[feriva]

Correcto, sabemos que se va a repetir siempre lo mismo. Sin embargo, este "se va a repetir siempre lo mismo" aquí significa: en cualquier lista aparece un elemento desaparejado que conforma el conjunto B determinado, y a la vez desaparece el elemento desaparejado de la lista inmediatamente interior. Por tanto, no veo claro que eso signifique, simplemente, que al infinito habrá elementos desaparejados.

Entiendo perfectamente lo que quieres decir, porque la “barrera” entre los racionales y los irracionales no existe como algo fijo o visible, es conceptual, por definición.

Fíjate en que la tabla es siempre un cuadrado que de “largo”, y en el límite, tiene una longitud que es precisamente el cardinal de \( \mathbb{N} \); hay sitio para infinitas cifras, aunque nunca lleguemos. Esto quiere decir que los números racionales (incluidos los enteros) que aparecen en ella terminan siempre en ceros (cifras no significativas) o bien son periódicos; porque ningún número racional no periódico tiene infinitas cifras significativas.

Así que, si en la diagonal hubiera un racional no periódico, como cambiamos todas sus cifras incluidas las “últimas” (que son cero) por unas distintas de cero, se transforman en irracionales; en ese caso el número “desaparecido” será siempre un irracional.

Pero si en la diagonal hubiera un racional periódico, si hacemos cambios fijos (el 1 siempre por 2; el 3 siempre por 4... cosas así) lo que construiremos será otro racional periódico. Eso querrá decir que su “sitio” para completar el cardinal de N (que creo que se escribe así \( \aleph_{0} \)) será ocupado por un irracional que sí aparecerá en la lista; y sería intercambiable, de tal modo que podríamos meter en la lista todos los racionales sacando los irracionales que aparezcan, dejando todos los reales menos los irracionales.

Spoiler

Pero, además, quiero volver a insistir en la poca importancia que tienen los periódicos; no sólo un número periódico puede ser escrito en otra base distinta de 10 como no periódico, sino que un número no periódico en base 10, como 0,5, será periódico en otras bases. Entonces, ¿cuáles son los periódicos de “verdad”?

[cerrar]

.Además es importante señalar otra cosa:

La base 2 es la mínima para representar un número real, pues necesitamos tanto el cero como el uno, pero no es suficiente, hace falta otro signo: la coma o algo que separe la parte entera de la mantisa. Ésta es imprescindible para representar los números menores que la unida. Y se traduce, de alguna forma, en la necesidad de que esté presente el producto cartesiano \( 2\times2 \), puesto que a toda parte entera le corresponde exactamente una sola parte entera para cada elemento particular, para cada número. De hecho, todo número racional se puede representar mediante un numerador y un denominador, lo que supone un conjunto de elementos (a,b); elemento escrito con paréntesis, es decir, un conjunto unitario sería así {(a,b)}.

En la tabla cuadrada podemos representar los racionales con números en una base o con fracciones (como también hace Cantor en la otra tabla) son equivalentes; o sea, si no existieran los irracionales, todos los números cabrían en esa tabla; o, mejor dicho, irían cabiendo en una tabla ampliable, ya que, puede haber tantos como queramos mientras tengan añadidas cifras no significativas o sean periódicos. Porque, si no es así, serán siempre irracionales, pues todas las cifras de un irracional son significativas (¿por qué?, pues porque, si no, llegaría un momento que los decimales serían todos cero a partir de cierto sitio, y tendría que haber un final para las significativas; y si hubiera un final para las significativas, no serían infinitas).

La cuestión es que si consideras que los números naturales pueden tener infinitas cifras (o les llamas así a los que las tienen) entonces sí dan abasto para numerar todos los reales; la tabla tiene sitio para ello porque sus dimensiones en el límite son de \( \aleph\times\aleph \) (bueno, éste álef o como se llame tendría que ser más grande, tienen subíndices, pero yo de esto no sé) La cuestión está en que la ocupan, y la copan (con las consideraciones dichas sobre los periódicos y los intercambios) sólo los racionales; donde la mayoría tienen en la “cola” una sucesión infinita de ceros. De esta forma no dejan sitio a los irracionales; salvo que se intercambien. 

En el planteamiento de la Wiki se van poniendo números reales al azar; y son muchos más los irracionales, así que si ese experimento se pudiera hacer en la práctica, la probabilidad de elegir un racional al azar sería casi cero; pero aunque lo fueran todos los que entran en la tabla, su cardinal sería el de N; no puede ser de otra manera, por cómo se define la tabla ésa. 

Saludos

[RDC]

Hola,

Confieso que estoy un poco sorprendido con los comentarios, pero también me resulta un placer poder comentar sobre estos temas -aunque esté un poco fatigado a estas horas.

Cualquiera que lea el hilo con un poco de atención advertirá que lo abrí afirmando dos cosas básicas, por así decirlo:

a) Que empezar considerando a priori la existencia de este peculiar conjunto B me sabía a una mera petición de principio, porque la definición del conjunto B presupone, ya de por sí, que A no pueda mantener una relación biyectiva con P(A), con lo cual sería una demostración trivial. Lo interesante, sería, entonces, demostrar la existencia a priori de este B, en especial si A es infinito.   

b) Que siendo A un conjunto infinito entonces se podía considerar la posibilidad de establecer una relación biyectiva con su conjunto potencia P(A). Lo intenté explicar mediante el ejemplo de los Naturales y su conjunto potencia P(N).

En seguida geométrecat y ani_pascual defendieron que no es cierto lo que yo decía: que este conjunto B introducido por Cantor en la demostración exista a priori y ajeno a cualquier función que establezcamos entre A y P(A), y que fuera luego que supusiéramos una relación biyectiva entre ambos conjuntos. Luís, defendió lo mismo: que la existencia de B surge de definir esta función, no antes como yo apuntaba.

Luís lo comentó así:

Hola


De lo que he marcado en rojo me parece que sigues sin entender lo que te ha explicado geómetracat. Ese conjunto \( B \) está definido a partir de la supuesta biyección \( f \) y tu pareces afirmar que es algo previo.

