[Luis Fuentes]

Hola

Si consideramos que en los naturales el número 0 es uno de sus elementos y por tanto \( \Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,...}\right\} \), entonces, entre los elementos de \( P(A) \) existen dos elementos diferentes, el \( a_1=\left\{{\emptyset}\right\} \) y el \( a_2=\left\{{0}\right\} \), o son el mismo subconjunto?

El vacío como elemento de \( P(A) \) se escribe simplemente \( \emptyset \) y no \( \{\emptyset\} \); estó ultimo sería un conjunto formado por un elemento, de manera que ese elemento es el conjunto vacío. Fíjate que \( cardinal(\emptyset)=0 \) pero \( cardinal(\{\emptyset\})=1 \).

Por otra parte es totalmente intrascendente para esto empezar a contar los naturales en el cero, en el uno o en el ciento veinte. Simplemente quise fijar un primer elemento, porque hay gente que considera el cero natural y otros no, pero insisto que eso no influye nada en todo eso.

Se escribe así \( a_{1}=\{\} \) ó así \( a_{1}=\emptyset \). Y ya dentro del conjunto de partes queda así \( a_{1}=\{\{\},\{0\},\{1\},\{2\}...\} \) o así \( a_{1}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}...\} \). Es cuestión de notación, no es demasiado importante en cuanto lo que quieres entender.

Tengo bastantes dudas de que has querido decir con esos conjuntos que he marcado en rojo. Eso son subconjuntos de \( P(A) \), es decir elementos de \( P(P(A)) \) pero que les llames \( a_{1} \) me mosquea y se presta a confusión. No sé a que vienen.

Saludos.

[RDC]

existen dos elementos diferentes, el \( a_1=\left\{{\emptyset}\right\} \)...

Se escribe así \( a_{1}=\{\} \) ó así \( a_{1}=\emptyset \). Y ya dentro del conjunto de partes queda así \( a_{1}=\{\{\},\{0\},\{1\},\{2\}...\} \) o así \( a_{1}=\{\emptyset,\{0\},\{1\},\{2\},\{3\}...\} \). Es cuestión de notación, no es demasiado importante en cuanto lo que quieres entender.

Saludos.

Eso, quería decir 

Por eso Ani_Pascual ha comentado que si estaba seguro de que \( \left\{{\emptyset}\right\}\in{P(A)} \). No lo entendía  . Y de hecho tiene mucho más sentido que se escriba como se escribe.

Por cierto me tiene un poco fascinado eso del conjunto vacío. Por ejemplo, al tener el conjunto de los naturales uno puede definir un subconjunto D como todos los naturales que sean de color lila. Este conjunto D existirá y será un subconjunto de \( \Bbb N \) , y corresponderá a \( \emptyset \) porque no hay números naturales de colores, con lo cual es un subconjunto vacío.

Por tanto, el conjunto vacío sería como un cajón de sastre donde se mete todo lo que se puede decir (definir) de un conjunto A cualquiera, pero que no hay elementos que lo cumplan dada una función \( f \). Verdad?

[RDC]

Hola

Si consideramos que en los naturales el número 0 es uno de sus elementos y por tanto \( \Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,6,...}\right\} \), entonces, entre los elementos de \( P(A) \) existen dos elementos diferentes, el \( a_1=\left\{{\emptyset}\right\} \) y el \( a_2=\left\{{0}\right\} \), o son el mismo subconjunto?

El vacío como elemento de \( P(A) \) se escribe simplemente \( \emptyset \) y no \( \{\emptyset\} \); estó ultimo sería un conjunto formado por un elemento, de manera que ese elemento es el conjunto vacío. Fíjate que \( cardinal(\emptyset)=0 \) pero \( cardinal(\{\emptyset\})=1 \).

Por otra parte es totalmente intrascendente para esto empezar a contar los naturales en el cero, en el uno o en el ciento veinte. Simplemente quise fijar un primer elemento, porque hay gente que considera el cero natural y otros no, pero insisto que eso no influye nada en todo eso.

Sí,sí, no lo decía por ello, pero al leerlo me ha venido a la cabeza de si \( \emptyset \) se considera como el mismo elemento que \( 0 \) o no. Estaba ocnvencido de que no, pero quería aclararlo, nada más.

La verdad es que eso del conjunto \( \emptyset \) da mucho juego dado que puede admitir infinitas definiciones o construcciones, verdad?




Saludos.

