[ani_pascual]

estamos suponiendo que \( f \) es biyectiva, existe \( \textcolor{red}{C\subseteq A} \) tal que \( f(C)=B \). Ahora bien, si \( C \in B \) entonces \( C \notin f(C)=B \), contradicción. Y si \( C \notin B=f(C) \), entonces por la definición de \( B \) deberíamos tener \( C \in B \), contradicción de nuevo. En cualquier caso llegamos a una contradicción, lo que quiere decir que nuestra hipótesis inicial (la existencia de una función \( f \) biyectiva) era falsa.

Hola:
Me parece que lo que está marcado en rojo en la cita es una errata; ¿no debería ser \( C\in A \)?
Por cierto, me ha parecido muy esclarecedor tu primer aporte de este hilo, en el que explicas con ejemplos que el conjunto \( B_f \) depende de la aplicación \( f:A\longrightarrow{\cal P}(A) \) 

[geómetracat]

Hola:
Me parece que lo que está marcado en rojo en la cita es una errata; ¿no debería ser \( C\in A \)?
Por cierto, me ha parecido muy esclarecedor tu primer aporte de este hilo, en el que explicas con ejemplos que el conjunto \( B_f \) depende de la aplicación \( f:A\longrightarrow{\cal P}(A) \) 

Muchas gracias. Efectivamente es una errata, ahora la corrijo.

[RDC]

Gracias por contestar geómetrecat y si otro día te apetece hablar de estos temas (que de hecho parece que coincidimos) nos vemos por aquí.

Sin embargo, sí que contestaré a este comentario, porque te agradezco que contestaras de donde surge el conjunte B y como se justifica su existencia.

Confieso que mis dudas persisten. razones:

-Comentas que lo que hace Cantor es definir una función \( f \) biyectiva y de ella deducir la existencia de un subconjunto de A, que es B, cuya peculiaridad es que sus elementos no pueden pertenecer a una imagen de A. En otras palabras, dices "para definir el conjunto B primero debes tener una función \( f:A\longrightarrow{P(A)} \), y dependiendo de la función que uses obtendrás un conjunto u otro".

Me leía ahora, y no lo había hecho antes porque me da palo leer en inglés, la explicación que dan en el wikipedia en inglés https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor%27s_theoremy supongo, entonces, que esa explicación estará mal porque, a vuelapluma me parece que lo interpretan en gran medida del mismo modo que lo expongo. De googletraductor paso un fragmento:

Spoiler

Otra forma de pensar en la prueba es que B, sea vacío o no vacío, siempre está en el conjunto potencia de A. Para que f sea sobreyectiva, algún elemento de A debe corresponder a B. Pero eso lleva a una contradicción: ningún elemento de B puede asignarse a B porque eso contradeciría el criterio de membresía en B, por lo tanto, el elemento que se asigna a B no debe ser un elemento de B, lo que significa que satisface el criterio de membresía en B, otra contradicción. Entonces, la suposición de que un elemento de A se asigna a B debe ser falsa; y f no puede ser sobreyectiva.

Me parece, pues, que tal y como lo plantean se basan en una falacia de petición de principio.

[cerrar]

Pero es cierto, lo que me choca o no entiendo, efectivamente, es que si partimos de la suposición de que \( f \) es biyectiva entonces se afirme que por eso mismo existen elementos en \( P(A) \) cuyos elementos no puedan pertenecer a una imagen de \( A \). ¿Qué razón justifica que este conjunto exista suponiendo una función biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \)? Si esto se pudiera explicar mejor, sería de agradecer.

Quizás no me expliqué demasiado bien, pero lo que quería decir es que la función \( f \) es previa al conjunto \( B \), y el conjunto \( B \) definido depende de \( f \).

Cantor no define una función \( f \) exhaustiva (eso es imposible), sino que razona por reducción al absurdo, que es una forma de razonar en matemáticas que te dice que si supones no \( A \) y a partir de ahí llegas a una contradicción, entonces has demostrado \( A \).

