[RDC]

Esta crítica al método de diagonalización de Cantor, con el cual se logró demostrar que el conjunto de números reales mayores que 0 y menores de 1 tiene más elementos que el conjunto de los numerales -y por tanto no es un conjunto numerable-, no pretende negar ipso facto  este procedimiento. La diagonalización es correcta y válida, sin embargo no sería un proceso único ni determinante para definir el tamaño de un conjunto.

Si partimos de las dos siguientes premisas:

1) Existen conjuntos infinitos, como el conjunto de los naturales.
2) W es un subconjunto de los Naturales

Entonces, por las propiedades de W (ver https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124560.0 el post anterior) parece fácil demostrar que todos los números reales mayores de 0 y menores de 1 se pueden emparejar con un único elemento de N, y por ello son numerables. Simplemente basta con apelar o bien a la propiedad espejo de W o bien, a su propiedad de escala; como se prefiera.

R como un conjunto más pequeño que el conjunto de los naturales

A partir de la propiedad espejo de los W, entonces podemos demostrar que \( \forall{r_i}, r_i\exists{R} \), existe una función \( f \) mediante la cual \( \exists{w_i}, w_i\in{W} \) tal que \( f(w_i)=r_i \)

Esta función \( f \) hace lo siguiente:

Para empezar, dado que cualquier número natural finito \( m \) se puede expresar como un \( w_{i^-} \), por la propiedad de la totalidad del conjunto W, entonces \( \forall{r_i}, r_i\in{R} \), éste se puede separar entre su parte de cifras, pc, y su parte de decimales, pd, sean ambas infinitas o no; como en este ejemplo:

\( r_1=25,6545823657489 \) se puede separar en:

Parte de decimales: \( Pd=6545823657489 \)

Parte de cifras: \( Pc=25 \)

Entonces, la función \( f \) hace dos cosas:

1º) Transforma la parte de decimales, pd, en un natural \( w_{i^-} \) mediante la propiedad espejo, de modo que: \( 0,6545823657489\rightarrow{...0000009847563285456} \). Y en este caso se da que \( w_{1^-}=...0000009847563285456=9847563285456=m_1 \)

2º) La función \( f \) aplica la siguiente operación para generar el número \( w_i \) que se emparejará con \left\{{r_i}\right\}:

\( w_i=2^n·3^k·5^g \)

Donde:

- \( n \) valdrá 1 si \( r_i \) es un número positivo. Valdrá 2 si \( r_i \) es un número negativo. valdrá 0 si \( r_i \) es 0.

- \( k=pc \)

- \( g=w_{i^-} \)

 De modo que, el emparejamiento entre \( r_1 \) y un natural \( w_1 \) sería:

\( f(2^1·3^{25}·5^{9847563285456})=25,6545823657489 \)

También se puede generar una función \( h \) capaz de hacer que los conjuntos  \( N,R \) sean equipotenciales y por tanto, tengan los mismos elementos. 

Spoiler

Para generar una función g capaz de emparejar cada elemento de N con un y solo un elemento de R se puede hacer de la siguiente manera, siguiendo el ejemplo anterior de tomar r_1=25,6545823657489

\( r_1=25,6545823657489 \) se puede separar en:

Parte de decimales: Pd=6545823657489

Parte de cifras: Pc=25

Entonces, al función \( g \) hace dos cosas:

1) Transforma la parte de decimales en un natural mediante la propiedad espejo, de modo que: \( 0,6545823657489\rightarrow{9847563285456} \) 

2) Entonces identifica si \( pc-m_i=0 \) \( m_i \) o no.

Si cumple, significa que el número \( pc \) se puede considerar un número finito y entonces la función \( g \) transforma el número \( pc \) en una numeración de números primos. En este caso, puesto que pc=25 la función \( g \) transforma el 25 en el número primo que se encuentra en la 25º posición: \( 97=p_{25} \).

