No sabría decirte. Para mi es lícito llamar genéricamente "argumento diagonal" tanto al que se usa para probar el Teorema de Cantor como el que se usa para probar que los naturales y reales no son biyectivos, porque considero que la idea de fondo es la misma: construir un elemento que se diferencia del enésimo de la lista digamos en una característica que ocupa la posición enésima.
En efecto, la idea de fondo es la misma, pero mi impresión es que RDC entiende otra cosa muy distinta. Lo que le preocupa es cómo se demuestra la existencia del conjunto B y la respuesta es trivial:
Desde el punto de vista de Cantor, la existencia de B era obvia, nada que tuviera que demostrar. Por eso RDC va descarriado cuando se pregunta qué argumento usó Cantor para demostrar la existencia de B. Cantor simplemente consideró el conjunto B como podía haber considerado cualquier otro conjunto que considerara oportuno considerar, sin necesidad de más explicación.
Desde el punto de vista de la teoría de conjuntos moderna, la existencia de B es igualmente obvia, pues es consecuencia del principio de especificación, según el cual, dado un conjunto A, siempre existe el conjunto B formado por los elementos de A que cumplen cualquier propiedad que queramos, en este caso \( x\notin f(x) \).
Pero es de este granito de arena del que RDC hace su montaña, y —a mi juicio— todos los malentendidos de este hilo giran sobre la base de que RDC cree que la existencia del conjunto B requiere una prueba no trivial y, peor aún, que cree que Cantor demostró la existencia de B usando el argumento diagonal.
Tú dices que la idea de fondo es la misma, y es cierto, pero con eso estás equiparando la prueba de Cantor de que \( \mathbb R \) no es numerable con la prueba del teorema de Cantor y, en efecto, la idea es la misma, pero lo que RCD entiende no es que ahí hay una analogía, sino que el argumento diagonal se emplea literalmente, considerando sucesiones, para probar la existencia del conjunto B, y ése es el despropósito central de todo su planteamiento.
Por eso, al leer el hilo, me ha parecido que, mientras lo habitual en otros hilos es que seas certero en tus réplicas atacando los puntos clave de los errores ajenos, aquí estás errando el tiro, apuntando hacia los márgenes y obviando el núcleo del asunto. Por ejemplo, aquí:
Y estos elementos deben poderse representar como cadenas de cifras numéricas infinitas.
No exactamente. Los elementos son subconjuntos de \( \Bbb N \).
Yo diría que la respuesta no es "No exactamente", como si hubiera un pequeño matiz incorrecto en la afirmación de RDC, sino que ahí está justamente el núcleo de su confusión y lo que habría que amplificar con lupa: RDC cree que para demostrar la existencia del conjunto B hace falta representar los elementos de A ¿o de \( \mathcal PA \)? como cadenas infinitas. No es una imprecisión en su argumento, es el agujero central de su argumento.
La demostración del teorema de Cantor prueba que \( \mathcal P\mathcal P\mathbb N \) no puede biyectarse con \( \mathcal P\mathcal P\mathcal P\mathbb N \), pero si RDC entendiera lo que esto significa y fuera coherente con sus creencias, debería concluir que el teorema de Cantor no es aplicable a este caso, porque los elementos de ninguno de los dos conjuntos pueden representarse como cadenas infinitas de un conjunto numerable, que es lo que él cree necesario para justificar la existencia de B (porque no hay tantas cadenas de este tipo como elementos de cualquiera de los dos conjuntos).
En cualquier caso, no es que haya intervenido para decirte cómo tienes que llevar el hilo, sino para sacar a la luz estos puntos que me parece que están demasiado implícitos en toda la discusión cuando habría que poner el foco en ellos.
Que RDC está mezclando unas cosas con otras me queda claro. También (no se si los has leído) las que introduce en dos hilos relacionados con este (1 y 2)
Esos hilos son muy surrealistas, pero son "monotemáticos", así que en ninguno de ellos puede aparecer la falsa relación entre la existencia (obvia) del conjunto B y el uso de la diagonalización como forma (no obvia, falsa, de hecho) de justificarla, que es la idea que me parece que aquí es central.
Si quieres convencer de algo a RDC (lo cual me parece difícil), haría falta empezar —creo yo— por explicarle que el método de la diagonalización de Cantor no interviene para nada en la prueba del teorema de Cantor, por mucho que haya una idea de fondo similar.
Intenté que diferenciase ambas cosas en párrafos como estos. Pero quizá no he sido claro.
En éste (véase el Spoiler):
Aquí interpreto que dice: la idea principal del argumento de la prueba es sencillo, como bien has explicado Luís, y consiste en mostrar que si se se coge un conjunto \( A \) y otro conjunto \( C \) y se van relacionando cada uno de los elementos de \( A \) con uno, y sólo uno de los de \( C \), entonces aparecerán elementos de \( C \) sin emparejar con elementos de \( A \). Hasta aquí ok.
MAL. No. Ojo.
NO es "otro conjunto \( C \) cualquiera" estamos hablando de funciones que van desde \( A \) al CONJUNTO DE PARTES DE \( A \), \( P(A) \) (conjunto de todos los subconjuntos de \( A \)). En otro caso todo esto no aplica. Es como si usas un abrelatas para abrir un bote de cristal: no.