En resumen, el argumento es el siguiente:
1. Quiero demostrar que no existe ninguna función \( f:A\to P(A) \) biyectiva.


2. Procedo por reducción al absurdo, de forma que supongo que existe una función biyectiva \( f:A \to P(A) \), y voy a ver que llegamos a una contradicción. A partir de ahora ya tenemos  a nuestra disposición una función \( f \) (la supuesta función biyectiva).

3. Defino el conjunto \( B:=\{ x \in A | x\notin f(x)\} \). Como estamos suponiendo que existe \( f \), este conjunto existe debido al axioma de separación de ZFC, que afirma aque dado un conjunto \( A \) y una fórmula de lógica de primer orden \( \phi(x) \), existe el conjunto de los elementos de \( A \) que satisfacen dicha fórmula: \( \{x\in A | \phi(x)\} \). Esto se aplica a \( \phi(x):= x\notin f(x) \), en nuestro caso.

4. Ahora llegamos a una contradicción usando \( B \). Como \( B \) es un subconjunto de \( A \), y estamos suponiendo que \( f \) es biyectiva, existe \( C\subseteq A \) tal que \( f(C)=B \). Ahora bien, si \( C \in B \) entonces \( C \notin f(C)=B \), contradicción. Y si \( C \notin B=f(C) \), entonces por la definición de \( B \) deberíamos tener \( C \in B \), contradicción de nuevo. En cualquier caso llegamos a una contradicción, lo que quiere decir que nuestra hipótesis inicial (la existencia de una función \( f \) biyectiva) era falsa.

Ese es el argumento, y básicamente lo que se usa es la reducción al absurdo y el axioma de separación (para obtener la existencia de \( B \) a partir de \( f \)).

En todo caso, lo que propongo no es que lo que dice Cantor este mal, a secas, aunque aquí haya señalado que me parece que tira de una petición de principio para generalizar la idea de que los conjuntos infinitos son de por sí mayores o menores unos de otros, sino que la clasificación de tamaños que hace Cantor sólo es una opción. Quizás en el 3 post que he colgado hoy, sobre la "crítica a la diagonalización de Cantor", se entienda mejor que mediante funciones características igual se podría modular o configurar un "tamaño" u otro para los conjuntos infinitos, porque por sí mismos no tendrían tamaño al ser, precisamente, infinitos.

A ver, lo que dice Cantor es lo que hay si asumes los axiomas habituales para la teoría de conjuntos, eso está fuera de toda duda. Es decir, en ZFC (la axiomática más habitual para una teoría de conjuntos), hay cardinales más grandes que otros y no hay nada que hacer. Otra cosa totalmente distinta es que no puedas desarrollar otras teorías de conjuntos alternativas donde eso no sea cierto, pero eso ya es otra cuestión.

Los otros hilos me los miré muy en diagonal (nunca mejor dicho  ), pero tienes que ser consciente de que lo que haces ahí tiene bien poco que ver con lo de Cantor, porque empiezas a definir un conjunto de "naturales" llamado \( W \) que son "naturales tan grandes como queramos", etc. Pero tienes que entender que esos no son los naturales habituales de teoría de conjuntos, sino otra cosa totalmente distinta (que puede tener una motivación en los naturales grandes y todo lo que tú quieras, pero esos elementos no son naturales como se entienden habitualmente los naturales, digamos en ZFC). Si llamas naturales a cosas que no son los naturales de verdad, por supuesto que puedes llegar a otras cosas.

El segundo punto ya lo ha contestado perfectamente ani_pascual. En el conjunto \( \bigcup_n P(C_n) \) tienes como elementos exactamente los que son elementos de algún conjunto \( P(C_n) \) para \( n\in \Bbb N \).

Ahora bien, si bien es cierto que todos los conjuntos finitos de pares aparecen en algún \( P(C_n) \), el conjunto infinito de todos los pares no aparece en ningún \( P(C_n) \), y por lo tanto tampoco en \( \bigcup_n P(C_n) \). Pero sin embargo sí que es un elemento de \( P(\Bbb N) \) porque es un subconjunto de los naturales.