Si no cumple significa que \( pc \) no puede considerarse un número finito, y sólo puede expresarse como un número tan grande queramos, \( w_i \). En tal caso la función \( g \) lo deja igual sin hacer nada.

Y una vez realizadas estas dos transformaciones la función \( g \) aplica la siguiente operación:

\( p_{pc_i}^{w_{(r_i)^-}} \), que en el ejemplo sería: \( 97^{9847563285456} \)

De modo que a través de esta función \( g \), obtenemos:

\( g(97^{9847563285456})=25,6545823657489 \)

[cerrar]

Raíz de 2:\(  \sqrt[ 2]{2} \)

Pongamos el ejemplo de tener que emparejar  raíz de 2 con un natural mediante esta función \( f \) definida antes. Sería así

\(  \sqrt[ 2]{2}=1,414213... =r_1 \)

Tenemos que:

\( pc_1=1 \)
\( pd_1=414213... \)

mediante la propiedad del espejo construimos w_1=...414213

Y aplicamos la operación \( w_i=2^n·3^k·5^g \), con la que obtenemos:

\( w_1=2^1·3^1·5^{...414213} \)

Por consiguiente:
\( f(2^1·3^1·5^{...414213})=\sqrt[ 2]{2} \)

El número real ...3652,365245...

Para emparejar el número real r_1= ...3652,365245... la función \( f \) separa la parte de cifras con la decimal:

pd_1=365245...

pc_1=...3652

Coge su pd y mediante la propiedad espejo obtiene el \( w_{(r_1)^-}=....542563 \)

y ahora la función \( f \) aplica la operación \( w_i=2^n·3^k·5^g \) para obtener:

\( f(2^1·3^{...3652}·5^{....542563})=...3652,365245... \)


Conclusión:

Asumiendo las premisas que se asumen parece factible hallar una función \( f \) capaz de tratar el conjunto de los naturales como si fuera mucho mayor que el conjunto de los reales. Del mismo, modo que es posible hallar una función \( g \) capaz de hacer que el conjunto \( N \) y el conjunto \( R \) sean del mismo tamaño. ¿no resulta interesante esto?

[Luis Fuentes]

Hola

Esta crítica al método de diagonalización de Cantor, con el cual se logró demostrar que el conjunto de números reales mayores que 0 y menores de 1 tiene más elementos que el conjunto de los numerales -y por tanto no es un conjunto numerable-, no pretende negar ipso facto  este procedimiento. La diagonalización es correcta y válida, sin embargo no sería un proceso único ni determinante para definir el tamaño de un conjunto.

Si partimos de las dos siguientes premisas:

1) Existen conjuntos infinitos, como el conjunto de los naturales.
2) W es un subconjunto de los Naturales

Si he entendido bien la descripción de \( W \) que haces aquí:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124560.msg505703#msg505703

Como te he indicado en ese hilo NO es un subconjunto de los naturales.

Saludos.

[RDC]

Voy a poner en este hilo comentarios que se han hecho en el hilo sobre Cantor que hablan sobre la diagonalización a fin de no mezclar, ahí, tantos temas.

Hilo de Cantor: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124559.0

A feriva, que comentó:

Spoiler

Eso se llega a entender perfectamente cuando ya sabes que la construcción del conjunto B no responde más que al hecho que se puede definir ese conjunto B por el axioma de especificación, como bien indicas.  Yo eso no los sabía y realmente es lo que me choca des del principio del hilo y me ha llevado a tales confusiones como señalas: ¿realmente tengo que asumir la existencia de un subconjunto A con propiedades cualquiera simplemente porque lo puedo definir?

Gracias!

Por cierto, otra cosa que me gustaría aclarar: 

Lo que he negado es que el conjunto B dependa directamente de establecer una relación biyectiva entre A y P(A), como se me comentó, o me pareció que se me comentaba. Pero siempre he tenido muy claro que es un conjunto que se define, precisamente, afirmando que la \( f \) entre A y P(A)

Parece que todavía tienes un poco de confusión.

Te lo había explicado Luis por ahí.

