[Luis Fuentes]

Hola

Bueno, como he comentado, igual podían haber pensado que en vez de conjunto vacío pensar que no existe nada de nada, y \( \emptyset \) indicase ausencia de todo. ¿Sería absurda esa interpretación?

Lo de absurdo o no es bastante subjetivo. Pero sería complicarse la vida; introducir una excepción artificialmente.

Por ejemplo "la intersección de dos conjuntos siempre es un conjunto"; pero con tu criterio, habría que añadir, excepto si los conjuntos no tienen elementos en común en cuyo caso la intersección no existe o es otra cosa...

O, dado un conjunto \( A \) podemos definir otros conjuntos \( \{a\in A|a\text{ cumple una condición}\} \); pero con tu criterio habría que decir, excepto si en \( A \) no hay ningún elemento que cumpla esa condición en cuyo caso eso ya no es un conjunto; no existe o es no se que cosa...

Es mucho más sencillo dar categoría de conjunto al vacío, como aquel conjunto que no contiene elementos (una caja vacía; una lista vacía; una actividad sin gente anotada;  ). O más técnicamente el conjunto que cumple \( x\not\in \emptyset \) para cualquier \( x \).

De hecho, la noción de "ausencia de elementos" en aritmética, que representamos mediante el 0, parece diferente a esta de conjuntos. El cero se concibe en base, exclusivamente, a la identidad, es decir como un elemento que contiene una identidad, dado que sus elementos cumplen que: \( x=x\Longleftrightarrow{x-x=0} \)

.

No entiendo muy bien que quieres decir. El cero es precisamente el cardinal del conjunto vacío.

Por otra parte es cierto que el cero es el neutro para la suma; y ojo con eso de que la ausencia de elementos se representa con el cero. Depende del contexto y de que queramos decir exactamente con eso. Por ejemplo cuando uno usa la notación de productorio:

\( \displaystyle\prod_{n\in A}f(n)=\text{producto de todos los $f(n)$ con $n\in A$} \)

Spoiler

Por ejemplo si \( A=\{1,2,3,4\} \) y \( f(x)=x^2 \),

\( \displaystyle\prod_{n\in A}n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30. \)

[cerrar]

Si \( A=\emptyset \) con lo cual no hay nada que multiplicar, el convenio es que entonces ese producto vale \( 1 \) porque es el neutro para la operación producto.

Sea como sea esto son otras historias que se salen del asunto.

Un cambio, en teoría de conjuntos la ausencia de elementos parece  concebirse como un elemento, el \( \emptyset \), que contiene una contradicción, pues sus elementos cumplen que: \( x\neq x \)

.

Esa es una forma de describirlo; simplemente puede definirse con cualquier condición que sea imposible que se cumpla. Pero lo que uno tiene que tener en la cabeza es que es un conjunto que no tiene elementos.

Saludos.

P.D. Estoy corrigiendo tus mensajes, porque para responder a los míos lo que haces es citar por completo mi mensaje y añadir comentarios en colores (a veces poco legibles). Es mejor que cites cada fragmento al que quieres responder encerrándolo entre  [quote]...[/quote] y debajo pongas tu comentario como he ido haciendo al modificar tus mensajes.

[RDC]

Hola

Lo de absurdo o no es bastante subjetivo. Pero sería complicarse la vida; introducir una excepción artificialmente.

Sí, pienso lo mismo Luís, por eso me parece una solución inteligente: simplifica o generaliza las cosas. Sin embargo, creo que nos llevaría a una teoría de conjuntos diferentes, con sus ventajas y desventajas.

Por ejemplo "la intersección de dos conjuntos siempre es un conjunto"; pero con tu criterio, habría que añadir, excepto si los conjuntos no tienen elementos en común en cuyo caso la intersección no existe o es otra cosa...

O, dado un conjunto \( A \) podemos definir otros conjuntos \( \{a\in A|a\text{ cumple una condición}\} \); pero con tu criterio habría que decir, excepto si en \( A \) no hay ningún elemento que cumpla esa condición en cuyo caso eso ya no es un conjunto; no existe o es no se que cosa...

Es mucho más sencillo dar categoría de conjunto al vacío, como aquel conjunto que no contiene elementos (una caja vacía; una lista vacía; una actividad sin gente anotada;  ). O más técnicamente el conjunto que cumple \( x\not\in \emptyset \) para cualquier \( x \).