Entonces yo apelé a la definición del wikipedia en inglés para defender que el conjunto B parecía previo, o al menos no dependiente de la suposición de que la relación entre A y P(A) es biyectiva. Entonces Luís parece matizar algo su parecer, diciendo:

Y luego Cantor expone la prueba o argumentación como sigue:

Spoiler

[cerrar]

Entiendo, pues, que quien ha escrito eso no ha dicho: "consideremos que hay una relación biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \) y por ello se construye el conjunto \( B \)".

Efectivamente para construir el conjunto \( B \) no hace falta que \( f \) sea biyectiva; pero si hace falta que exista \( f \). Es decir \( B=\{x\in A|x\not\in f(x)\} \) es un conjunto que depende de la función \( f \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema,

Parece decir, más bien: "considera la existencia de un conjunto \( B \), como subconjunto de \( A \), y supón que la función entre \( A \) y \( P(A) \) es biyectiva; entonces se produce una contradicción,

Casi es eso; pero subrayando que el conjunto \( B \) depende, se construye, a partir de la función \( f:A\to P(A) \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema. Se cumple que ese \( B \) no está en la imagen de \( f \) y por eso \( f \) no puede ser sobreyectiva.

Por tanto, la cosa parece quedarse en la idea de que la existencia del conjunto B se determinaría por la preexistencia de una función \( f \), ahora ya no biyectiva sino una cualquiera, entre A y P(A).

Y estos días Carlos ha comentado su parecer, que agradezco, sinceramente. Primero dejando claro que no me entero de nada, hecho que quizás sea cierto; no sé. Y luego para decir entre otra muchas cosas que me han parecido muy interesantes y que comentaré en otro sitio para no saturar este post:

Lo que le preocupa es cómo se demuestra la existencia del conjunto B y la respuesta es trivial:

Desde el punto de vista de Cantor, la existencia de B era obvia, nada que tuviera que demostrar. Por eso RDC va descarriado cuando se pregunta qué argumento usó Cantor para demostrar la existencia de B. Cantor simplemente consideró el conjunto B como podía haber considerado cualquier otro conjunto que considerara oportuno considerar, sin necesidad de más explicación.

Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos moderna, la existencia de B es igualmente obvia, pues es consecuencia del principio de especificación, según el cual, dado un conjunto A, siempre existe el conjunto B formado por los elementos de A que cumplen cualquier propiedad que queramos, en este caso \( x\notin f(x) \).

Pero es de este granito de arena del que RDC hace su montaña, y —a mi juicio— todos los malentendidos de este hilo giran sobre la base de que RDC cree que la existencia del conjunto B requiere una prueba no trivial y, peor aún, que cree que Cantor demostró la existencia de B usando el argumento diagonal.

Bueno, al principio comenté que la consideración de la existencia del conjunto B me parecía totalmente trivial y a priorística, es más, una petición de principio de Cantor. Y me criticaron por decir eso. Los comentarios están allá.

Entonces, intenté profundizar más, y leí en la wikipedia en inglés que la definición del conjunto B dada por Cantor surgía del proceso de diagonalización, del conjunto de diagonalización, etc -dicen que se le puede llamar como queramos.

Entonces puse todo lo demás, y que ahora me criticas. Hecho que me parece justo si no es cierto o lógico lo que pongo. Sin embargo, lo puse porque honestamente, me pare mucho más lógico y honesto por parte de Cantor que lo hubiera hecho así (aunque aún me sigue pareciendo absolutamente trivial), en vez de sacárselo de la chistera porque era, precisamente, el conjunto que le permitía demostrar que A es menor que P(A) incluso para conjuntos infinitos. ¿Qué tipo de demostración es aquella que metes las premisas que precisamente te permiten demostrar lo que quieres demostrar? Pues una redundante y trivial, efectivamente, con lo cual no es ni única ni exclusiva; pueden haber otras; tal y como siempre he defendido y ha sido, en realidad, el motivo central de abrir el hilo.

DOS DUDAS CARLOS:

1) Dices que para Cantor la existencia del conjunto B es evidente a priori. Estoy de acuerdo que es evidente cuando A es un conjunto finito, pero no me parece nada evidente cuando A es un conjunto infinito. ¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

2) Dices que dado un conjunto A cualquiera se puede definir un subconjunto suyo cuyos elementos tengan las propiedades que queramos. Por ejemplo, las propiedades que definen precisamente al conjunto \( B: B=\left\{{x\in{A}, x\not\in}f(x)\right\} \).

Entonces, visto así, yo pudo crear otro subconjunto de A llamado C tal que, \( C=\left\{{x\in{B}}, x\in{f(x)}\right\}\subseteq{B} \)

¿Cómo se come esto? ¿No encontramos aquí una paradoja?

Si decimos que no existe ningún elemento de B que pueda formar parte de C, por la definición de B y de C, entonces sí existe un elemento, como mínimo, que forma parte de C, y por ello también de B: el \( \left\{{\emptyset}\right\} \) 

Por otro, lado, me encanta la discusión sobre la diagonalización que se ha abierto en este hilo. Me gustaría comentar algunas dudas que tengo sobre lo que se ha dicho. especialmente lo último que ha dicho geométrecat. Pero lo haré cuando tenga tiempo (ya es muy tarde hoy) en el hilo que abrí sobre la diagonalización, por si alguien lo quiere leer. 

un saludo!

[Carlos Ivorra]

Bueno, al principio comenté que la consideración de la existencia del conjunto B me parecía totalmente trivial y a priorística, es más, una petición de principio de Cantor. Y me criticaron por decir eso. Los comentarios están allá.

Es que no es una petición de principio. Simplemente, es una de las cosas que Cantor consideraba evidentes sobre conjuntos.

Entonces, intenté profundizar más, y leí en la wikipedia en inglés que la definición del conjunto B dada por Cantor surgía del proceso de diagonalización, del conjunto de diagonalización, etc -dicen que se le puede llamar como queramos.