Spoiler
Cierto es que el argumento diagonal se usa también para probar por ejemplo que los naturales no son biyectivos con los reales, o en particular con los números reales del intervalo \( [0,1] \). Aquí puede imitarse la idea tomando un número decimal que difiera en la cifra decimal enésima con el enésimo elemento de la imagen. Pero por ahora creo que es mejor postponer esto. Si no lo ves claro, una vez terminado con la versión del teorema que estás comentando, lo vemos.
Desde luego lo que no es cierto es que el argumento se aplique para cualquier conjunto \( C \). ¡Entonces tendríamos que \( A \) no puede ser biyectivo con ningún conjunto, lo cual es obviamente falso!
y en este otro:
con los elementos de los conjuntos escogidos: el conjunto de las infinitas cadenas de dígitos binarios, el conjunto de los reales, el conjunto potencia de cualquier conjunto numérico infinito, el propio conjunto de los naturales, etc.
Los dos últimos ejemplos del listado están mal; no se puede aplicar en general el proceso de diagonalización. Si quieres realmente clarificar el asunto deberías de:
- Primero centrarte en el caso en el que el conjunto final es el conjunto de partes del inicial. Ver si tienes alguna crítica en ese caso.
- Luego pasar a algún caso particular en el que puede hacerse algo parecido cuando el conjunto final tiene ciertas características. Desde luego no aplica cuando son los naturales ni en general para cualquier conjunto finito.
Sí, claro, todo lo que dices es cierto, como no podría ser de otro modo, pero no incide en la confusión principal de RDC, a saber, que todo el teorema de Cantor se prueba con un argumento abstracto de diagonalización, pero no se usa la diagonalización concreta del argumento diagonal para probar la existencia del conjunto B ni tiene sentido considerar sucesiones para probar la existencia de B, que son los pájaros principales que vuelan por la cabeza de RDC.
Yo aquí estoy con Luis, la demostración de Cantor es exactamente el argumento diagonal, solo que algo disfrazado. No quiero liar mucho más el hilo, que ya está bastante enredado, pero dejo en spoiler la conexión.
Spoiler
Lo primero es observar que un elemento \( X \in P(N) \) es lo mismo que una sucesión de ceros y unos, donde en la posición \( k \)-ésima tenemos un \( 0 \) si \( k \notin X \) y un \( 1 \) si \( k \in X \). A partir de ahora supondré que los elementos de \( P(\Bbb N) \) son sucesiones de ceros y unos y escribiré \( X(k) \) para el elemento \( k \)-ésimo de la sucesión.
Dada una función \( f:\Bbb N \to P(\Bbb N) \), la podemos ver pues como una sucesión de sucesiones de ceros y unos. Es decir, como una lista del siguiente estilo:
\( f(0) : 0 1 0 0 1 0 1 1 \dots \)
\( f(1) : 1 0 1 1 0 0 1 0 \dots \)
\( f(2) : 0 0 0 0 1 1 1 0 \dots \)
\( \vdots \)
Ahora Cantor define el conjunto \( B=\{x \in \Bbb N : x \notin f(x) \} \). Si pensamos \( B \in P(\Bbb N) \) como una sucesión, vemos que \( B \) es la sucesión que cumple \( B(k)=1 \iff f(k)(k)=0 \). Es decir, \( B \) es la sucesión de ceros y unos que se obtiene si tomamos la diagonal de la lista original y cambiamos los ceros por unos y viceversa. Como \( B \) es una sucesión que difiere de cada \( f(k) \) en la posición \( k \)-ésima, \( B \) no puede aparecer en la lista, y por tanto \( f \) no puede ser exhaustiva.
La demostración de Cantor es el argumento diagonal "disfrazado" si lo aplicas al caso concreto de probar que \( \mathbb N \) no es biyectable con \( \mathcal P\mathbb N \), pero desde el principio del hilo RCD deja claro que pretende considerar el argumento general, válido para un conjunto A arbitrario, y ahí hay una analogía, pero no es lo mismo y, lo más grave no es si es o no lo mismo, sino que RDC no piensa en una posible analogía más o menos fiel entre ambos resultados, sino que cree que el argumento diagonal, tal cual, con sus sucesiones infinitas, es una parte del argumento general, concretamente, la que se usa para probar la existencia del conjunto B. RDC cree que la existencia de B (para un conjunto arbitrario dado A) se prueba representando los elementos de A (o de \( \mathcal PA \), qué se yo) como alguna forma de sucesiones numerables, y por es mete sucesiones donde no tiene sentido meterlas en el caso general.
En suma: cuando concedéis que existe una analogía entre los dos argumentos, estáis alimentando la falsa creencia de RDC de que el argumento diagonal, tal cual, con sus sucesiones, es, no una variante de un caso particular del argumento general, sino un paso que se emplea en un punto del argumento general, y ahí es donde, a mi juicio, está la confusión central de este hilo, sin que nadie incida en ella.
Pero es sólo mi opinión. Sólo quería sacar la idea a la superficie. No voy a intervenir más en este hilo en sí (otra cosa es en la metadiscusión con vosotros si creéis que merece la pena, aunque yo creo que los tres lo tenemos todo claro).