Sí, en efecto, es lo más sencillo y simple. Sin embargo, la teoría de conjuntos creo que cambiaría. Un ejemplo de ello sobre lo que estamos hablando en el hilo: al partir de la premisa que solo existen conjuntos que tengan elementso, sino hay nada pura y dura entonces no habría conjuntos sin elementos, con lo cual la cardinalidad de cualquier conjunto potencia de \( n \) elementos sería \( 2^n-1 \), dado que el vacío, sin más, nunca podría ser un elemento de un conjunto. En tal caso, el argumento de Cantor no funcionaría o mostraría lagunas, puesto que dada una \( f \) entonces si B no tuviera elementos no existiría y por ello, no sería ningún elemento del conjunto potencia; no se podría usar para contrastar si todos los elementos de P(A) son imagen de algún elemento de A. Ahora bien, supongo que se podría formular otro teorema diferente que nos llevaría a situaciones diferentes. Quizás... no sé.

No entiendo muy bien que quieres decir. El cero es precisamente el cardinal del conjunto vacío.

Por otra parte es cierto que el cero es el neutro para la suma; y ojo con eso de que la ausencia de elementos se representa con el cero. Depende del contexto y de que queramos decir exactamente con eso. Por ejemplo cuando uno usa la notación de productorio:

\( \displaystyle\prod_{n\in A}f(n)=\text{producto de todos los $f(n)$ con $n\in A$} \)

Spoiler

Por ejemplo si \( A=\{1,2,3,4\} \) y \( f(x)=x^2 \),

\( \displaystyle\prod_{n\in A}n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=30. \)

[cerrar]

Si \( A=\emptyset \) con lo cual no hay nada que multiplicar, el convenio es que entonces ese producto vale \( 1 \) porque es el neutro para la operación producto.

Sea como sea esto son otras historias que se salen del asunto.

sí, salen del asunto.

Sólo apuntaba que me parece curiosos que el cero, como ausencia de valores o elementos, exprese una identidad, con lo cual del 0, cuando expresa el elemento neutro de la suma/resta, puede surgir cualquier número perfectamente bien definido por el principio de identidad mediante separación de opuestos, por así decirlo.

Con razón en aritmética podemos hacer, dada una ecuación tipo: \( x^2+3x=0=124y-124y\Longleftrightarrow{x^2+3x+124y=124y} \).

Sin embargo, diría que del conjunto vacío no podemos generar cualquier conjunto con los elementos que queramos, como bien ocurre con el 0, verdad?

Entiendo que \( \emptyset \) , como ausencia de elementos, expresa una contradicción o imposibilidad de que elemento alguno exista. Pues si existiese estaríamos ante un elemento intrínsecamente  contradictorio, es decir, ese elemento podría tener cualquier tipo de propiedad intrínseca, donde en general muchas de ellas sería opuestas entre sí: por ejemplo podría ser un elemento par y impar a la vez, estar en el conjunto B y no estar en el conjunto B, y paradojas por el estilo. ¿No es así? Por eso me parece muy interesante el conjunto... como el cero también.

A feriva: sí, si... tengo muy claro que una cosa es el símbolo y la representación de una idea y otra distinta la idea, aunque no pocas veces una cosa termina condiciona directamente, y no poco, la otra. Lo que quiero mostrar es que el número 0 y el conjunto vacío expresan la ausencia de entidades, números, valores o elementos empleando, ya no símbolos diferentes, sino concepciones completamente diferente -Tratar estas cosas raras a mi me gusta bastante

Un cambio, en teoría de conjuntos la ausencia de elementos parece  concebirse como un elemento, el \( \emptyset \), que contiene una contradicción, pues sus elementos cumplen que: \( x\neq x \)

.

Esa es una forma de describirlo; simplemente puede definirse con cualquier condición que sea imposible que se cumpla. Pero lo que uno tiene que tener en la cabeza es que es un conjunto que no tiene elementos.

Sí, eso voy apreciando.

Saludos.

P.D. Estoy corrigiendo tus mensajes, porque para responder a los míos lo que haces es citar por completo mi mensaje y añadir comentarios en colores (a veces poco legibles). Es mejor que cites cada fragmento al que quieres responder encerrándolo entre  [quote]...[/quote] y debajo pongas tu comentario como he ido haciendo al modificar tus mensajes.