No la Wikipedia en inglés no dice nada parecido a eso. Eso es una interpretación libre por tu parte de lo que dice allí. Allí sólo dice que a ese conjunto se le puede llamar "conjunto diagonal de Cantor" y lo define simplemente como \( B = \{x\in A\mid x\notin f(x)\} \) y ya está. Tus intentos de relacionar eso con la diagonalización de Cantor no tienen ningún sentido. Hay una cierta relación que ha señalado geómetracat, pero es entre la diagonalización de Cantor y un caso particular de la demostración del teorema de Cantor en su conjunto, no entre la diagonalización de Cantor y la construcción del conjunto B. La existencia de B es inmediata, tanto a los ojos de Cantor como en el marco de la teoría axiomática de conjuntos moderna.

Entonces puse todo lo demás, y que ahora me criticas. Hecho que me parece justo si no es cierto o lógico lo que pongo.

No es cierto y no es lógico.

Sin embargo, lo puse porque honestamente, me pare mucho más lógico y honesto por parte de Cantor que lo hubiera hecho así (aunque aún me sigue pareciendo absolutamente trivial), en vez de sacárselo de la chistera porque era, precisamente, el conjunto que le permitía demostrar que A es menor que P(A) incluso para conjuntos infinitos.

No. Lo que propones no es lógico (ni sería más honesto por parte de Cantor), porque no tiene sentido.

¿Qué tipo de demostración es aquella que metes las premisas que precisamente te permiten demostrar lo que quieres demostrar? Pues una redundante y trivial, efectivamente, con lo cual no es ni única ni exclusiva; pueden haber otras; tal y como siempre he defendido y ha sido, en realidad, el motivo central de abrir el hilo.

En cualquier demostración es legítimo usar cualquier hecho que pueda darse por obvio, y en el contexto de la teoría ingenua de conjuntos de Cantor (no me gusta traducir naive por intuitiva) era obvio, y en el contexto de la teoría axiomática de conjuntos moderna también es obvio (es un axioma de la teoría de Zermelo y un teorema de la teoría de Zermelo-Fraenkel).

DOS DUDAS CARLOS:

1) Dices que para Cantor la existencia del conjunto B es evidente a priori.

No. No digo eso. Digo dos cosas:

1) Que para Cantor era evidente. Pero eso no es decir mucho, porque para Cantor eran evidentes cosas que son contradictorias.

2) Que en la teoría axiomática de conjuntos moderna eso es evidente, no en el sentido de que sea evidente, sino en el sentido de que es evidente que se sigue de los axiomas, que es otra cosa.

Estoy de acuerdo que es evidente cuando A es un conjunto finito, pero no me parece nada evidente cuando A es un conjunto infinito.

Yo no he dicho que sea evidente. He dicho que es evidentemente una consecuencia de los axiomas de la teoría de conjuntos.

¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

El conjunto B es un subconjunto de A. Será un subconjunto de los naturales si A es el conjunto de los números naturales. En ningún caso pertenecerá a los naturales.

Pero es que el conjunto B se define a partir de f. Dame tú una f y te diré quiénes son los elementos de B. Hay un B distinto para cada f que puedas considerar. Si quieres considerar una f en las hipótesis del teorema, es decir, una biyección entre A y su conjunto de partes, entonces f no existe, y no hay tampoco ningún conjunto B. El conjunto B es un conjunto que existe hipotéticamente supuesto que exista una aplicación f que no existe. Ahora bien, si consideras una \( f: A\longrightarrow \mathcal PA \) arbitraria, no necesariamente biyectiva, entonces sí, para cualquier \( f \) que me digas te podré dar el conjunto \( B \) correspondiente.

2) Dices que dado un conjunto A cualquiera se puede definir un subconjunto suyo cuyos elementos tengan las propiedades que queramos.

Digo que eso es un axioma de la teoría de conjuntos de Zermelo y un teorema de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification

Por ejemplo, las propiedades que definen precisamente al conjunto \( B: B=\left\{{x\in{A}, x\not\in}f(x)\right\} \).

Entonces, visto así, yo pudo crear otro subconjunto de A llamado C tal que, \( C=\left\{{x\in{B}}, x\in{f(x)}\right\}\subseteq{B} \)

Efectivamente.

¿Cómo se come esto?

Los conjuntos no están hechos de queso.

¿No encontramos aquí una paradoja?

No.

Si decimos que no existe ningún elemento de B que pueda formar parte de C, por la definición de B y de C, entonces sí existe un elemento, como mínimo, que forma parte de C, y por ello también de B: el \( \left\{{\emptyset}\right\} \) 

No. Con tu definición, \( C = \emptyset \). Lo que dices no tiene pies ni cabeza.

Por otro, lado, me encanta la discusión sobre la diagonalización que se ha abierto en este hilo. Me gustaría comentar algunas dudas que tengo sobre lo que se ha dicho. especialmente lo último que ha dicho geométrecat. Pero lo haré cuando tenga tiempo (ya es muy tarde hoy) en el hilo que abrí sobre la diagonalización, por si alguien lo quiere leer. 

Pero, como ya dije, no tengo ningún interés en participar en este hilo ni en otros similares. Seguro que otros participantes de pueden aclarar todas tus dudas. No he dicho nada original que requiera que sea precisamente yo quien te lo explique.

[Luis Fuentes]

Hola

 RDC: sigues repitiendo la misma interpretación incorrecta de lo que tu entiendes por argumento diagonal. Te he intentado hacerte ver tus errores, pero no respondes a mis objeciones. Simplemente repites lo mismo.

 Puntualizo un par de cosas:

a) Que empezar considerando a priori la existencia de este peculiar conjunto B me sabía a una mera petición de principio, porque la definición del conjunto B presupone, ya de por sí, que A no pueda mantener una relación biyectiva con P(A), con lo cual sería una demostración trivial. Lo interesante, sería, entonces, demostrar la existencia a priori de este B, en especial si A es infinito.   

Se te ha explicado por activa y por pasiva que no hay tal existencia a priori (antes de nada) de ningún conjunto \( B \). Así que lo que para ti es interesante no tiene sentido simplemente. Por otra parte (y sobre esto vuelvo después) se te han dado ejemplos concretos de cuál es ese conjunto cuando si tiene sentido hablar de él.