\( N=\{1,2,3,...\} \)

\( f(N)=\{12,27\},\{1,3\},\{3\},\{1,2,3,4\}... \)

Entonces

\( 1\rightarrow f(1)=\{12,27,2\}... \)

\( 2\rightarrow f(2)=\{1,3\}... \)

\( 3\rightarrow f(3)=\{3\}... \)

...

Como 1 no está en f(1) lo ponemos

\( B(1)=1 \)

Como 2 no está en f(2) lo ponemos

\( B(2)=2 \)

Como 3 sí está en f(3) ponemos otro

\( B(3)=1 \)

etc.

Entonces, B sería.

\( B=\{1,2,1...\} \)

Es distinto del primero, esto es, distinto de f(1), porque tiene el 1; distinto del segundo porque tiene el 2; distinto del tercero porque no tiene el 3...

(bueno, me he liado en el ejemplo; la cuestión será que si tiene el 1, además tenga más elementos que los otros que tienen el 1 y así; para que sean todos distintos. No sé, la verdad es que no estoy seguro; la cuestión es que difiera de los otros en algún elemento)

O sea, “N” (ó “A”), es el conjunto de los naturales o un subconjunto de naturales (que siempre podemos elegir ordenado y lo hacemos, porque para qué complicarnos la vida); y el subconjunto de partes es f(N) (ó f(A)).

A partir de lo cual f (N) es un subconjunto del conjunto de partes de N. Y nos hacemos la pregunta, ¿ese subconjunto será igual a P(N), o sea, estará completo?

Y a partir de ahí se deduce (es deducción más que definición) la existencia de un conjunto B que no está en f(N) pero sí, por definición, en P(N). Luego f(N) no está completo; por tanto, ya de manera obvia, N no se puede biyectar con P(N).

O sea, en principio hay tres conjuntos, N, f(N), P(N), que pueden quedarse reducidos a dos conjuntos si f(N)=P(N) que es el caso en el que existiría biyección. En todo caso, f(N) y p(N) son conjuntos de conjuntos hechos con los elementos de N, mientras que N es el conjunto de los elementos “sueltos” de esos otros. Por último, en la demostración se deduce la existencia de un tercer conjunto, B, el cual es un elemento de P(N) pero no de f(N)

...

Si te interesa en concreto el asunto de no poder biyectar los naturales con los reales, entonces sí es útil para organizarse el método de la diagonal de la matriz (pero se podrían cambiar otras cifras con tal de deducir uno que no estuviera el subconjunto). Es útil porque tenemos 1º fila, 2º fila... y ese es el conjunto de origen, el conjunto N, los naturales asignados a los números que ocupan las filas. Y como en una matriz cuadrada la diagonal tiene tantos elementos como las filas (tantas cifras)... pues está fácil cambiar cifras sin liarse.

Saludos.

[cerrar]

En principio, según he terminado entendiendo, tenemos que el conjunto B existe por definición dado un A cualquiera y una \( f \) cualquiera entre A y P(A). Ahora bien, según sea esta función \( f \) el conjunto B tendrá unos elementos u otros. Por tanto, entiendo, si no que se me corrija, que entre A y P(A) se pueden generar tantos tipos concretos de conjuntos B como funciones diferentes se puedan establecer entre ambos.

Entiendo que la diagonalización de Cantor sólo sería una forma de establecer una función concreta entre A y P(A), y no siempre viable.

Entonces el conjunto B está formado por elementos de A cuyos elementos no pertenecen a una imagen de A. Si tomamos el conjunto N y su P(N) podemos establecer muchas relaciones entre ambos, quizás infinitas diferentes, y en cada una de ellas su conjunto B contendrá diferentes elementos según sea la función concreta que los relacione.

Miremos el ejemplo que has puesto, Feriva:

 \( N=\{1,2,3,...\} \)

\( f(N)=\{12,27\},\{1,3\},\{3\},\{1,2,3,4\}... \)

Entonces

\( 1\rightarrow f(1)=\{12,27,2\}... \)

\( 2\rightarrow f(2)=\{1,3\}... \)

\( 3\rightarrow f(3)=\{3\}... \)

...