De acuerdo!!

[RDC]

Después de haber comentado la noción de \( \emptyset \) me gustaría regresar a uno de los puntos que me motivaron abrir este hilo: cuando el conjunto \( B=\Bbb A \), porque  ningún elemento de A tiene por imagen un conjunto de P(A) que precisamente lo contenga.

Avanzo que para conjuntos A finitos, aquí el argumento de Cantor me parece inapelable. Mis dudas aparecen cuando A es infinito, acaso en los naturales por ejemplo.

Así pues, voy a plantear esta duda, a ver si con vuestros comentarios veo la situación más clara. Por tanto, gracias de antemano si participáis.

Lo expongo con un ejemplo:

Si tomamos el subconjunto finito de los naturales \( C_1=\left\{{1,2}\right\}  \) y una función \( f \) tal con la que obtengamos el siguiente emparejamiento

\( f: C_1\longrightarrow{P(C_1)} \)

Entonces:

\( f(1)=\emptyset \)
\( f(2)=1 \)

Resulta evidente que \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \). Y salta a la vista que \( B_1 \) existe como elemento de \( P(C_1) \), pero que no es ninguna imagen de \( C_1 \). Por tanto \( CardC_1<CardP(C_1) \), pues el conjunto \( B_1 \) no es ninguna imagen de \( C_1 \), pero existe en \( P(C_1) \).

Lo que podemos hacer ahora es ampliar el conjunto \( C_1 \), para obtener \( C_2=\left\{{1,2,3,4}\right\} \). Su conjunto potencia, \( P(C_2) \), también contiene evidentemente al conjunto \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \). Y entonces establecemos la misma función \( f \) que antes entre \( C_2 \) y \( P(C_2) \) de tal modo:

\( f: C_2\longrightarrow{P(C_2)} \)

\( f(1)=\emptyset \)
\( f(2)=1 \)
\( f(3)=2 \)
\( f(4)=\left\{{1,2}\right\} \)

Con esta ampliación hemos logrado emparejar \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \) con un elemento de \( C_2 \), en concreto con el \( 4:f(4)=\left\{{1,2}\right\} \).

Sin embargo ello nos ha generado un nuevo conjunto \( B_2=C_2=\left\{{1,2,3,4}\right\} \), que no puede emparejarse con ningún elemento de \( C_2 \), demostrando con ello que \( CardC_2<CardP(C_2) \)

Entiendo que por inducción podemos generalizar esta situación:

Si para \( C_n \) tenemos que \( C_n=B_n \), tal que \( \forall{x, x\in{C_n}}, entonces, f(x)\neq B_n \), con lo cual \( CardC_n<CardP(C_n) \), entonces sucede lo mismo para \( C_{n+1} \)

Insisto, hasta aquí estoy completamente de acuerdo. No tengo dudas -si es que lo expuesto es en esencia correcto.

La cuestión es que luego se pueden tomar 2 opciones diferentes.

A) Tomar el razonamiento de Zenón, por ejemplo, que decía si parto una distancia por la mitad, entonces cada mitad que parta me genera una segunda distancia que puedo volver a partir por la mitad, que a su vez me generará otra tercera distancia que se puede partir por la mitad, etc. Conclusión, es imposible alcanzar un punto final en esta partición infinita porque siempre habrá distancias por partir. Y me parece sumamente evidente que Cantor, aquí, toma esta opción: pasa de lo finito a lo infinito tal cual.

Pero contra este razonamiento tenemos la experiencia, que nos indica que no podemos partir nada hasta lo infinito. O que el movimiento y el cambio SÍ  existen (negar el movimiento y el cambio era otra consecuencia de este razonamiento de Zenón).

B) Entonces los físicos, Demócrito y Platón los primeros, pero en especial los del s.XVII (Newton y Leibniz) y sXVIII (Euler-Lagrange) intentaron desarrollar un razonamiento distinto al de Zenón a fin de poder representar/calcular el cambio y el movimiento.

Y de hecho, el razonamiento que configuraron sabe sumamente platónico: tratar lo infinito como pura potencialidad; como "elementos dinámicos, fluidos o elásticos", en vez de considerarlos entidades fijas y estáticas, tal y como solemos concebir los números y elementos: Newton habla de fluxiones, o Euler habla de elementos tan grandes o tan pequeños como queramos en su "analisis infinitorum", etc). 

