[ani_pascual]

Propongo lo siguiente:

Cantor muestra como \( card(\Bbb N)= Card(\Bbb Q) \)

Imaginemos que Z es un subconjunto infinito de \( \Bbb Q \), tal que podemos emparejarlo con \( \Bbb N \) del siguiente modo:

\( \Bbb N\longrightarrow{Z} \)

f(1)=3/2
f(2)=1
f(3)=5/4
f(4)=2
f(5)=11/6
f(6)=11/7
f(7)=11/8
f(8)=3
f(9)=17/10
f(10)=17/11
f(11)=17/12
f(12)=17/13
f(13)=17/14
f(14)=17/15
f(15)=17/16
f(16)=4
...

Por tanto, cada número natural, \( x \), tendría por imagen:

a) Si \( x=2^n \), entonces \( f(x)=n \)

b) si \( x\neq 2^n \), entonces \( f(x)=\displaystyle\frac{p_1}{x+1} \), siendo \( p_i \) el nº primo inmediatamente posterior al siguiente \( x=2^n \).

Visto así parece que \( card(\Bbb N)=Card(Z) \). ¿O habría alguna razón para que no lo fuera?

Entonces, en vez de intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \) como hace Cantor, vamos a intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre Z y \( P(\Bbb N) \).

Y vemos que tenemos el siguiente emparejamiento:

\( f: Z\longrightarrow{P(\Bbb N)} \)

\( f(3/2)=\emptyset \)
\( f(1)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(5/4)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1,2}\right\} \)
\( f(11/6)=\left\{{3}\right\} \)
\( f(11/7)=\left\{{1,3}\right\} \)
\( f(11/8)=\left\{{2,3}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{1,2,3}\right\} \)
\( f(17/10)=\left\{{4}\right\} \)
\( f(17/11)=\left\{{1,4}\right\} \)
...
\( f(4)=\left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

Se aprecia que el argumento de Cantor no se puede aplicar aquí pues:

El conjunto B sigue existiendo como un elemento de \( P(\Bbb N) \), en concreto como \( B=\emptyset \). Ahora bien, no se genera ninguna contradicción si \( \emptyset \) es la imagen de un elemento de Z, si este elemento no es un número natural, sino un racional.

También se aprecia que para cualquier elemento de \( P(\Bbb N) \) se puede hallar sin problemas una antiimagen en el conjunto Z, dado que para cualquier \( x\in{\Bbb N} \), \( \exists{f(x)},f(x)=\left\{{1,2,3...,x}\right\} \) y para \( x+1 \), \( \exists{f(x+1)},f(x+1)=\left\{{1,2,3...,x+1}\right\} \), de manera que entre \( x \) y\(  x+1 \), siempre \( \exists{f(p_i/(x+n)}, f(p_i/(x+n))= \)un elemento de P(A) entre \( \left\{{1,2,3,...,x}\right\} \) y \( \left\{{1,2,3,...,x+1}\right\} \). (no sé si me expresado sin mucha confusión...)

Por tanto, si esto fuera correcto tendríamos que:

\( Card(\Bbb N)=Card(Z)=Card(P(\Bbb N)) \)

y por el principio de transitividad podríamos considerar entonces que:

\( Card(\Bbb N)=Card(P(\Bbb N)) \)

Un saludo.

Hola:
¿Desde cuándo \( \dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\ldots \in\mathbb{Z} \)?
Por cierto, según ese criterio, como es \( 1=2^0 \) ¿no sería\(  f(1)=0 \)?
Saludos

[Eparoh]

Hola.

Por tanto, si esto fuera correcto tendríamos que:

\( Card(\Bbb N)=Card(Z)=Card(P(\Bbb N)) \)

y por el principio de transitividad podríamos considerar entonces que:

\( Card(\Bbb N)=Card(P(\Bbb N)) \)

Lo que has encontrado es una biyección con el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales, que efectivamente es numerable. La imagen de tu última función nnunca será un conjunto infinito, con lo que no es una biyección con el conjunto de partes de \( \Bbb N \).

Un saludo.

[RDC]

Hola:
¿Desde cuándo \( \dfrac{3}{2},\dfrac{5}{4}\ldots \in\mathbb{Z} \)?
Por cierto, según ese criterio, como es \( 1=2^0 \) ¿no sería\(  f(1)=0 \)?
Saludos

Perdona, no quiero decir que Z sea el conjunto de enteros, quería decir un subconjunto infinito cualqueira de los racionales. Le cambio el nombre y le pongo G, para que no haya dudas.