Como 1 no está en f(1) lo ponemos

\( B(1)=1 \)

Como 2 no está en f(2) lo ponemos

\( B(2)=2 \)

Como 3 sí está en f(3) ponemos otro

\( B(3)=1 \)

etc.

Entonces, B sería.

\( B=\{1,2,1...\} \)

Si no lo he entendido mal, este no puede ser el conjunto B de esta función definida entre ambos conjuntos, porque contiene números que pertenecen a alguna imagen precisamente de N.

por ejemplo el \( 1\in{f(2)} \), es decir el 1 pertenece a la imagen de \( f(2) \)
 
Luís me propuso un ejemplo que hiciese para detectar si lo he entendido. Voy hacerlo en el próximo post y a ver qué.



 

[RDC]

Luís me propuso  un ejercicio para contrastar si comprendía la construcción de B dada una relación entre N y P(N):

Te dejo otro ejempo/ejercicio para que lo hagas tu y te ayude a entender la cuestión. Definimos  la función:

\( f:\Bbb B\to P(\Bbb N) \) quieres decir \( \Bbb N\to P(\Bbb N) \)?

\( f(n)=\{m|m\text{ es par y múltiplo de }n\} \)

Por ejemplo la imagen de los primeros elementos es:

\( f(1)=\{2,4,6,8,\ldots\}  \)
\( f(2)=\{2,4,6,8,\ldots\} \)
\( f(3)=\{6,12,18,24,\ldots\} \)
\( f(4)=\{4,8,12,16,\ldots\}
 \)
\( f(5)=\{10,20,30,40,\dots\} \)

¿Cuál sería en este caso el conjunto \( B=\{x\in \Bbb N|x\not\in f(x)\} \)?

Saludos.


Bien, mi respuesta es que B es el conjunto de los números impares, porque es un subconjunto de A cuyos elementos jamás pertenecerán a una imagen de A por la función aquí definida.



 

[RDC]

Geeómetrecat comentó en el hilo de Cantor lo siguiente:

Yo aquí estoy con Luis, la demostración de Cantor es exactamente el argumento diagonal, solo que algo disfrazado. No quiero liar mucho más el hilo, que ya está bastante enredado, pero dejo en spoiler la conexión.

Spoiler

Lo primero es observar que un elemento \( X \in P(N) \) es lo mismo que una sucesión de ceros y unos, donde en la posición \( k \)-ésima tenemos un \( 0 \) si \( k \notin X \) y un \( 1 \) si \( k \in X \). A partir de ahora supondré que los elementos de \( P(\Bbb N) \) son sucesiones de ceros y unos y escribiré \( X(k) \) para el elemento \( k \)-ésimo de la sucesión.

Dada una función \( f:\Bbb N \to P(\Bbb N) \), la podemos ver pues como una sucesión de sucesiones de ceros y unos. Es decir, como una lista del siguiente estilo:
\( f(0) : 0 1 0 0 1 0 1 1 \dots \)
\( f(1) : 1 0 1 1 0 0 1 0 \dots \)
\( f(2) : 0 0 0 0 1 1 1 0 \dots \)
\( \vdots \)

Ahora Cantor define el conjunto \( B=\{x \in \Bbb N : x \notin f(x) \} \). Si pensamos \( B \in P(\Bbb N) \) como una sucesión, vemos que \( B \) es la sucesión que cumple \( B(k)=1 \iff f(k)(k)=0 \). Es decir, \( B \) es la sucesión de ceros y unos que se obtiene si tomamos la diagonal de la lista original y cambiamos los ceros por unos y viceversa. Como \( B \) es una sucesión que difiere de cada \( f(k) \) en la posición \( k \)-ésima, \( B \) no puede aparecer en la lista, y por tanto \( f \) no puede ser exhaustiva.