Dices que el conjunto B existe debido a los axiomas ZFC. Ya, pero es que estos axiomas se establecieron a posteriori precisamente para justificar, entre otras cosas, la existencia de un conjunto como B sin que eso fuera problemático. De hecho, tales axiomas son un traje a medida a la propuesta de Cantor para que no se le viesen las costuras ala teoría de conjuntos. 

Lo que me interesa es cómo Cantor justificó la existencia de este subconjunto, y veo que apeló al método de diagonalización -ya no me acordaba.

Entiendo que el método de diagonalización de Cantor es una forma de establecer una relación de emparejamiento entre los elementos de dos conjuntos, AO (origen) y AD(destino), donde una de las premisas es que con él es posible crear elementos mediante diagonalización. Y estos elementos creados tienen la peculiaridad de que no pueden ser una imagen de AO. Por tanto, basta con mirar si este elemento pertenece a AD o no. Si pertenece a AD ello significa que AD tiene más elementos que AO; al menos uno más -precisamente este elemento creado mediante diagonalización.

Lo que hace Cantor, pues, es tomar todos los elementos de N, y los elementos de P(N), y considera que serán del mismo tamaño. De mientras aplica la diagonalización, es decir, afirma la existencia del conjunto B -el conjunto de los elementos generados por la diagonal. Entonces, como había considerado que N y P(N) son del mismo tamaño eso choca con la existencia del conjunto B

Diagonalización de Cantor:

Spoiler

se puede establecer un emparejamiento de este estilo entre elementos de\(  N \) y de \( p(N) \) para generar la diagonal:

\( 1\rightarrow{\left\{{1}\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{{1,2}\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{{1,2,3}\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{{1,2,3,4}\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{{1,2,3,4,5}\right\}} \)

Entonces en la diagonal obtenemos el conjunto \( E=\left\{{1,2,3,4,5}\right\} \), que precisamente es imagen del número 5. Pero entonces a cada elemento de E le sumamos 5, y obtenemos \( E_5=\left\{{6,7,8,9,10}\right\} \).

Tenemos que \( E_5 \) es un elemento de \( P(N) \), al ser un conjunto ordenado de números naturales. Sin embargo, no tiene imagen.

Para comprobar que \( E_5 \) tiene imagen abría que ampliar los elementos de N hasta llegar a 10, pero entonces se generaría un nuevo elemento a través de la diagonalización que, siendo un conjunto de número naturales y por tanto un elemento de P(N), no es imagen de ningún número natural.  Llegado aquí, parece ser, Cantor concluye que siempre habrán elementos de \( P(N) \) que no pueden ser imagen de N, con lo cual B existe, hecho que entra en contradicción con la suposición de que \( N y P(N) \) tienen los mismos elementos.

[cerrar]

Viendo lo de la diagonalización como argumento para justificar que B existe, entiendo -y quizás me equivoco- que este B no surge como comentabas: de suponer que \( f \) entre \( N \) y \( P(N) \) sea biyectiva, sino porque Cantor entiende que entre \( N \) y \( P(A) \) se puede aplicar una diagonalización independientemente del tamaño de ambos. Y es con esta diagonalización que surgirá un conjunto B, que en este caso particular se define como \( B=\left\{{x\in{N}, x\not\in}f(cx)\right\}\subseteq{N}  \).

Ya luego supone que \( N \) y \( P(N) \) son equipotentes, para, entonces, destacar que ambas premisas se contradicen: si B existe entonces hay elementos de \( P(N) \) que no pueden ser imagen de N, por lo tanto \( \left |{N}\right |<\left |{P(N)}\right | \). Y si \( \left |{N}\right |=\left |{P(N)}\right | \) entonces B no existe. Pero como B existe porque la diagonalización se considera siempre posible entre N y P(N), entonces la conclusión es que \( \left |{N}\right |<\left |{P(N)}\right | \)

Hecho que me da por pensar: ¿Siempre que se aplique el método de diagonalización entre los elementos de 2 conjuntos infinitos aparecerán elementos sin imagen porque, a fin de cuentas,  es lo que permite el método de diagonalización?