1) Dices que para Cantor la existencia del conjunto B es evidente a priori. Estoy de acuerdo que es evidente cuando A es un conjunto finito, pero no me parece nada evidente cuando A es un conjunto infinito. ¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

Ya te he puesto un ejemplo y medio de cuál seria ese conjunto \( B \) para una función y media que me has puesto.

Este es el primer ejemplo concreto. Si no lo entiendes pregunta sobre él:

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

El argumento diagonal de Cantor aplicado a esa lista de subconjutos \( A_n=\{1,2,\dots,n\} \), nos daría \( B=\emptyset \), ya que \( B \) no contiene al elemento \( k \) (para cualquier \( k \)) porque \( k\in A_k \).

Y este es el medio-ejemplo. Es medio porque no dices cuál es la función \( f \) totalmente, sólo describes la imagen de unos pocos elementos. Entonces tampoco puede decirse totalmente cuál es el conjunto \( B \).

Por ejemplo, empieza enumerando o listando 3 elementos elementos de \( P(N) \):

\( 1\Longrightarrow{\left\{{3,7,8,...}\right\}} \)
\( 2\Longrightarrow{\left\{{2,4,6,8,...}\right\}} \)
\( 3\Longrightarrow{\left\{{1,3,5,7,9,...}\right\}} \)

Entonces Cantor coge los elementos de la diagonal para generar otro elemento de \( P(N) \), es decir, \( a_1=\left\{{3,4,5}\right\} \), y cambia su valor; por ejemplo, donde haya un número par pone el impar siguiente, y al revés. Entonces obtiene \( b_1=\left\{{4,5,6}\right\} \).

No. MAl. Eso no es el argumento diagonal. Esa no es la construcción de ese \( B \). Sería:

\( 1 \) NO está en su imagen \( \left\{{3,7,8,...}\right\} \) por tanto \( 1\in B \).
\( 2 \) SI está en su imagen \( \left\{{2,4,6,8,...}\right\} \) por tanto \( 2\not\in B \)
\( 3 \) SI está en su imagen \( \left\{{1,3,5,7,9,...}\right\} \) por tanto \( 3\not\in B \)

y así sucesivamente. De momento sabríamos que \( B \) tiene el elemento \( 1 \) pero no el \( 2,3 \).

Te dejo otro ejempo/ejercicio para que lo hagas tu y te ayude a entender la cuestión. Definimos  la función:

\( f:\Bbb B\to P(\Bbb N) \)

\( f(n)=\{m|m\text{ es par y múltiplo de }n\} \)

Por ejemplo la imagen de los primeros elementos es:

\( f(1)=\{2,4,6,8,\ldots\}  \)
\( f(2)=\{2,4,6,8,\ldots\} \)
\( f(3)=\{6,12,18,24,\ldots\} \)
\( f(4)=\{4,8,12,16,\ldots\}
 \)
\( f(5)=\{10,20,30,40,\dots\} \)

¿Cuál sería en este caso el conjunto \( B=\{x\in \Bbb N|x\not\in f(x)\} \)?

Saludos.

[RDC]

Bueno, al principio comenté que la consideración de la existencia del conjunto B me parecía totalmente trivial y a priorística, es más, una petición de principio de Cantor. Y me criticaron por decir eso. Los comentarios están allá.

Es que no es una petición de principio. Simplemente, es una de las cosas que Cantor consideraba evidentes sobre conjuntos.

Entonces, intenté profundizar más, y leí en la wikipedia en inglés que la definición del conjunto B dada por Cantor surgía del proceso de diagonalización, del conjunto de diagonalización, etc -dicen que se le puede llamar como queramos.

No la Wikipedia en inglés no dice nada parecido a eso. Eso es una interpretación libre por tu parte de lo que dice allí. Allí sólo dice que a ese conjunto se le puede llamar "conjunto diagonal de Cantor" y lo define simplemente como \( B = \{x\in A\mid x\notin f(x)\} \) y ya está. Tus intentos de relacionar eso con la diagonalización de Cantor no tienen ningún sentido. Hay una cierta relación que ha señalado geómetracat, pero es entre la diagonalización de Cantor y un caso particular de la demostración del teorema de Cantor en su conjunto, no entre la diagonalización de Cantor y la construcción del conjunto B. La existencia de B es inmediata, tanto a los ojos de Cantor como en el marco de la teoría axiomática de conjuntos moderna.

Buenos días Carlos.

Disculpa, pero me parece que eso que dices categóricamente es mentira. La wikipedia dice literalmente esto:

Such a subset is given by the following construction, sometimes called the Cantor diagonal set of \( f \): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \)

Traduzco: Semejante subconjunto es dado mediante la siguiente construcción, a veces llamada "el conjunto diagonal de la función \( f \) de Cantor": \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

Cualquier lector lo puede comprobar clicando aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theorem,

No. No digo eso. Digo dos cosas:

1) Que para Cantor era evidente. Pero eso no es decir mucho, porque para Cantor eran evidentes cosas que son contradictorias.

2) Que en la teoría axiomática de conjuntos moderna eso es evidente, no en el sentido de que sea evidente, sino en el sentido de que es evidente que se sigue de los axiomas, que es otra cosa.
...
Yo no he dicho que sea evidente. He dicho que es evidentemente una consecuencia de los axiomas de la teoría de conjuntos.

Ya, quizás sea evidente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos que aún no tenía Cantor. Pero, ¿por qué le era evidente a Cantor? ¿Y si fuera contradictorio como ya sucedía con otras cosas que también le parecían evidentes?

Entonces goemétreca, ani-pascual, Luís me argumentaron que estaba equivocado, que el conjunto B existe sí o sí des del momento que suponemos una relación biyectiva entre A y P(A) . Hecho que me parece algo más honesto; al menos se intenta justificar esa existencia apelando a algo.

¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

El conjunto B es un subconjunto de A. Será un subconjunto de los naturales si A es el conjunto de los números naturales. En ningún caso pertenecerá a los naturales.