[feriva]

Tengo bastantes dudas de que has querido decir con esos conjuntos que he marcado en rojo. Eso son subconjuntos de \( P(A) \), es decir elementos de \( P(P(A)) \) pero que les llames \( a_{1} \) me mosquea y se presta a confusión. No sé a que vienen.

Saludos.

Lo estaba pensando bien (al principio se me olvidaron las llaves de los números y edité deprisa) porque quería decir lo que he puesto, si \( A=\{0,1,2\} \), entonces \( PA=(\{\},\{0\},\{1\},\{2\}...) \). (con llaves, que había puesto paréntesis[/color])

Puntos suspensivos puestos

Gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Por tanto, el conjunto vacío sería como un cajón de sastre donde se mete todo lo que se puede decir (definir) de un conjunto A cualquiera, pero que no hay elementos que lo cumplan dada una función \( f \). Verdad?

No tiene tanto de especial. Eso sólo significa que puede definirse de muchas maneras distintas como todos los conjuntos.

Por ejemplo todos estos conjuntos corresponde a los números pares:

\( \{n\in \Bbb N|n\text{ es divisible por}2\} \)
\( \{n\in \Bbb N|n=2k\text { para algún }k\in \Bbb Z\} \)
\( \{n\in \Bbb N|n=2k\text { para algún }k\in \Bbb Z\text{  o bien }n=3k\text{ con }k\in (0,1/5)\} \)
\( \{n\in \Bbb N|\text{ existen naturales positivos $x,y,z$ cumpliendo $x^k+y^k=z^k$ para algún divisor de $n$ mayor que $1$}\} \)
\( \{n\in \Bbb N|n\text{ es divisible por $2$ ó $n$ cumple cualquier estrambótica condición que siempre es falsa}\} \).

Saludos.

[ani_pascual]

Por tanto, el conjunto vacío sería como un cajón de sastre donde se mete todo lo que se puede decir (definir) de un conjunto A cualquiera, pero que no hay elementos que lo cumplan dada una función \( f \). Verdad?

Hola:
Podríamos decir que el conjunto vacío, \( \emptyset \), es como un comodín o joker que puede representar a una infinidad de conjuntos que podamos definir y que tengan en común el hecho de carecer de elementos.

[Juan Pablo Sancho]

Lo estaba pensando bien (al principio se me olvidaron las llaves de los números y edité deprisa) porque quería decir lo que he puesto, si \( A=\{0,1,2\} \), entonces \( PA=\{\{\},\{0\},\{1\},\{2\} , \color{red} \{0,1,2\}
\color{black}\} \).

Gracias, Luis.

[Luis Fuentes]

Hola

Podríamos decir que el conjunto vacío, \( \emptyset \), es como un comodín o joker que puede representar a una infinidad de conjuntos que podamos definir y que tengan en común el hecho de carecer de elementos.

Por poder, se pueden decir muchas cosas. Pero eso se presta a confusión. El conjunto vacío es UN conjunto no una infinidad de ellos.

Lo estaba pensando bien (al principio se me olvidaron las llaves de los números y edité deprisa) porque quería decir lo que he puesto, si \( A=\{0,1,2\} \), entonces \( PA=\{\{\},\{0\},\{1\},\{2\}\} \) (con llaves, que había puesto paréntesis)

Sería:

\( P(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\} \)

Saludos.

[feriva]

Lo estaba pensando bien (al principio se me olvidaron las llaves de los números y edité deprisa) porque quería decir lo que he puesto, si \( A=\{0,1,2\} \), entonces \( PA=\{\{\},\{0\},\{1\},\{2\} , \color{red} \{0,1,2\}
\color{black}\} \).

Gracias, Luis.

También se me olvidaron los puntos suspensivos

Gracias, Juan Pablo.

Y gracias otra vez, Luis, que acabo de ver el tuyo.

[manooooh]

Hola

Podríamos decir que el conjunto vacío, \( \emptyset \), es como un comodín o joker que puede representar a una infinidad de conjuntos que podamos definir y que tengan en común el hecho de carecer de elementos.

La demostración rigurosa de esto (que Luis lo explica con palabras) es la siguiente:

Supongamos que existieran dos conjuntos vacíos, \( \emptyset_1 \) y \( \emptyset_2 \). Por definición de conjunto vacío, \( \emptyset_1\subseteq\emptyset_2 \) (el vacío está incluido en cualquier conjunto, en particular \( \emptyset_2 \)). De manera análoga, \( \emptyset_2\subseteq\emptyset_1 \). Por definición de igualdad entre conjuntos, obtenemos \( \emptyset_1=\emptyset_2 \). Esto demuestra que el conjunto vacío es único.

Saludos