Por ejemplo:

Spoiler

Comparemos N y N mismo:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{12\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{123\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{1234\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{12345\right\}} \)

En la diagonal obtenemos n=12345, que es imagen de 5. Entonces le sumamos 5 a cada cifra y obtenemos \( n_5 \)=67890. Y lo que tenemos es muy raro, porque es un número natural pero que de momento no es imagen de ningún número natural. ¿Cómo se interpreta esto? 

O comparemos ahora IP (conjunto de los impares) con N:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{13\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{135\right\}} \)
\( 7\rightarrow{\left\{1357\right\}} \)
\( 9\rightarrow{\left\{13579\right\}} \)

En la diagonal obtenemos \( ip=13579 \), que es imagen del 9. Luego le sumamos 9 a cada cifra y obtenemos \( ip_9 \)=102468 el cual es un elemento de N, pero jamás podrá ser una imagen de ip. ¿Con la diagonalización se demostraría que el conjunto infinito de los impares es de un tamaño menor que el de los naturales?

[cerrar]

Por tanto, cuando decía lo de petición de principio era porque entiendo que la diagonalización de elementos de conjuntos infinitos siempre implica sacar a flote elementos del conjunto final que no son imagen del conjunto inicial. Pero eso dice más del método propiamente dicho que de los conjuntos por sí mismos. 
 
Por cierto, me hace gracia leer cómo al publica Cantor todas estas ideas, que ahora constituyen uno de los aspectos más importantes de las matemáticas fue tachado en su época por muchos matemáticos de cháchara teológica y que no tenía nada que ver con las matemáticas. Qué de vueltas dan las cosas.






 

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que hace Cantor, pues, es tomar todos los elementos de N, y los elementos de P(N), y considera que serán del mismo tamaño. De mientras aplica la diagonalización, es decir, afirma la existencia del conjunto B -el conjunto de los elementos generados por la diagonal. Entonces, como había considerado que N y P(N) son del mismo tamaño eso choca con la existencia del conjunto B

Diagonalización de Cantor:

Spoiler

se puede establecer un emparejamiento de este estilo entre elementos de\(  N \) y de \( p(N) \) para generar la diagonal:

\( 1\rightarrow{\left\{{1}\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{{1,2}\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{{1,2,3}\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{{1,2,3,4}\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{{1,2,3,4,5}\right\}} \)

Entonces en la diagonal obtenemos el conjunto \( E=\left\{{1,2,3,4,5}\right\} \), que precisamente es imagen del número 5. Pero entonces a cada elemento de E le sumamos 5, y obtenemos \( E_5=\left\{{6,7,8,9,10}\right\} \).

Tenemos que \( E_5 \) es un elemento de \( P(N) \), al ser un conjunto ordenado de números naturales. Sin embargo, no tiene imagen.

Para comprobar que \( E_5 \) tiene imagen abría que ampliar los elementos de N hasta llegar a 10, pero entonces se generaría un nuevo elemento a través de la diagonalización que, siendo un conjunto de número naturales y por tanto un elemento de P(N), no es imagen de ningún número natural.  Llegado aquí, parece ser, Cantor concluye que siempre habrán elementos de \( P(N) \) que no pueden ser imagen de N, con lo cual B existe, hecho que entra en contradicción con la suposición de que \( N y P(N) \) tienen los mismos elementos.

[cerrar]

Viendo lo de la diagonalización como argumento para justificar que B existe, entiendo -y quizás me equivoco- que este B no surge como comentabas: de suponer que \( f \) entre \( N \) y \( P(N) \) sea biyectiva, sino porque Cantor entiende que entre \( N \) y \( P(A) \) se puede aplicar una diagonalización independientemente del tamaño de ambos. Y es con esta diagonalización que surgirá un conjunto B, que en este caso particular se define como \( B=\left\{{x\in{N}, x\not\in}f(cx)\right\}\subseteq{N}  \).