Pero es que el conjunto B se define a partir de f. Dame tú una f y te diré quiénes son los elementos de B. Hay un B distinto para cada f que puedas considerar. Si quieres considerar una f en las hipótesis del teorema, es decir, una biyección entre A y su conjunto de partes, entonces f no existe, y no hay tampoco ningún conjunto B. El conjunto B es un conjunto que existe hipotéticamente supuesto que exista una aplicación f que no existe. Ahora bien, si consideras una \( f: A\longrightarrow \mathcal PA \) arbitraria, no necesariamente biyectiva, entonces sí, para cualquier \( f \) que me digas te podré dar el conjunto \( B \) correspondiente.

Vale, esto es lo que yo decía al principio del hilo: si suponemos que B existe y luego suponemos que hay una relación biyectiva entre A y P(A) entonces generamos inevitablemente una paradoja, como bien señalas Carlos, simplemente por la propia definición que le hemos dado a B, a tu entender de forma arbitraria o trivial -B se define, precisamente como, los elementos de P(A) que nunca se emparejan con A. En efecto, ambas premisas no pueden ir juntas.

Por esto mismo yo criticaba que se tomara por valida la suposición de que preexiste B para demostrar si hay elementos de P(A) que no se emparejan con A, porque afirmando de buenas a primas su existencia ya estamos exigiendo que existan elementos de P(N) que no se emparejan con A, cuando eso mismo es lo que queremos demostrar. 

Entonces, se me decía que no entendía nada, que ambas suposiciones tienen que ir juntas sí o sí porque la existencia de B depende de que haya una función biyectiva entre A y P(A). Explicación, ésta, que quizás me parezca más honesta, pero que sin embargo tampoco "veo" por ningún lado. Y parece, por lo que dices, que tú tampoco la ves.

Así pues, según señalas Carlos, Cantor parte de la idea de que el conjunto B seguro que preexiste de forma independientemente de la función que establezcamos, pero siempre que haya alguna función; se la que sea. Esto era lo que ya señalaba yo también. Y me preguntaba por qué Cantor toma la consideración de que existe B como cierta siempre, absolutamente siempre, que tenemos un A y lo relacionamos mediante cualquier función posible con P(A). Por eso he dicho que Cantor más bien tenía que demostrar la existencia de B, porque una vez demostrada la existencia de B la veracidad del teorema es directa, como ocurre siempre en conjuntos A finitos. 

Ahora bien, Carlos, afirmas que la existencia de B se debe tomar como una verdad primera porque mediante el axioma de especificación todo subconjunto de A que podamos definir existe por el mero hecho de haberlo definido. ¿He comprendido bien?

Pero, ¿acaso esto no es como preguntarse: tenemos el conjunto de los caballos que hay en la hípica del pueblo, pero como podemos imaginar que existirá un subconjunto de éste cuyos elementos podemos definir como "el conjunto de los caballos de la hípica que son unicornios rosas", entonces consideremos la existencia a priori de los caballos de la hípica que son unicornios rosas como evidente? No sé.... a no ser que digamos: el conjunto de los caballos de la hípica que son unicornios rosas sí que existe, pero como conjunto vacío.

Pues vale... aquí lo mismo: B puede existir como conjunto vacío por pura definición. Pero, ¿significa eso que no podemos establecer ninguna relación biyectiva entre A y P(A) porque existe siempre B aunque sea el conjunto vacío?. Es decir, ¿demuestra Cantor con su teorema que el conjunto B no exista como conjunto vacío?

Si decimos que no existe ningún elemento de B que pueda formar parte de C, por la definición de B y de C, entonces sí existe un elemento, como mínimo, que forma parte de C, y por ello también de B: el \( \left\{{\emptyset}\right\} \) 

No. Con tu definición, \( C = \emptyset \). Lo que dices no tiene pies ni cabeza.

Bueno, seguramente no tiene ni pies ni cabeza; ayer era tarde cuando se me vino a la cabeza.

Aún así, me da la impresión de que si dado un conjunto A  puedo generar entonces cualquier tipo de subconjunto de A simple y arbitrariamente por definición, entonces intuyo que siempre se podrán generar conjuntos que se contradicen entre sí. Pero igual estoy equivocado, es solo una impresión.

En sentido, pensaba que si podemos definir un subconjunto B y luego un subconjunto C  y tenemos que todo subconjunto de A siempre tiene por elemento \( {\emptyset} \), o al menos puede llegar a ser un conjunto vacío (¿o me equivoco?); entonces el elemento \( {\emptyset} \) estará tanto en B como en C (ambos compartirán un mismo elemento: ninguno o el vacío), aunque eso sería contradictorio por la definiciones dadas de B y C.

De algún modo, lo que he puesto es la vieja paradoja que sale cuando se dice "esto no tiene solución". Entonces esa afirmación es paradójica, porqué sí hay una solución: "que no haya solución es ya una solución".

un saludo

[Carlos Ivorra]

¿He comprendido bien?

No, no has comprendido nada. El problema es que a otras personas se les puede decir algo y que no entiendan por qué las cosas son como les dices, o que les surjan objeciones, pero en tu caso lo que sucede es que lees algo y el significado que le atribuyes a lo que lees no tiene nada que ver con el significado de lo que lees, y eso crea una brecha comunicativa enorme, que no estoy por la labor de tratar de superar, y por eso me reafirmo en que no voy a tratar de explicarte nada más sobre tus interpretaciones imaginativas. Me limito a hacerte ver tus errores de lectura, a ver si te convences de que ahí está el problema:

Disculpa, pero me parece que eso que dices categóricamente es mentira. La wikipedia dice literalmente esto:

Such a subset is given by the following construction, sometimes called the Cantor diagonal set of \( f \): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \)

Sí, hasta ahí, que te limitas a copiar, es cierto, dice literalmente eso, pero en cuanto metes tú la cuchara, la cosa cambia:

Traduzco: Semejante subconjunto es dado mediante la siguiente construcción, a veces llamada "el conjunto diagonal de la función \( f \) de Cantor": \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

Traduces mal y entiendes mal. Lo que dice la Wikipedia no tiene nada que ver con tu traducción. La traducción correcta es:

Semejante subconjunto es dado mediante la siguiente construcción, a veces llamado "el conjunto diagonal de Cantor de la función \( f \): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

El participio called no concuerda con construction, en contra de lo que pretende tu traducción imaginativa, sino con subset. Esa frase dice dos cosas:

1) Que el conjunto \( B \) viene dado por la construcción siguiente (llamada axioma de especificación): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

2) Que a ese conjunto \( B \) se le llama a veces conjunto diagonal de Cantor de la función \( f \).

