Desconozco si el intercambio termino o si se relaciona directamente con mis criticas. Pero, por si le interesa a alguien criticarlas.
Criticas respecto del teorema de Cantor y su argumento diagonal (2): https://repositoriodeconfusiones-comentarios.blogspot.com.ar/2018/03/cantor-otro-matematico-trasnochado.html#TC
He ido a la web y me cuesta mucho leer lo que ahí se expone.
Lo que he aprendido con este hilo gracias a la paciencia y colaboración de los que aquí han participado:
1) Dado un conjunto A puedo definir cualquier conjunto B como un subconjunto de este, el cual puede ser un conjunto vacío o no. Por ejemplo, a partir del conjunto de los naturales $$\Bbb N$$ puedo definir el conjunto de los números naturales que son irracionales $$Z$$. Este subconjunto $$Z$$ es vacío porque no hay ningún natural irracional.
2) Lo que hace Cantor es definir un conjunto B como subconjunto de A diciendo: "B es el conjunto formado por elementos de A que no son imagen de A".
3) Luego se define el conjunto potencia de A como el conjunto formado por todos los subconjuntos de A, entre los cuales siempre estará B, dado que es un subconjunto de A.
4) Finalmente Cantor dice que resulta imposible establecer una relación biyectiva entre A y el conjunto potencia de A debido al conjunto B que lo impide, obligando que A tenga siempre menso elementos que el conjunto potencia de A.
5) Para conjuntos A finitos el teorema es evidente.
6) Mi duda estaba en los conjuntos infinitos. En concreto si tomamos el conjunto A por el conjunto de los naturales.
7) Si consideramos el conjunto de los infinitos subconjuntos finitos de los naturales, entonces es posible establecer una biyección con todos los números naturales. Pero si introducimos los subconjuntos infinitos de los naturales esto ya no es posible, porque no hay forma de encontrar una función, o una forma de ordenamiento, que relacione un número natural con la serie infinita de subconjuntos de infinitos naturales.
8) Lo que yo he visto es que no hay forma de saber si se puede o no establecer una biyección de este modo, pero como tenemos el teorema de Cantor entonces se considera que no hay biyección posible.
Mis dudas eran:1) Podemos pensar un subconjunto de los naturales compuesto por infinitos números naturales, pero no podemos pensar un número natural con infinito valor (acaso representándolo mediante infinitas cifras). Por ejemplo podemos pensar que el conjunto de los números pares es infinito, porque no hay un número par último, pero no podemos pensar en número par infinito. Esto, sino paradójico, me parece muy raro.
Por qué digo que me parece paradójico?
Porque me parece parejo a tener que defender que el conjunto de los números naturales es incontable, dado que no existe ningún número natural con el cual determinar cuántos elementos tiene el conjunto natural. Es decir, nos lleva a admitir que el conjunto de los naturales es, siempre, mayor que cualquier número natural ¡Y sin embargo son sus propios elementos (los naturales) los que pautan su tamaño! ¿Cómo puede ser esto posible?
Para conjuntos finitos esto no ocurre nunca. El conjunto de los primeros 5 números naturales tiene, precisamente, 5 elementos. Su tamaño viene siempre dado por su último elemento. Pero cuando pasamos al conjunto de todos los naturales esto ya no es así, pues no hay un último elemento con lo cual el conjunto parece ser mayor que cualquier número natural que contenga, aunque sólo contiene los número naturales.
Por eso tenía la intuición de que el teorema de Cantor no se pudiera aplicar a conjuntos infinitos. Pero no sé.
2) Se dice que Cantor descubre diferentes diferentes infinitos, unos mayores que otros. A mi parecer más bien pone de manifiesto diferentes grados de irracionalidad, es decir, de imposibilidad de ordenar números.
Una de las cosas que probé fue la de ordenar los subconjuntos infinitos de los naturales mediante naturales. Para ello intenté buscar la manera de transformar cada uno de los infinitos subconjuntos de infinitos números naturales en un natural. Pero no supe encontrar ningún método o procedimiento para sistematizar un ordenamiento así. Diría que no se puede lograr tal reducción.
Si en vez de naturales usamos irracionales este ordenamiento es fácil empleando notación decimal.
3) Finalmente, si no recuerdo mal, plantee la cuestión de si era lícito considerar que un conjunto como el de los naturales, que no tiene un último elemento (un elemento mayor), es realmente un Todo y por tanto un conjunto. Esta reflexión, comenté, era pareja a la de considerar si un número irracional, como raíz de 2, es un número o un punto concreto.
Es fácil decir que sí, pero parece tener sus problemas porque no se comporta realmente como un Todo típico. Por ejemplo, el conjunto de los naturales no es mayor que sus partes. Hay partes que tienen el mismo tamaño que él, como el subconjunto de los pares, o de los impares o de los primos, etc. Pero como en teoría de conjuntos quitaron esta propiedad (creo que fue Dedekind), entonces no hay problema para admitir conjuntos infinitos.
Ello implica que un conjunto infinito, obviamente no está bien definido como tal, aunque sí lo esté cada uno de sus elementos.