Ya luego supone que \( N \) y \( P(N) \) son equipotentes,

De lo que he marcado en rojo me parece que sigues sin entender lo que te ha explicado geómetracat. Ese conjunto \( B \) está definido a partir de la supuesta biyección \( f \) y tu pareces afirmar que es algo previo.

Por ejemplo:

Spoiler

Comparemos N y N mismo:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{12\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{123\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{1234\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{12345\right\}} \)

En la diagonal obtenemos n=12345, que es imagen de 5. Entonces le sumamos 5 a cada cifra y obtenemos \( n_5 \)=67890. Y lo que tenemos es muy raro, porque es un número natural pero que de momento no es imagen de ningún número natural. ¿Cómo se interpreta esto? 

O comparemos ahora IP (conjunto de los impares) con N:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{13\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{135\right\}} \)
\( 7\rightarrow{\left\{1357\right\}} \)
\( 9\rightarrow{\left\{13579\right\}} \)

En la diagonal obtenemos \( ip=13579 \), que es imagen del 9. Luego le sumamos 9 a cada cifra y obtenemos \( ip_9 \)=102468 el cual es un elemento de N, pero jamás podrá ser una imagen de ip. ¿Con la diagonalización se demostraría que el conjunto infinito de los impares es de un tamaño menor que el de los naturales?

[cerrar]

Tampoco entiendo que tienen que ver los ejemplos que pones en el Spoiler con la demostración que ha expuesto geómetracat. Prefiero referirme a ella que no a exactamente como se supone que explicó el asunto Cantor en su momento, porque no conozco su trabajo original.

Saludos.

[RDC]

Hola

Lo que hace Cantor, pues, es tomar todos los elementos de N, y los elementos de P(N), y considera que serán del mismo tamaño. De mientras aplica la diagonalización, es decir, afirma la existencia del conjunto B -el conjunto de los elementos generados por la diagonal. Entonces, como había considerado que N y P(N) son del mismo tamaño eso choca con la existencia del conjunto B

Diagonalización de Cantor:

Spoiler

se puede establecer un emparejamiento de este estilo entre elementos de\(  N \) y de \( p(N) \) para generar la diagonal:

\( 1\rightarrow{\left\{{1}\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{{1,2}\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{{1,2,3}\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{{1,2,3,4}\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{{1,2,3,4,5}\right\}} \)

Entonces en la diagonal obtenemos el conjunto \( E=\left\{{1,2,3,4,5}\right\} \), que precisamente es imagen del número 5. Pero entonces a cada elemento de E le sumamos 5, y obtenemos \( E_5=\left\{{6,7,8,9,10}\right\} \).

Tenemos que \( E_5 \) es un elemento de \( P(N) \), al ser un conjunto ordenado de números naturales. Sin embargo, no tiene imagen.

Para comprobar que \( E_5 \) tiene imagen abría que ampliar los elementos de N hasta llegar a 10, pero entonces se generaría un nuevo elemento a través de la diagonalización que, siendo un conjunto de número naturales y por tanto un elemento de P(N), no es imagen de ningún número natural.  Llegado aquí, parece ser, Cantor concluye que siempre habrán elementos de \( P(N) \) que no pueden ser imagen de N, con lo cual B existe, hecho que entra en contradicción con la suposición de que \( N y P(N) \) tienen los mismos elementos.

[cerrar]

Viendo lo de la diagonalización como argumento para justificar que B existe, entiendo -y quizás me equivoco- que este B no surge como comentabas: de suponer que \( f \) entre \( N \) y \( P(N) \) sea biyectiva, sino porque Cantor entiende que entre \( N \) y \( P(A) \) se puede aplicar una diagonalización independientemente del tamaño de ambos. Y es con esta diagonalización que surgirá un conjunto B, que en este caso particular se define como \( B=\left\{{x\in{N}, x\not\in}f(cx)\right\}\subseteq{N}  \).