El cambio de sujeto en tu interpretación libre te ha hecho creer que el conjunto B se obtiene mediante la diagonalización de Cantor, lo cual es absurdo, pero es lo que tú entiendes. Lo que señalaba geómetracat es que toda la demostración del teorema de Cantor (para el caso de un conjunto numerable) es el argumento diagonal expresado de otra forma, pero lo que tú entiendes es que el argumento diagonal se emplea para justificar la existencia de B, lo cual no tiene ni pies ni cabeza.

Por otro lado, el hecho de que cambies también el núcleo al cual determina el sustantivo adjetivado Cantor también parece influir en tu creencia de que el conjunto \( B \) se define antes que \( f \), cuando en realidad se define a partir de \( f \). (Y que nadie me pregunte cómo puedes creer que un conjunto en cuya definición aparece \( f \) se define antes que \( f \), porque no tengo ni idea de cómo puede ser, pero lo has dejado claro en muchas ocasiones.)

En resumen: lo que dice la Wikipedia no tiene nada que ver con lo que tú crees que dice, ni mucho menos da pie a las consecuencias disparatadas que extraes de tu interpretación imaginativa.

¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

El conjunto B es un subconjunto de A. Será un subconjunto de los naturales si A es el conjunto de los números naturales. En ningún caso pertenecerá a los naturales.

Pero es que el conjunto B se define a partir de f. Dame tú una f y te diré quiénes son los elementos de B. Hay un B distinto para cada f que puedas considerar. Si quieres considerar una f en las hipótesis del teorema, es decir, una biyección entre A y su conjunto de partes, entonces f no existe, y no hay tampoco ningún conjunto B. El conjunto B es un conjunto que existe hipotéticamente supuesto que exista una aplicación f que no existe. Ahora bien, si consideras una \( f: A\longrightarrow \mathcal PA \) arbitraria, no necesariamente biyectiva, entonces sí, para cualquier \( f \) que me digas te podré dar el conjunto \( B \) correspondiente.

Vale, esto es lo que yo decía al principio del hilo: si suponemos que B existe y luego suponemos que hay una relación biyectiva entre A y P(A) entonces generamos inevitablemente una paradoja, como bien señalas Carlos, simplemente por la propia definición que le hemos dado a B, a tu entender de forma arbitraria o trivial -B se define, precisamente como, los elementos de P(A) que nunca se emparejan con A. En efecto, ambas premisas no pueden ir juntas.

No, eso no es lo que tú decías. Lo que yo he dicho y lo que tú decías son cosas opuestas. Una cosa es lo que yo he dicho y otra totalmente distinta lo que tú entiendes que yo he dicho. En particular, B no se define como dices aquí. Y ese "En efecto" no tiene ninguna relación con nada que yo haya dicho, sino únicamente con lo que tú entiendes al leer lo que yo he dicho, que es algo completamente distinto.

Así pues, según señalas Carlos, Cantor parte de la idea de que el conjunto B seguro que preexiste de forma independientemente de la función que establezcamos, pero siempre que haya alguna función; se la que sea.

No. Eso no es lo que yo señalo. Eso es lo que entiendes tú al leer lo que yo señalo, pero lo que entiendes tú al leer algo NO es lo que pone en lo que lees. Deberías leer por descarte: lees algo, le buscas un significado y así ya sabes que ése no es el significado de lo que has leído, y ya tienes una interpretación menos que considerar.

En todo lo demás que has dicho no entro, porque, como ya he indicado, me limito a señalarte dónde hay discrepancias entre lo que lees y lo que entiendes al leer. En lo que dices tú que no pretende ser una interpretación directa de un texto que hayas leído, no voy a entrar.

[feriva]

Hola,

Confieso que estoy un poco sorprendido con los comentarios, pero también me resulta un placer poder comentar sobre estos temas -aunque esté un poco fatigado a estas horas.

Cualquiera que lea el hilo con un poco de atención advertirá que lo abrí afirmando dos cosas básicas, por así decirlo:

a) Que empezar considerando a priori la existencia de este peculiar conjunto B me sabía a una mera petición de principio, porque la definición del conjunto B presupone, ya de por sí, que A no pueda mantener una relación biyectiva con P(A), con lo cual sería una demostración trivial. Lo interesante, sería, entonces, demostrar la existencia a priori de este B, en especial si A es infinito.   

Para que la existencia de B sea trivial, primero, tiene que ser trivial la existencia de \( A \) y de \( \mathfrak{\mathcal{P}}(A) \).

Sea \( A=\{1,2\} \).

\( A=\{1\}\cup\{2\} \)

\( \mathfrak{\mathcal{P}}(A)=\{\{\},\{1\}...\} \).

Hasta los puntos suspensivos podemos corresponder todos. Pero no está todo \( \mathfrak{\mathcal{P}}(A) \), como es evidente. Esto es trivial, sin embargo, primero habrá que tener A (donde sus elementos no se “crean”, están por definición como sumas de unidades) y empezar a formar las partes de A, porque, si no, el conjunto B a construir no es ni trivial ni no trivial, no es nada, dado que no se ha definido lo que va a servir de base previa para su existencia.

Tenemos que ese “A” de ahí es un conjunto finito, pero es igualmente trivial que la idea es la misma para cualquier conjunto finito con un cardinal tan grande como se quiera. Ahora, los distintos conjuntos finitos reúnen una cantidad infinita de cardinales distintos ( o sea, {0} cardinal 1; {0,1} cardinal dos, etc.) y esa cantidad infinita es el cardinal de \( \mathbb{N} \). El hecho de que todos sean distintos y tengan un cardinal finito y, a la vez, aúnen un cardinal infinito, lleva a la paradoja del conjunto de todos los conjuntos, la cual, para ser arreglada, de algún modo necesita de un cardinal infinito más grande que el de los naturales (intuitivamente, independientemente de demostraciones y formalizaciones). Si lo quieres “arreglar llamando” a \( \mathfrak{\mathcal{P}}(A) \) “naturales”, entonces, intentando la biyección hacia atrás no podrás hacerla tampoco y te aparecerá un conjunto infinito con un infinito de menor cardinal que el de los “naturales” al que podrías llamar "subnaturales. Así que no tiene salida, simplemente hay que aceptar las definiciones y no darle más vueltas, aunque no podamos entender el infinito. Vamos, sí puedes darle vueltas y comentar cosas, por supuesto, pero hay aspectos que nunca podremos comprender bien, por muchas tertulias que hagamos con el objeto de “arreglar el mundo”; mejor contar con ello de antemano. 

