( 6=2\cdot 3\cdot 1 \) como tampoco el TFA dice nada en contra de esciribir \( 12=3\cdot 4 \), aunque \( 4 \) no sea primo. Simplemente eso es una factorización de \( 12 \), pero no una factorización en producto de primos.
no veo que danizafa cambie la definición de "número perfecto". ¿Dónde lo hace?
Lo que dice, me parece, es que la noción de número perfecto toma el 1 como factor de todo natural, de modo que razona: "si 1 es siempre un factor de todo natural, entonces debe ser primo". Pero de ordinario se dice que 1 no es primo. Y eso le choca.
Una vez más: el concepto de número perfecto no tiene que ver NADA con la primalidad.
Un número perfecto es aquel que es suma de sus divisores propios. Un divisor de un número es propio si es distinto del propio número. Por tanto \( 1 \) no tiene divisores propios (su único divisor es \( 1 \) que coincide consigo mismo, no es propio). Por tanto la suma de los divisores propios de \( 1 \) es cero, y así \( 1 \) NO es un número perfecto. Asumiendo las definiciones que he dado antes, esto no es discutible.
Si danizafa lo considera perfecto es porque alguna de las definiciones que he usado la considera distinta; él si incluye a \( 1 \) como divisor propio de si mismo; entonces está cambiando la definición de divisor propio.
Entiendo que este dilema es importante para danizafa porque está trabajando con los "números perfectos", donde el 1 actúa como factor y debe tenerse en cuenta, pues ya no estamos ante un productos de factores, sino de sumas de factores, con lo cual el 1 deja de funcionar como elemento neutro.
¿Te refieres al dilema de si el uno es o no primo? Tercera vez: no hace falta la noción de primalidad para definir lo números perfectos.
Saludos.