[cerrar]

En realidad es lo quería explicar en el hilo de Cantor a partir de página 2. Seguramente lo explicara muy mal. Sin embargo, entiendo que quizás, como muestra Luís con el ejemplo que nos ha puesto, no es necesario establecer una diagonalización para definir una función que concrete los elementos de B.

Ahora bien, ¿una función como la que nos proponía antes Luís, acaso demuestra realmente que el conjunto N es de menor tamaño que su P(N)? ¿Ese ejemplo demostraba, acaso, que es imposible hallar una función según la cual no haya elementos de N que no pertenezcan a una imagen de A?

¿Y apelar a una diagonalización, al estilo que aquí nos propone geométrecat, ya sí demuestra realmente que no es posible, jamás, una función biyectiva entre N y P(N)? O sólo lo demuestra en ese caso particular?

[RDC]

Sobre el comentario anterior que hizo geómetrecat tengo un par de dudas que me gustaría apuntar. A ver qué os parecen:

Podemos traducir a dígitos binarios cualquier número, y por tanto también podemos traducir los propios naturales a cadenas de dígitos binarios; tal y como hace geométrecat con los elementos de P(N).

Entonces, podemos listar estas cadenas de dígitos binarios que representan números naturales empleando una diagonalización como la que define geómetrecat.

Duda 1º: ¿Genera esta diagonalización un conjunto B determinado, como ocurre en el caso expuesto por geómetrecat, demostrando con ello que el conjunto de números naturales representados mediante cadenas de dígitos binarios es mayor que el conjunto de los naturales representados ordinariamente?

Duda 2º: Informáticamente todo se puede representar mediante cadenas de dígitos binarios, dado que se trata como información; ¿me equivoco? Significa eso que cualquier P(A) puede representarse, también, mediante cadenas de dígitos binarios, al ser pura información, y aplicarle una diagonalización?

[feriva]

En principio, según he terminado entendiendo, tenemos que el conjunto B existe por definición dado un A cualquiera y una \( f \) cualquiera entre A y P(A). Ahora bien, según sea esta función \( f \) el conjunto B tendrá unos elementos u otros. Por tanto, entiendo, si no que se me corrija, que entre A y P(A) se pueden generar tantos tipos concretos de conjuntos B como funciones diferentes se puedan establecer entre ambos.

Sí, B existe por definición, pero porque existe P(N) y sus elementos, sin embargo, la correspondencia se va haciendo de N a f(N) que no sabemos todavía (hasta que se pruebe) si es igual a P(N); por tanto, si fuera f(N)=P(N) entonces B estaría en el conjunto, pero si pasara eso, no sería el elemento B, porque el elemento B del que habla la demostración no pertence a f(N).

Lo que ocurre es que se prueba que siempre existe ese B fuera de f(N).

*(Se prueba porque se puede encontrar que B tenga un elemento distinto de cada conjunto de f(N); que son los elementos f(1), f(2), etc. Es decir, podemos omitir “comernos el coco” con la metodología para hacer eso, pues se puede hacer siempre (como se ve el ejemplo de los números con la diagonal) es metodológico. En lo del método para el conjunto de partes no me hagas caso, que no sé bien cómo es todavía, me falta comprender algo) .

Saludos.

[feriva]

Luís me propuso  un ejercicio para contrastar si comprendía la construcción de B dada una relación entre N y P(N):

Te dejo otro ejempo/ejercicio para que lo hagas tu y te ayude a entender la cuestión. Definimos  la función:

\( f:\Bbb B\to P(\Bbb N) \) quieres decir \( \Bbb N\to P(\Bbb N) \)?

\( f(n)=\{m|m\text{ es par y múltiplo de }n\} \)

Por ejemplo la imagen de los primeros elementos es:

\( f(1)=\{2,4,6,8,\ldots\}  \)
\( f(2)=\{2,4,6,8,\ldots\} \)
\( f(3)=\{6,12,18,24,\ldots\} \)
\( f(4)=\{4,8,12,16,\ldots\}
 \)
\( f(5)=\{10,20,30,40,\dots\} \)

¿Cuál sería en este caso el conjunto \( B=\{x\in \Bbb N|x\not\in f(x)\} \)?