Por tanto, al menos me parece a mí, en matemáticas aquí tenemos dos opciones: tratar lo que sucedería con esta función \( f  \), ahora ya entre los \Bbb N y su conjunto potencia, empleando el razonamiento de Cantor/Zenón o bien, empleando el razonamiento que subyace al cálculo infinitesimal y por ello, en la noción de límite. Y salta a la vista que el resultado en uno y otro caso es diferente.

Tengo una propuesta concreta para mostrar esta situación, pero quería compartir este razonamiento así, en bruto, a ver qué parece.

un saludo!



 
 

[feriva]

A feriva: sí, si... tengo muy claro que una cosa es el símbolo y la representación de una idea y otra distinta la idea, aunque no pocas veces una cosa termina condiciona directamente, y no poco, la otra. Lo que quiero mostrar es que el número 0 y el conjunto vacío expresan la ausencia de entidades, números, valores o elementos empleando, ya no símbolos diferentes, sino concepciones completamente diferente -Tratar estas cosas raras a mi me gusta bastante

Sí que es un poco diferente la concepción en el sentido de que los números (como cantidades o cardinales) van siempre “metidos” como en una caja, y la caja vacía tiene el valor del cero (o sea, no tiene valor). Ese “cero” contenido en todos los conjuntos no hace nada, importa cuántas cosas hay dentro e importa si no hay ninguna; con ello se tienen todos los cardinales, todos los valores de los números incluido el cero. No da un problema especial, da problema, por ejemplo, que un conjunto se pertenezca a sí mismo; sea el vacío o cualquiera, y, como da problemas, pues no se considera o prohíbe esa pertenencia.

También la idea de elemento y conjunto parece no tener mucha relación con los números escritos normalmente, sin embargo, si piensas que en un sistema numérico hay unos números que son las cifras (en base diez o,1,2,3,4,5,6,7,8,9) que por sí solas son cantidades pero que su valor ya no pinta nada cuando están “conjuntadas”, sino que hacen otra función... pues hay una analogía. Luego también en los números, escritos como tales hay una especie de “elementos primarios” que, a la par, no dejan de ser como conjuntos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, pienso lo mismo Luís, por eso me parece una solución inteligente: simplifica o generaliza las cosas. Sin embargo, creo que nos llevaría a una teoría de conjuntos diferentes, con sus ventajas y desventajas.

No creo que tuviera ninguna ventaja (que no sea algo anecdótico); es como de repente empeñarse en eliminar el cero de los números y cada vez que una resta da cero, dar una vuelta de tuerca para decir que en ese caso no puede hacerse la operación o sabe Dios qué.

Sí, en efecto, es lo más sencillo y simple. Sin embargo, la teoría de conjuntos creo que cambiaría. Un ejemplo de ello sobre lo que estamos hablando en el hilo: al partir de la premisa que solo existen conjuntos que tengan elementso, sino hay nada pura y dura entonces no habría conjuntos sin elementos, con lo cual la cardinalidad de cualquier conjunto potencia de \( n \) elementos sería \( 2^n-1 \),

Si. ¿Qué cosa tan molesta y antinatural, no?. 

 

En tal caso, el argumento de Cantor no funcionaría o mostraría lagunas, puesto que dada una \( f \) entonces si B no tuviera elementos no existiría y por ello, no sería ningún elemento del conjunto potencia; no se podría usar para contrastar si todos los elementos de P(A) son imagen de algún elemento de A. Ahora bien, supongo que se podría formular otro teorema diferente que nos llevaría a situaciones diferentes. Quizás... no sé.

Na, simplemente obligaría a dar una pequeño rodeo. Pero no cambia nada. Si \( A \) es infinito, entonces \( P(A) \) es infinito y cualquier conjunto infinito es biyectivo consigo mismo si le quitas un elemento. Entonces si tuvieses una biyección entre \( A \) y su conjunto de partes excluyendo el vacío, también la tendrías metiendo el vacío y se podría aplicar el argumento.

No se como convencerte de que no considerar el vacío como conjunto es una extravagancia.

Sólo apuntaba que me parece curiosos que el cero, como ausencia de valores o elementos, exprese una identidad, con lo cual del 0, cuando expresa el elemento neutro de la suma/resta, puede surgir cualquier número perfectamente bien definido por el principio de identidad mediante separación de opuestos, por así decirlo.