También modifico la definición, especificando la condición para \( x=2^n, n>0 \)

Gracias y un saludo

[RDC]

Hola Eparoh,

Hola.

Por tanto, si esto fuera correcto tendríamos que:

\( Card(\Bbb N)=Card(Z)=Card(P(\Bbb N)) \)

y por el principio de transitividad podríamos considerar entonces que:

\( Card(\Bbb N)=Card(P(\Bbb N)) \)

Lo que has encontrado es una biyección con el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales, que efectivamente es numerable. La imagen de tu última función nnunca será un conjunto infinito, con lo que no es una biyección con el conjunto de partes de \( \Bbb N \).

Un saludo.

Quería poner esto:

\( f: G\longrightarrow{P(\Bbb N)} \)

\( f(3/2)=\emptyset \)
\( f(1)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(5/4)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1,2}\right\} \)
\( f(11/6)=\left\{{3}\right\} \)
\( f(11/7)=\left\{{1,3}\right\} \)
\( f(11/8)=\left\{{2,3}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{1,2,3}\right\} \)
\( f(17/10)=\left\{{4}\right\} \)
\( f(17/11)=\left\{{1,4}\right\} \)
...
\( f(4)=\left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

 ¿no entiendo por qué no será nunca un conjunto infinito?

[geómetracat]

¿no entiendo por qué no será nunca un conjunto infinito?

¿Cuál es el elemento de \( G \) tal que su imagen por \( f \) es \( \Bbb N \)? ¿O el elemento de \( G \) tal que su imagen por \( f \) es el conjunto de todos los naturales pares?

[RDC]

¿no entiendo por qué no será nunca un conjunto infinito?

¿Cuál es el elemento de \( G \) tal que su imagen por \( f \) es \( \Bbb N \)? ¿O el elemento de \( G \) tal que su imagen por \( f \) es el conjunto de todos los naturales pares?

Hola geométrecat.

Ah vale, pues es una buena pregunta. Si me escribes todos los elementos de \( \Bbb N \) te digo su antiimagen  en G, sin problemas.

De todas maneras, Cantor muestra que:

Card(R)=Card(P(N)

Entonces, no sucede este mismo problema si empiezo a emparejar elementos de R con elementos de P(N) a través de una \( f \) cualquiera? No podré preguntar siempre: ¿y este subconjunto infinito de N con qué elemento de R se empareja? Lo digo desde la completa ignorancia.

un saludo

 

[ani_pascual]

Propongo lo siguiente:

Cantor muestra como \( card(\Bbb N)= Card(\Bbb Q) \)

Imaginemos que G es un subconjunto infinito de \( \Bbb Q \), tal que podemos emparejarlo con \( \Bbb N \) del siguiente modo:

\( \Bbb N\longrightarrow{G} \)

f(1)=3/2
f(2)=1
f(3)=5/4
f(4)=2
f(5)=11/6
f(6)=11/7
f(7)=11/8
f(8)=3
f(9)=17/10
f(10)=17/11
f(11)=17/12
f(12)=17/13
f(13)=17/14
f(14)=17/15
f(15)=17/16
f(16)=4
...

Por tanto, cada número natural, \( x \), tendría por imagen:

a) Si \( x=2^n \), entonces \( f(x)=n \), siempre que \( n>0 \)

b) si \( x\neq 2^n \) o bien \( x= 2^n, n=0 \), entonces \( f(x)=\displaystyle\frac{p_1}{x+1} \), siendo \( p_i \) el nº primo inmediatamente posterior al siguiente \( x=2^n \).

Visto así parece que \( card(\Bbb N)=Card(G) \). ¿O habría alguna razón para que no lo fuera?

Entonces, en vez de intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \) como hace Cantor, vamos a intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre G y \( P(\Bbb N) \).

Y vemos que tenemos el siguiente emparejamiento:

\( f: G\longrightarrow{P(\Bbb N)} \)

\( f(3/2)=\emptyset \)
\( f(1)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(5/4)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1,2}\right\} \)
\( f(11/6)=\left\{{3}\right\} \)
\( f(11/7)=\left\{{1,3}\right\} \)
\( f(11/8)=\left\{{2,3}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{1,2,3}\right\} \)
\( f(17/10)=\left\{{4}\right\} \)
\( f(17/11)=\left\{{1,4}\right\} \)
...
\( f(4)=\left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

Se aprecia que el argumento de Cantor no se puede aplicar aquí pues:

El conjunto B sigue existiendo como un elemento de \( P(\Bbb N) \), en concreto como \( B=\emptyset \). Ahora bien, no se genera ninguna contradicción si \( \emptyset \) es la imagen de un elemento de G, si este elemento no es un número natural, sino un racional.