Saludos.


Bien, mi respuesta es que B es el conjunto de los números impares, porque es un subconjunto de A cuyos elementos jamás pertenecerán a una imagen de A por la función aquí definida.

Ah, creo que ya se qué es lo que hacía mal. El conjunto sería (si no me sigo equivocando) {1,3,5} (hasta donde se ve).
Lo que hacía mal en el ejemplo que puse era cambiar, no hay que cambiar por nada, cuando no entra ninguno, no entra.

Saludos.

[feriva]

Contesto a esto que le preguntas a goemetracat, porque tiene que ver con la cuestión que discutíamos también (ya contestará si él por su parte si tiene algo que añadir).

Ahora bien, ¿una función como la que nos proponía antes Luis, acaso demuestra realmente que el conjunto N es de menor tamaño que su P(N)? ¿Ese ejemplo demostraba, acaso, que es imposible hallar una función según la cual no haya elementos de N que no pertenezcan a una imagen de A?

¿Y apelar a una diagonalización, al estilo que aquí nos propone geométrecat, ya sí demuestra realmente que no es posible, jamás, una función biyectiva entre N y P(N)? O sólo lo demuestra en ese caso particular?

Sí, la función que propone Luis implica lo mismo que la diagonal con números, lo que ocurre es que es más económica.

En la diagonal con números los conjuntos tiene subelementos con orden, son elementos de una matriz; pongo una finita

\( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \)

En cada línea hay las cifras de un número de tres cifras identificando cada una por la letra “a” con unos subíndices que indican el número de fila en que están (primer subíndice) y el número columna (segundo subíndice).

En este caso no son partes de un conjunto al uso (está relacionado) aquí hay lugares que vienen dados, tanto para columnas como para filas, por los números naturales ordenados. Y, como ya se ha visto, intercambiando las cifras de la diagonal cambian por otras y así podemos formar otra fila más (pues también hay 3 cifras en la diagonal) que es distinta a las tres que hay.

Sin embargo, los elementos de un conjunto no guardan orden, el mismo conjunto es {1,2} que {2,1}, son combinaciones, no variaciones.

Por tanto, aquí la estrategia no puede ser la misma. De momento, no hay cifras no significativas que nos ayuden a crear una matriz cuadrada con el número de las cifras que sea, como pasaba antes. Entonces, en vez del intercambio lo que se usa es la omisión cuando un elemento está y la inclusión cuando no está. De esta manera, el conjunto será distinto a todos los demás, porque si tienen un elemento, no lo tiene el otro, o si el otro tiene un elemento, no lo tiene el que se ha confeccionado.

En todo caso, una función, en sentido moderno. no es sólo una “ley” para corresponder los elementos, los propios conjunto correspondidos forman parte de lo que se llama función; entonces tienes N y f(N). Donde \( f(N)\subset p(N) \). Se busca demostrar si ocurre \( p(N)\subset f(N) \), en cuyo caso serían el mismo el mismo conjunto, o si no ocurre.

·Pase lo que pase, antes de demostrar nada, sabemos que \( f(N)\subset p(N) \), porque sólo formamos partes de N, no correspondemos los N con otra cosa. Y lo vamos haciendo hasta el infinito, queriendo decir que tomamos un cardinal finito de enes cada vez más grande, tan grande como se quiera y sin terminar el viaje. Independiente de esto, por muy grande que sea, lo que propone Luis se podrá hacer siempre; y eso implica \( card(f(N))<card(p(N)) \), porque, como poco, tienen un elemento menos; el que hemos deducido. Pero como no paramos de corresponder números naturales 1,2,3... con f(N), no hay fin y entonces \( card(f(N))=card(N) \). Luego por lo que teníamos antes, esto \( card(f(N))<card(p(N)) \), implica \( card((N))<card(p(N)) \).