No se que quieres decir con la frase en rojo.

Con razón en aritmética podemos hacer, dada una ecuación tipo: \( x^2+3x=0=124y-124y\Longleftrightarrow{x^2+3x+124y=124y} \).

Sin embargo, diría que del conjunto vacío no podemos generar cualquier conjunto con los elementos que queramos, como bien ocurre con el 0, verdad?

Es no se que se supone que afirmas que ocurre con el cero.

Si tomamos el subconjunto finito de los naturales \( C_1=\left\{{1,2}\right\}  \) y una función \( f \) tal con la que obtengamos el siguiente emparejamiento

\( f: C_1\longrightarrow{P(C_1)} \)

Entonces:

\( f(1)=\emptyset \)
\( f(2)=1 \)

Resulta evidente que \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \). Y salta a la vista que \( B_1 \) existe como elemento de \( P(C_1) \), pero que no es ninguna imagen de \( C_1 \). Por tanto \( CardC_1<CardP(C_1) \), pues el conjunto \( B_1 \) no es ninguna imagen de \( C_1 \), pero existe en \( P(C_1) \).

Lo que podemos hacer ahora es ampliar el conjunto \( C_1 \), para obtener \( C_2=\left\{{1,2,3,4}\right\} \). Su conjunto potencia, \( P(C_2) \), también contiene evidentemente al conjunto \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \). Y entonces establecemos la misma función \( f \) que antes entre \( C_2 \) y \( P(C_2) \) de tal modo:

\( f: C_2\longrightarrow{P(C_2)} \)

\( f(1)=\emptyset \)
\( f(2)=1 \)
\( f(3)=2 \)
\( f(4)=\left\{{1,2}\right\} \)

Con esta ampliación hemos logrado emparejar \( B_1=C_1=\left\{{1,2}\right\} \) con un elemento de \( C_2 \), en concreto con el \( 4:f(4)=\left\{{1,2}\right\} \).

Sin embargo ello nos ha generado un nuevo conjunto \( B_2=C_2=\left\{{1,2,3,4}\right\} \), que no puede emparejarse con ningún elemento de \( C_2 \), demostrando con ello que \( CardC_2<CardP(C_2) \)

Entiendo que por inducción podemos generalizar esta situación:

Si para \( C_n \) tenemos que \( C_n=B_n \), tal que \( \forall{x, x\in{C_n}}, entonces, f(x)\neq B_n \), con lo cual \( CardC_n<CardP(C_n) \), entonces sucede lo mismo para \( C_{n+1} \)

Insisto, hasta aquí estoy completamente de acuerdo. No tengo dudas -si es que lo expuesto es en esencia correcto.

La cuestión es que luego se pueden tomar 2 opciones diferentes.

A) Tomar el razonamiento de Zenón, por ejemplo, que decía si parto una distancia por la mitad, entonces cada mitad que parta me genera una segunda distancia que puedo volver a partir por la mitad, que a su vez me generará otra tercera distancia que se puede partir por la mitad, etc. Conclusión, es imposible alcanzar un punto final en esta partición infinita porque siempre habrá distancias por partir. Y me parece sumamente evidente que Cantor, aquí, toma esta opción: pasa de lo finito a lo infinito tal cual.

No es que Cantor pase a lo infinito. Estamos partiendo del supuesto de que existen conjuntos infinitos, en concreto los naturales. Si pones en cuestión su existencia ya es otro asunto; pero no tiene nada que ver con el Teorema de Cantor.

Si admitimos la existencia de los naturales como conjunto infinito, Cantor no hace esa aproximación "poco a poco" como describes tu; maneja el conjunto de los naturales "de golpe" y el argumento es el que ya se ha explicado por activa y por pasiva en este hilo.

¿Para ti es un problema la existencia del conjunto de los naturales \( \Bbb N \)?

Suponiendo que no lo sea, ¿es un problema la existencia del conjunto de los pares definidos como \( P=\{x\in \Bbb N|x=2n\text{ para algún }n\in \Bbb N\} \)?.

Si no es un problema, pues en el Teorema de Cantor no debería de serlo.

Si es un problema, pues empecemos por ahí. A lo mejor simplemente es que no admites la existencia de conjuntos infinitos.

