Hola, RDC:
Ya te he ido leyendo, no he entendido mucho. Pero no importa, porque ya te han explicado los que saben.
Por mi parte poco puedo decir. Estas matemáticas son de alto nivel, para profesionales, no es como saberse las cosas básicas de álgebra vectorial, teoría de números... o de la misma teoría de conjuntos en plan colegio, donde, haciendo unos pocos problemas, cualquier aficionado puede comprender las cosas y razonarlas sin necesidad de que las demostraciones conlleven tanta abstracción.
No obstante, me parece entrever por encima que lo que te preocupa puede tener que ver con los conceptos de conjunto y elemento.
Se entiende que un conjunto “normal” (aquí está una da las cosas donde yo no puedo entrar a definir con rigor, y por eso digo “normal”) como pueda ser {1,2}, tiene unos elementos; que son los que se ven, 1,2, y se dice que pertenecen al conjunto; donde la palabra “pertenecen” es técnica. Ese conjunto tiene cardinal dos.
Además, también se dice que hay unos conjuntos contenidos dentro del conjunto, que son los que se ven (pero metidos entre llaves cuando se expresan como conjuntos) más el conjunto vacío que hay entre ellos, que no se ve a través de un símbolo.
Como ahora hablamos de conjuntos dentro del conjunto, podemos considerar el conjunto de los conjuntos “visibles” y el vacío:
{{},{1},{2}}; y también podemos considerar combinar esos elementos del conjunto {1,2} para formar otros conjuntos más, en este caso sólo tenemos el mismo {1,2}. El mismo pero que no es lo mismo, hay un matiz, porque lo voy a tratar como elemento para meterlo aquí {{},{1},{2}}, y entonces me queda el conjunto de partes {{},{1},{2},{1,2}}.
Lo que llamamos “partes” son conjuntos funcionando como elementos dentro del llamado conjunto P(A); o sea, dentro de P(A) son los elementos de P(A).
Así, resulta que P(A) tiene como elemento al conjunto A={1,2}; pero no tiene como elementos a 1,2, no pertenecen a él, sino que los que pertenecen son los conjuntos {1} y {2} además del vacío, {}.
Ahora uno podría plantearse meter como elemento dentro de P(A) al conjunto de todos los conjuntos que tiene dentro, o sea, hacer esto:
\( {\color{brown}\{}{\color{blue}\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}}{\color{brown},}{\color{green}\{}{\color{blue}\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}}{\color{brown}{\color{green}\}}\}...} \)
y así, sucesivamente, volverlo a meter junto a las combinaciones posibles, y otra vez y otra... hasta el infinito. Y eso sería el conjunto de todos los conjuntos, en el cual habría un elemento así \( {\color{blue}\{\}} \), otro así \( {\color{brown}\{}{\color{green}\{}{\color{blue}\{\}}{\color{brown}{\color{green}\}}} \)... y al “final” muchos así ...{{{{{}}}}}...
Ése es el conjunto (el de todos los conjuntos) que resulta paradójico, un conjunto finito no da problemas, aunque a él pertenezcan siete vacíos.
El vacío, visto como elemento, es parecido al cero en los números naturales, un número puede tener muchos ceros y no pasa nada, incluso puede tener infinitos, si son cifras no significativas.
Si el conjunto que vas a contar tiene sólo el elemento {}, pues contarás 1; sería este conjunto {{}} y entonces \( card(\{\{\}\})=1 \). ¿Quién se queda sin corresponder? Pues nadie, porque estoy considerando este conjunto {{}}, no un conjunto de partes con más elementos ni otra cosa. Y, si considerara que el conjunto de partida es N, pues se quedarían inyectar corresponder muchísimos números naturales; como pasaría siempre que contase los elementos de un conjunto finito. Pero si considerara que el conjunto origen es 1, o cualquier otra cosa, (un elemento, una unidad) pues tendría una aplicación inyectiva que, además, por el conjunto de llegada, éste {{}}, sería suprayectiva; y, por tanto, biyectiva porque nadie se queda “soltero”.
Pero el vacío contenido en un conjunto es único; aquí, por ejemplo, sólo hay un conjunto vacío contenido, el único que existe:
\( \{\{\},\{1\},\{2\}\} \).
De parecido a modo, no es lo mismo decir “el cero”, como valor, como número (que es único) que decir “la cifra cero”, o las “cifras que son cero”, de un cierto número.
Saludos.