Saludos.

[RDC]

Spoiler

No, no has comprendido nada. El problema es que a otras personas se les puede decir algo y que no entiendan por qué las cosas son como les dices, o que les surjan objeciones, pero en tu caso lo que sucede es que lees algo y el significado que le atribuyes a lo que lees no tiene nada que ver con el significado de lo que lees, y eso crea una brecha comunicativa enorme, que no estoy por la labor de tratar de superar, y por eso me reafirmo en que no voy a tratar de explicarte nada más sobre tus interpretaciones imaginativas. Me limito a hacerte ver tus errores de lectura, a ver si te convences de que ahí está el problema:

Disculpa, pero me parece que eso que dices categóricamente es mentira. La wikipedia dice literalmente esto:

Such a subset is given by the following construction, sometimes called the Cantor diagonal set of \( f \): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \)

Sí, hasta ahí, que te limitas a copiar, es cierto, dice literalmente eso, pero en cuanto metes tú la cuchara, la cosa cambia:

Traduzco: Semejante subconjunto es dado mediante la siguiente construcción, a veces llamada "el conjunto diagonal de la función \( f \) de Cantor": \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

Traduces mal y entiendes mal. Lo que dice la Wikipedia no tiene nada que ver con tu traducción. La traducción correcta es:

Semejante subconjunto es dado mediante la siguiente construcción, a veces llamado "el conjunto diagonal de Cantor de la función \( f \): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

El participio called no concuerda con construction, en contra de lo que pretende tu traducción imaginativa, sino con subset. Esa frase dice dos cosas:

1) Que el conjunto \( B \) viene dado por la construcción siguiente (llamada axioma de especificación): \( B=\left\{{x\in{A}},x\not\in f(x)\right\} \).

2) Que a ese conjunto \( B \) se le llama a veces conjunto diagonal de Cantor de la función \( f \).

El cambio de sujeto en tu interpretación libre te ha hecho creer que el conjunto B se obtiene mediante la diagonalización de Cantor, lo cual es absurdo, pero es lo que tú entiendes. Lo que señalaba geómetracat es que toda la demostración del teorema de Cantor (para el caso de un conjunto numerable) es el argumento diagonal expresado de otra forma, pero lo que tú entiendes es que el argumento diagonal se emplea para justificar la existencia de B, lo cual no tiene ni pies ni cabeza.

Por otro lado, el hecho de que cambies también el núcleo al cual determina el sustantivo adjetivado Cantor también parece influir en tu creencia de que el conjunto \( B \) se define antes que \( f \), cuando en realidad se define a partir de \( f \). (Y que nadie me pregunte cómo puedes creer que un conjunto en cuya definición aparece \( f \) se define antes que \( f \), porque no tengo ni idea de cómo puede ser, pero lo has dejado claro en muchas ocasiones.)

En resumen: lo que dice la Wikipedia no tiene nada que ver con lo que tú crees que dice, ni mucho menos da pie a las consecuencias disparatadas que extraes de tu interpretación imaginativa.

¿Me podrías escribir cuales serían los elementos de ese conjunto B que evidentemente existe y pertenece a los naturales? Para que lo vea.

El conjunto B es un subconjunto de A. Será un subconjunto de los naturales si A es el conjunto de los números naturales. En ningún caso pertenecerá a los naturales.

Pero es que el conjunto B se define a partir de f. Dame tú una f y te diré quiénes son los elementos de B. Hay un B distinto para cada f que puedas considerar. Si quieres considerar una f en las hipótesis del teorema, es decir, una biyección entre A y su conjunto de partes, entonces f no existe, y no hay tampoco ningún conjunto B. El conjunto B es un conjunto que existe hipotéticamente supuesto que exista una aplicación f que no existe. Ahora bien, si consideras una \( f: A\longrightarrow \mathcal PA \) arbitraria, no necesariamente biyectiva, entonces sí, para cualquier \( f \) que me digas te podré dar el conjunto \( B \) correspondiente.

Vale, esto es lo que yo decía al principio del hilo: si suponemos que B existe y luego suponemos que hay una relación biyectiva entre A y P(A) entonces generamos inevitablemente una paradoja, como bien señalas Carlos, simplemente por la propia definición que le hemos dado a B, a tu entender de forma arbitraria o trivial -B se define, precisamente como, los elementos de P(A) que nunca se emparejan con A. En efecto, ambas premisas no pueden ir juntas.

No, eso no es lo que tú decías. Lo que yo he dicho y lo que tú decías son cosas opuestas. Una cosa es lo que yo he dicho y otra totalmente distinta lo que tú entiendes que yo he dicho. En particular, B no se define como dices aquí. Y ese "En efecto" no tiene ninguna relación con nada que yo haya dicho, sino únicamente con lo que tú entiendes al leer lo que yo he dicho, que es algo completamente distinto.

Así pues, según señalas Carlos, Cantor parte de la idea de que el conjunto B seguro que preexiste de forma independientemente de la función que establezcamos, pero siempre que haya alguna función; se la que sea.

No. Eso no es lo que yo señalo. Eso es lo que entiendes tú al leer lo que yo señalo, pero lo que entiendes tú al leer algo NO es lo que pone en lo que lees. Deberías leer por descarte: lees algo, le buscas un significado y así ya sabes que ése no es el significado de lo que has leído, y ya tienes una interpretación menos que considerar.

En todo lo demás que has dicho no entro, porque, como ya he indicado, me limito a señalarte dónde hay discrepancias entre lo que lees y lo que entiendes al leer. En lo que dices tú que no pretende ser una interpretación directa de un texto que hayas leído, no voy a entrar.