Saludos.

[ani_pascual]

Sólo apuntaba que me parece curiosos que el cero, como ausencia de valores o elementos, exprese una identidad, con lo cual del 0, cuando expresa el elemento neutro de la suma/resta, puede surgir cualquier número perfectamente bien definido por el principio de identidad mediante separación de opuestos, por así decirlo.

Con razón en aritmética podemos hacer, dada una ecuación tipo: \( x^2+3x=0=124y-124y\Longleftrightarrow{x^2+3x+124y=124y} \).

Sin embargo, diría que del conjunto vacío no podemos generar cualquier conjunto con los elementos que queramos, como bien ocurre con el 0, verdad?

Hola:
No sé si eso que dices que ocurre con el \( 0 \) se puede llamar "capacidad de generar números", pero entiendo que lo mismo ocurre con el conjunto vacío. Por ejemplo, supongamos que \( \left\{\begin{array}{l}A\cap B=\emptyset\\A\cap C=\emptyset\end{array}\right.\Longrightarrow A\cap B=A\cap C\Longrightarrow C\cup(A\cap B)=C\cup(A\cap C)\Longleftrightarrow (C\cup A)\cap (C\cup B)=C \)
¿Te referías a esto?
Saludos

[RDC]

Sólo apuntaba que me parece curiosos que el cero, como ausencia de valores o elementos, exprese una identidad, con lo cual del 0, cuando expresa el elemento neutro de la suma/resta, puede surgir cualquier número perfectamente bien definido por el principio de identidad mediante separación de opuestos, por así decirlo.

Con razón en aritmética podemos hacer, dada una ecuación tipo: \( x^2+3x=0=124y-124y\Longleftrightarrow{x^2+3x+124y=124y} \).

Sin embargo, diría que del conjunto vacío no podemos generar cualquier conjunto con los elementos que queramos, como bien ocurre con el 0, verdad?

Hola:
No sé si eso que dices que ocurre con el \( 0 \) se puede llamar "capacidad de generar números", pero entiendo que lo mismo ocurre con el conjunto vacío. Por ejemplo, supongamos que \( \left\{\begin{array}{l}A\cap B=\emptyset\\A\cap C=\emptyset\end{array}\right.\Longrightarrow A\cap B=A\cap C\Longrightarrow C\cup(A\cap B)=C\cup(A\cap C)\Longleftrightarrow (C\cup A)\cap (C\cup B)=C \)
¿Te referías a esto?
Saludos

Sí, ani-pascual, después de escribirlo lo pensé, que el conjunto \( \emptyset \) no puede generar cualquier elemento de un conjunto cualquiera, pero puede generar cualquier conjuntos porque, a fin de cuentas, expresa todos los conjuntos posibles opuestos entre sí, como también hace el 0 con los números.

Gracias!

Pero en fin, eso solo eran divagaciones mías.

[RDC]

Hola Luís!

Hola

No es que Cantor pase a lo infinito. Estamos partiendo del supuesto de que existen conjuntos infinitos, en concreto los naturales. Si pones en cuestión su existencia ya es otro asunto; pero no tiene nada que ver con el Teorema de Cantor.

 No, no,no; no he puesto en duda la existencia de los conjuntos infinitos, lo que digo es que Cantor trata un conjunto infinito como si fuera un conjunto finito cualquiera (y por tanto como si el conjunto infinito se comportase como un conjunto que tiene un elemento último y final, mediante el cual sacar conclusiones), porque su argumento no distingue unos de otros; me equivoco? ¿El argumento de Cantor distingue conjuntos finitos de infinitos?

Sin embargo, eso me parece sólo una forma de tratar lo infinito, y intento argumentar que habría al menos otra diferente: considerando que los conjuntos infinitos se comportan diferente que los finitos por no tener, precisamente, ningún elemento último.

Si admitimos la existencia de los naturales como conjunto infinito, Cantor no hace esa aproximación "poco a poco" como describes tu; maneja el conjunto de los naturales "de golpe" y el argumento es el que ya se ha explicado por activa y por pasiva en este hilo.

Insisto, aunque igual me equivoque: me parece que Cantor no hace ni tan siquiera eso que comentas, Luís. Trata des de un inicio un conjunto A cualquiera, con lo cual toma este conjunto A cualquiera como finito o infinito indiferentemente, como he comentado justo antes.