También se aprecia que para cualquier elemento de \( P(\Bbb N) \) se puede hallar sin problemas una antiimagen en el conjunto G, dado que para cualquier \( x\in{\Bbb N} \), \( \exists{f(x)},f(x)=\left\{{1,2,3...,x}\right\} \) y para \( x+1 \), \( \exists{f(x+1)},f(x+1)=\left\{{1,2,3...,x+1}\right\} \), de manera que entre \( x \) y\(  x+1 \), siempre \( \exists{f(p_i/(x+n)}, f(p_i/(x+n))= \)un elemento de P(A) entre \( \left\{{1,2,3,...,x}\right\} \) y \( \left\{{1,2,3,...,x+1}\right\} \). (no sé si me expresado sin mucha confusión...)

Por tanto, si esto fuera correcto tendríamos que:

\( Card(\Bbb N)=Card(G)=Card(P(\Bbb N)) \)

y por el principio de transitividad podríamos considerar entonces que:

\( Card(\Bbb N)=Card(P(\Bbb N)) \)

Un saludo.

Hola:
Vale, con esa aclaración entiendo tu exposición. No obstante, usar la misma letra para las aplicaciones  \( f:\mathbb{N}\longrightarrow{G} \) y \( f:G\longrightarrow {\cal P}(\mathbb{N}) \), puede dar lugar a confusión.  Por otra parte, no entiendo porqué dices que \( B=\emptyset \); por ejemplo, \( \dfrac{5}{4}\in G \) y además \( \dfrac{5}{4}\notin f\left(\dfrac{5}{4}\right)=\{2\} \) así es que \( B\neq\emptyset \). En cualquier caso, tal y como ya te ha dicho Eparoh esa aplicación no es una biyección entre \( G \) y \( {\cal P}(\mathbb{N}) \)
Saludos

[feriva]

De hecho, ¿cómo podemos representar tal planteamiento al infinito? Quizás a través de "aproximaciones poco a poco"...

¿Cómo demuestras que esto es cierto?

\( 1+2+3+4+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \)

¿Así?

\( 1=\dfrac{1(1+1)}{2}=1 \)

\( 1+2=\dfrac{2(2+1)}{2}=3 \)

\( 1+2+3=\dfrac{3(3+1)}{2}=6 \)

\( 1+2+3+4=\dfrac{4(4+1)}{2}=10 \)

etc.

Saludos.

[ani_pascual]

Ah vale, pues es una buena pregunta. Si me escribes todos los elementos de \( \Bbb N \) te digo su antiimagen  en G, sin problemas.

 

Por construcción, parece que hay infinitos elementos en \( G \) que no pertenecen a su imagen por \( f \), es decir, que \( Card(B)=\infty \). Sin embargo,  \( \forall\,y\in G, \,\, Card f(y)<\infty \). Así pues, si existe \( y\in G\,|\,f(y)=B \) entonces \( Card (B)<\infty \) lo cual es una contradicción.

[RDC]

Hola:
Vale, con esa aclaración entiendo tu exposición.

No obstante, usar la misma letra para las aplicaciones  \( f:\mathbb{N}\longrightarrow{G} \) y \( f:G\longrightarrow {\cal P}(\mathbb{N}) \), puede dar lugar a confusión.

Sí, es tarde y no sé ya en qué pensaba... poner Z 

Por otra parte, no entiendo porqué dices que \( B=\emptyset \); por ejemplo, \( \dfrac{5}{4}\in G \) y además \( \dfrac{5}{4}\notin f\left(\dfrac{5}{4}\right)=\{2\} \) así es que \( B\neq\emptyset \).

Mañana lo pensaré mejor porque ya no doy por mucho más a estas horas, pero entiendo que \( B=\left\{{x\in{N}},x\not\in f(x)\right\} \), es decir, la definición de B es que contiene números naturales, no números racionales de Z.

En cualquier caso, tal y como ya te ha dicho Eparoh esa aplicación no es una biyección entre \( G \) y \( {\cal P}(\mathbb{N}) \)

No sé....

Saludos