Vemos que al tratar el teorema de Cantor estamos en el terreno de las definiciones o construcciones basadas en los axiomas de teoría de conjunto. Esto me costó mucho de verlo al principio, que lo tomaba demasiada intuitivamente, y creo que me voy habituando poco a poco a ello gracias a vuestras contribuciones.
Visto así tengo un par de dudas, a ver como se podrían solucionar:
SITUACIÓN:
Para empezar supongamos que tenemos el conjunto \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \), y establecemos una función\( f \) inyectiva tipo \( f(x)=x, x\in{\Bbb N} \). Ello nos lleva a que el conjunto \( B=\emptyset \); y puesto que este \( B \) pertenece a \( P(\Bbb N) \) pero no es imagen de \( \Bbb N \), entonces se demuestra que \( f \) no es biyectiva.
DUDA 1:
Dado que podemos construir cualquier subconjunto \( C \) de \( \Bbb N \), vamos a crear \( C: C=\left\{{x\in{B}}, x\in{f(x)}\right\} \). Es decir, \( C \) es un subconjunto de los elementos de \( B \), y por tanto también, en este sentido, de \( \Bbb N \), los cuales pertenecen a una imagen de \( \Bbb N \).
Obviamente, por definición de \( B \), este \( C \) no puede contener ningún elemento y por tanto \( C=\emptyset \). Pero, si tenemos que por la \( f \) que establecemos entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \), entonces \( B=\emptyset \), entonces tenemos que \( C=B=\emptyset \).
¿No hemos llegado así a una contradicción que invalidaría la existencia \( B=\emptyset \)? ¿O aquí no pasa nada si se llegan a tales contradicciones constructivas porque el conjunto \( \emptyset \) se toma, por definición, como un conjunto paradójico, absurdo (en sentido literal) y contradictorio que admite cualquier tipo de definición?
DUDA 2:
Entiendo que cuando definimos un subconjunto \( Z \) de \( \Bbb N \), o de cualquier otro conjunto en general, solemos (no siempre pero sí habitualmente) dejar estipulado que ese subconjunto \( Z \) está formado por los elementos de \( \Bbb N \) que tienen \( x \) propiedad. Y entonces, si ningún elemento de \( \Bbb N \) parece mostrar tal propiedad \( x \), al establecer una \( f \), se dice que \( Z=\emptyset \), porque se da por hecho que \( Z \) existe pero no tiene elementos. Sin embargo, ¿no es eso una contradicción con la definición precisa de \( Z \)?
Me explico, si cogemos la definición de un \( Z \) cualquiera al pie de la letra, como bien ocurre con el conjunto \( B \) de Cantor por ejemplo, la construcción deja muy claro como condición de existencia que \( B \) está formado por elementos de \( \Bbb N \). Es decir, la definición deja muy claro que \( B \) debe tener algún elemento de \( \Bbb N \) para existir como subconjunto de éste. Hecho es, que si tenemos algún conjunto \( M \) que no tiene elementos de \( \Bbb N \), entonces seguro que \( M \) no es \( B \), dado que para empezar no es ni un subconjunto de \( \Bbb N \).
Así pues, ¿por que se admite tomar el conjunto \( B \) (o cualquier \( Z \)) como \( \emptyset \) cuando no hay elementos de \( \Bbb N \) que cumplen su definición? ¿No es eso una violación de la definición del propio conjunto, y por tanto de la construcción del conjunto, en este caso \( B \), dado que tener elementos de \( \Bbb N \) es una condición de existencia de \( B \), y sin embargo \( \emptyset \) no contiene, literalmente, ningún elemento de \( \Bbb N \)?
En fin, ¿cómo se soluciona esto?
Gracias!