Entonces, pretende sacar una conclusión válida para ambos tipos de conjuntos, basada precisamente (pienso), en la suposición de que todo conjunto tiene un elemento último, un tope, una limitación de algún tipo sobre la cual se pueda destacar que uno sea mayor que el otro.

Este tope es: si emparejo todos los elementos de A, aunque éste sea infinito, con elementos de P(A) que no los contenga, entonces A=B. Pero B, que está en P(A), no puede estar emparejado por ningún elemento de A, por tanto podemos decir que P(A) tendrá como mínimo un elemento más que A. Tendrá a B como elemento sin pareja.

Para conjuntos finitos esto resulta obvio, pero ¿cómo podemos confirmar realmente esto si A es infinito y por tanto, no está definido, no está claro que significa "todo el conjunto" al carece de un último elemento, de un tope y un límite? De hecho, ¿cómo podemos representar tal planteamiento al infinito? Quizás a través de "aproximaciones poco a poco", como intenté, por ejemplo, tanto en el comentario anterior como al abrir este hilo. A fin de cuentas,  ¿acaso no se hace precisamente así con los límites o las series infinitas?

En cualquier caso, remarcar que aplicando esta idea no se niega lo infinito, ni mucho menos. Lo que se haría, pienso, es pasar de ver un conjunto infinito como algo finito y por tanto, como una entidad fija, completamente determinada y dada sin más, a verlo como algo dinámico y en proceso siempre continuo. En otras palabras, nos permite, pues, tratar lo finito y lo infinito como entidades con comportamientos muy diferentes. Idea contra la cual estaban todos los logicistas, que pretendían representar lo infinito como si fuera finito.

Pero insisto, aquí no me he inventado nada. Esto se hace de una forma más o menos rudimentaria, en un ámbito u otro, al menos desde Platón y, hoy en día es la base del cálculo. Otra cosa es desarrollar la herramientas precisas para poder usar esta idea de forma efectiva en un ámbito concreto.

un saludo!

 

[Luis Fuentes]

Hola

No, no,no; no he puesto en duda la existencia de los conjuntos infinitos, lo que digo es que Cantor trata un conjunto infinito como si fuera un conjunto finito cualquiera (y por tanto como si el conjunto infinito se comportase como un conjunto que tiene un elemento último y final, mediante el cual sacar conclusiones), porque su argumento no distingue unos de otros; me equivoco? ¿El argumento de Cantor distingue conjuntos finitos de infinitos?

El argumento de Cantor (entendiendo que nos estamos refiriendo al que construye el conjunto \( B \) a partir de un \( f:A\to P(A) \); si te estás refiriendo a otra cosa, e intuyo que si, acláralo) funciona para cualquier conjunto; no es que trate un conjunto infinito como uno finito, es que no es necesario plantearse si estamos trabajando con un conjunto finito o infinito. NO es cierto que trate al conjunto como si tuviese un elemento final e inicial.

Sin embargo, eso me parece sólo una forma de tratar lo infinito, y intento argumentar que habría al menos otra diferente: considerando que los conjuntos infinitos se comportan diferente que los finitos por no tener, precisamente, ningún elemento último.

Insisto: no influye NADA la existencia de elemento último.

Insisto, aunque igual me equivoque: me parece que Cantor no hace ni tan siquiera eso que comentas, Luís. Trata des de un inicio un conjunto A cualquiera, con lo cual toma este conjunto A cualquiera como finito o infinito indiferentemente, como he comentado justo antes.

En eso estoy de acuerdo coge un conjunto \( A \) como finito o infinito de manera indiferente. Pero tu error es que tu interpretas eso como si estuviese dando a los conjuntos infinitos características de finitos; y no. Simplemente para hacer el argumento ni nos preocupamos de la finitud o infinitud de \( A \). No influye.

Este tope es: si emparejo todos los elementos de A, aunque éste sea infinito, con elementos de P(A) que no los contenga, entonces A=B. Pero B, que está en P(A), no puede estar emparejado por ningún elemento de A, por tanto podemos decir que P(A) tendrá como mínimo un elemento más que A. Tendrá a B como elemento sin pareja.

Vuelo a insistirte en que no uses lo de "tener un elemento más" porque terminará por llevarte a confusión. Lo que se prueba es que hay un conjunto \( B\in P(A) \) que no es imagen de ninguno de \( A \).