[cerrar]

[/spoiler]

Hola Carlos, gracias por la contestación y tu tiempo.

Vale, ya lo veo!! El sujeto "called" va a "subset" no a "construction" y no hace falta poder justificar el porqué se puede construir este subconjunto, simplemente se da que se puede construir dado un A cualquiera.

Eso se llega a entender perfectamente cuando ya sabes que la construcción del conjunto B no responde más que al hecho que se puede definir ese conjunto B por el axioma de especificación, como bien indicas.  Yo eso no los sabía y realmente es lo que me choca des del principio del hilo y me ha llevado a tales confusiones como señalas: ¿realmente tengo que asumir la existencia de un subconjunto A con propiedades cualquiera simplemente porque lo puedo definir?

Gracias!

Por cierto, otra cosa que me gustaría aclarar: 

Entiendo, si no corrígeme, que por el axioma de especificación puedo definir cualquier subconjunto de A con propiedades arbitrarias, y éste existirá. Como el ejemplo tonto que he puesto antes: si A es el conjunto de "los caballos de la hípica de mi pueblo", entonces yo puedo defender la existencia de un subconjunto de A, llamado C, que sea "los caballos de la hípica que son unicornios".

Entonces puedo asumir que este C existe simplemente porque lo puedo definir. Ahora bien, supongo que esto se soluciona considerándolo un conjunto vacío, y por consiguiente el conjunto "los caballos de la hípica de mi pueblo son unicornios" existe, pero no tiene elementos. ¿Es correcto esto? ¿O se hace de otra forma?

Lo digo porque en tal caso, no veo problema en asumir la existencia de B para cualquier conjunto A dado, vale, pero eso no me garantiza que B no sea un conjunto vacío. Pero eh aquí la duda:  ¿Puede ser B un conjunto vacío, o por su propia definición debe de tener siempre elementos?  Y si lo fuera, ¿entonces \( f \) podría ser biyectiva?

Gracias!

Feriva y Luis cuando pueda os contesto.




 





 

[feriva]

Eso se llega a entender perfectamente cuando ya sabes que la construcción del conjunto B no responde más que al hecho que se puede definir ese conjunto B por el axioma de especificación, como bien indicas.  Yo eso no los sabía y realmente es lo que me choca des del principio del hilo y me ha llevado a tales confusiones como señalas: ¿realmente tengo que asumir la existencia de un subconjunto A con propiedades cualquiera simplemente porque lo puedo definir?

Gracias!

Por cierto, otra cosa que me gustaría aclarar: 

Lo que he negado es que el conjunto B dependa directamente de establecer una relación biyectiva entre A y P(A), como se me comentó, o me pareció que se me comentaba. Pero siempre he tenido muy claro que es un conjunto que se define, precisamente, afirmando que la \( f \) entre A y P(A)

Parece que todavía tienes un poco de confusión.

Te lo había explicado Luis por ahí.

\( N=\{1,2,3,...\} \)

\( f(N)=\{12,27\},\{1,3\},\{3\},\{1,2,3,4\}... \)

Entonces

\( 1\rightarrow f(1)=\{12,27,2\}... \)

\( 2\rightarrow f(2)=\{1,3\}... \)

\( 3\rightarrow f(3)=\{3\}... \)

...

Como 1 no está en f(1) lo ponemos

\( B(1)=1 \)

Como 2 no está en f(2) lo ponemos

\( B(2)=2 \)

Como 3 sí está en f(3) ponemos otro

\( B(3)=1 \)

etc.

Entonces, B sería.

\( B=\{1,2,1...\} \)

Es distinto del primero, esto es, distinto de f(1), porque tiene el 1; distinto del segundo porque tiene el 2; distinto del tercero porque no tiene el 3...

(bueno, me he liado en el ejemplo; la cuestión será que si tiene el 1, además tenga más elementos que los otros que tienen el 1 y así; para que sean todos distintos. No sé, la verdad es que no estoy seguro; la cuestión es que difiera de los otros en algún elemento)

O sea, “N” (ó “A”), es el conjunto de los naturales o un subconjunto de naturales (que siempre podemos elegir ordenado y lo hacemos, porque para qué complicarnos la vida); y el subconjunto de partes es f(N) (ó f(A)).

A partir de lo cual f (N) es un subconjunto del conjunto de partes de N. Y nos hacemos la pregunta, ¿ese subconjunto será igual a P(N), o sea, estará completo?

Y a partir de ahí se deduce (es deducción más que definición) la existencia de un conjunto B que no está en f(N) pero sí, por definición, en P(N). Luego f(N) no está completo; por tanto, ya de manera obvia, N no se puede biyectar con P(N).

O sea, en principio hay tres conjuntos, N, f(N), P(N), que pueden quedarse reducidos a dos conjuntos si f(N)=P(N) que es el caso en el que existiría biyección. En todo caso, f(N) y p(N) son conjuntos de conjuntos hechos con los elementos de N, mientras que N es el conjunto de los elementos “sueltos” de esos otros. Por último, en la demostración se deduce la existencia de un tercer conjunto, B, el cual es un elemento de P(N) pero no de f(N)

...

Si te interesa en concreto el asunto de no poder biyectar los naturales con los reales, entonces sí es útil para organizarse el método de la diagonal de la matriz (pero se podrían cambiar otras cifras con tal de deducir uno que no estuviera el subconjunto). Es útil porque tenemos 1º fila, 2º fila... y ese es el conjunto de origen, el conjunto N, los naturales asignados a los números que ocupan las filas. Y como en una matriz cuadrada la diagonal tiene tantos elementos como las filas (tantas cifras)... pues está fácil cambiar cifras sin liarse.

Saludos.

[RDC]

A los comentarios de geómetrecat, Luís y Feriva, los he pasado al siguiente post que enlazo y donde comento cosas sobre la diagonalización. aquí prefiero centrarme en el teorema de Cantor sin más; ahora que, después de leer a Carlos, me parece claro que la existencia del conjunto B no se demuestra por diagonalización ni por establecer una función, sino por el hecho de definirlo -axioma de especificación.

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124561.0