Saludos.

[feriva]

Hola, RDC. Traigo también este comentario del otro hilo (hilo en el que hablas de tu conjunto W y comentario en respuesta a Luis)

pienso que los conjuntos, o más en general, los objetos infinitos (series infinitas, números irracionales, etc) parecen comportarse como entidades ambivalentes o líquidas: pueden ser y no pueden ser idénticos a sí mismos; por ejemplo, la serie 1-1+1-1+1-1+1...1-1+1-... es idéntica a sí misma? Tendrá, pues, una entidad propia? Creo que no, por lo tanto puede adquirir varias según como se trate: y se puede tratar mediante sumas parciales (y te da un resultado de identidad), o una suma de Césaro (y te da otro resultado de identidad), etc. ¿Cuál es el verdadero? Pues depende.

Es que la palabra “verdadero” tal vez no sea muy apropiada (aunque se use) quizá sea mejor decir “correcto”; correcto a tenor de las definiciones usuales. Un ejemplo: sea un balón blanco por fuera pero que tiene la cámara de color negro (el cuero blanco y la goma negra). Si alguien dice que el balón es negro, como lo normal no es definirlo así, dará lugar a malentendidos en la comunicación con otras personas; lo que podría ser parecido a las inconsistencias en matemáticas. Sin embargo, si uno dice a lo que se refiere, no dará lugar a malentendidos (después, podrá tener utilidad o no eso que dice). Con la serie de Grandi ocurre algo similar, lo correcto es entender que no tiene límite o que tiene un “límite” oscilante, porque es lo que es consistente con las definiciones que hay. Si consideras que es 1/2 resolviendo de la otra manera, no va a ser coherente con muchos cosas del análisis matemático. De forma parecida, si divides por cero, puedes obtener resultados contradictorios, pero esos resultados no son mentiras en sí, serán falsos con arreglo a un sistema axiómatico y no tendrá utilidad el hacerlo (o a lo mejor sí para alguna cosa en particular).

En cuanto a Cantor, no creo que pretendiera racionalizar el infinito ni nada de eso. Era un profesional de las matemáticas y como tal se planteaba problemas y cuestiones relacionadas con los números. Y se encontró con ese resultado; el cual propuso y no fue bien aceptado por otros matemáticos en su momento.

Yo mismo, como aficionado que soy, discutí esto en el foro hace ya bastantes años (como todos). Es algo a lo que hay que acostumbrarse, al principio no “gusta”, como decían en el anuncio de la tónica (a mí la tónica me sigue sin gustar demasiado) pero con el tiempo se comprende que es una idea sensata; y también podrá haber otras que no dejen de serlo, una cosa no tiene por qué quitar otra.

Cuando uno entra el foro en calidad de aficionado, como es mi caso, hay muchas cosas que no sabe (aunque haya estudiado algo; pues sí me paseé por la facultad de físicas, para desgatar el suelo). Por ejemplo, entre otras cosas más, yo nunca había reparado en que los naturales no podían tener infinitas cifras (me lo dijo Carlos) y, sin embargo, sí me había planteado años antes que los números infinitos no podían ser pares ni impares. Ello me llevaba a pensar que había aspectos en las matemáticas que no estaban aclaro; pero sí lo estaban, era yo el que no me había enterado. Una vez que uno, poco a poco y a fuerza de comentar muchas tonterías, se va enterando de cómo se define esto y lo otro gracias a las correcciones que le hacen aquí, todo va cobrando cobrando sentido. Llega un momento en que cosas como ésta de Cantor resultan naturales, se asumen muy bien; pero también hay otras muchas cuestiones matemáticas que, por falta de estudio y reflexión sobre ellas, no se pueden asimilar; sobre todo por falta de estudio, porque hay que conocer métodos y practicar, si no, a veces, es muy difícil entender la teoría.

Saludos.