Para conjuntos finitos esto resulta obvio, pero ¿cómo podemos confirmar realmente esto si A es infinito y por tanto, no está definido, no está claro que significa "todo el conjunto" al carece de un último elemento, de un tope y un límite?

Es que nadie habla de un último elemento. Sólo tu pareces hacerlo. El conjunto \( B \) no es imagen de ningún elemento de \( A \) como consecuencia de su definición.

De hecho, ¿cómo podemos representar tal planteamiento al infinito? Quizás a través de "aproximaciones poco a poco", como intenté, por ejemplo, tanto en el comentario anterior como al abrir este hilo. A fin de cuentas,  ¿acaso no se hace precisamente así con los límites o las series infinitas?

No hay nada de eso.

Saludos.

[RDC]

Propongo lo siguiente:

Cantor muestra como \( card(\Bbb N)= Card(\Bbb Q) \)

Imaginemos que G es un subconjunto infinito de \( \Bbb Q \), tal que podemos emparejarlo con \( \Bbb N \) del siguiente modo:

\( \Bbb N\longrightarrow{G} \)

f(1)=3/2
f(2)=1
f(3)=5/4
f(4)=2
f(5)=11/6
f(6)=11/7
f(7)=11/8
f(8)=3
f(9)=17/10
f(10)=17/11
f(11)=17/12
f(12)=17/13
f(13)=17/14
f(14)=17/15
f(15)=17/16
f(16)=4
...

Por tanto, cada número natural, \( x \), tendría por imagen:

a) Si \( x=2^n \), entonces \( f(x)=n \), siempre que \( n>0 \)

b) si \( x\neq 2^n \) o bien \( x= 2^n, n=0 \), entonces \( f(x)=\displaystyle\frac{p_1}{x+1} \), siendo \( p_i \) el nº primo inmediatamente posterior al siguiente \( x=2^n \).

Visto así parece que \( card(\Bbb N)=Card(G) \). ¿O habría alguna razón para que no lo fuera?

Entonces, en vez de intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \) como hace Cantor, vamos a intentar comprobar si existe una relación biyectiva entre G y \( P(\Bbb N) \).

Y vemos que tenemos el siguiente emparejamiento:

\( f: G\longrightarrow{P(\Bbb N)} \)

\( f(3/2)=\emptyset \)
\( f(1)=\left\{{1}\right\} \)
\( f(5/4)=\left\{{2}\right\} \)
\( f(2)=\left\{{1,2}\right\} \)
\( f(11/6)=\left\{{3}\right\} \)
\( f(11/7)=\left\{{1,3}\right\} \)
\( f(11/8)=\left\{{2,3}\right\} \)
\( f(3)=\left\{{1,2,3}\right\} \)
\( f(17/10)=\left\{{4}\right\} \)
\( f(17/11)=\left\{{1,4}\right\} \)
...
\( f(4)=\left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

Se aprecia que el argumento de Cantor no se puede aplicar aquí pues:

El conjunto B sigue existiendo como un elemento de \( P(\Bbb N) \), en concreto como \( B=\emptyset \). Ahora bien, no se genera ninguna contradicción si \( \emptyset \) es la imagen de un elemento de G, si este elemento no es un número natural, sino un racional.

También se aprecia que para cualquier elemento de \( P(\Bbb N) \) se puede hallar sin problemas una antiimagen en el conjunto G, dado que para cualquier \( x\in{\Bbb N} \), \( \exists{f(x)},f(x)=\left\{{1,2,3...,x}\right\} \) y para \( x+1 \), \( \exists{f(x+1)},f(x+1)=\left\{{1,2,3...,x+1}\right\} \), de manera que entre \( x \) y\(  x+1 \), siempre \( \exists{f(p_i/(x+n)}, f(p_i/(x+n))= \)un elemento de P(A) entre \( \left\{{1,2,3,...,x}\right\} \) y \( \left\{{1,2,3,...,x+1}\right\} \). (no sé si me expresado sin mucha confusión...)

Por tanto, si esto fuera correcto tendríamos que:

\( Card(\Bbb N)=Card(G)=Card(P(\Bbb N)) \)

y por el principio de transitividad podríamos considerar entonces que:

\( Card(\Bbb N)=Card(P(\Bbb N)) \)

Un saludo.