Ya luego supone que \( N \) y \( P(N) \) son equipotentes,

De lo que he marcado en rojo me parece que sigues sin entender lo que te ha explicado geómetracat. Ese conjunto \( B \) está definido a partir de la supuesta biyección \( f \) y tu pareces afirmar que es algo previo.

Por ejemplo:

Spoiler

Comparemos N y N mismo:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{12\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{123\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{1234\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{12345\right\}} \)

En la diagonal obtenemos n=12345, que es imagen de 5. Entonces le sumamos 5 a cada cifra y obtenemos \( n_5 \)=67890. Y lo que tenemos es muy raro, porque es un número natural pero que de momento no es imagen de ningún número natural. ¿Cómo se interpreta esto? 

O comparemos ahora IP (conjunto de los impares) con N:

\( 1\rightarrow{\left\{1\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{13\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{135\right\}} \)
\( 7\rightarrow{\left\{1357\right\}} \)
\( 9\rightarrow{\left\{13579\right\}} \)

En la diagonal obtenemos \( ip=13579 \), que es imagen del 9. Luego le sumamos 9 a cada cifra y obtenemos \( ip_9 \)=102468 el cual es un elemento de N, pero jamás podrá ser una imagen de ip. ¿Con la diagonalización se demostraría que el conjunto infinito de los impares es de un tamaño menor que el de los naturales?

[cerrar]

Tampoco entiendo que tienen que ver los ejemplos que pones en el Spoiler con la demostración que ha expuesto geómetracat. Prefiero referirme a ella que no a exactamente como se supone que explicó el asunto Cantor en su momento, porque no conozco su trabajo original.

Saludos.

Gracias Luís por la contestación y las observaciones.

Tal y como lo veo, la axiomática sobre la cual se demuestra el teorema es muy posterior al propio teorema y se elaboró precisamente para demostrar, entre otras cosas, dicho teorema, a fin de que la teoría de conjuntos fuera coherente y por tanto se pudiera usar para "hacer cosas". Hecho que no significa que sea "cierta", o al menos, única ¿verdad?. Por tanto, claro que Geométrecat tiene razón, pero me parece a mí que sería en parte o de forma superficial.

Mirando lo qué hizo Cantor, antes de que se estableciera esta axiomática, entiendo, al menos por el momento, que demostró la existencia de este conjunto B "como un subconjunto de los Naturales cuyos elementos no pueden formar parte de una imagen de los naturales", no por establecer una relación biyectiva, sino porque advierte que dado un conjunto y su conjunto potencia siempre se puede establecer una relación de diagonalización entre sus elementos. Y es precisamente este proceso de diagonalización el que genera, siempre, dicho conjunto B. Con razón se considera a priori que existe.

Así pues, una vez admitida la existencia a priori de este conjunto \( B \) cabría suponer que los dos conjuntos son equipotentes. Y es aquí, al suponerlo tratando un conjunto con su conjunto potencia, cuando surge una contradicción.

En otras palabras, me parece que lo que dice Cantor se puede visualizar de forma relativamente  fácil poniendo como ejemplo los naturales:

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

Entonces, aplicando las normas para diagonalizar que explica Cantor obtenemos el siguiente elemento de \( P(N) \), \( a_1=\left\{{1,2,3,4}\right\} \), y luego, sumando 5 a cada elemento de \( a_1 \), obtenemos este otro elemento de \( P(N), b_1=\left\{{5,6,7,8}\right\} \).

Aquí se aprecia que este elemento \( b_1 \) no es imagen de ningún elemento \( N \), y tampoco lo es ninguno de sus elementos -que son números naturales. Por tanto, este elemento \( b_1 \) parece ser el conjunto \( B \), que nos habla Cantor.

Ahora Cantor nos dice: supongamos que la relación entre \( N \) y \( P(N) \) sea biyectiva, porque serían equipotentes y por tanto, cada elemento de \( N \) debería de tener una imagen en \( P(N) \) en esta diagonalización. 

Entonces este elemento \( b_1 \) será imagen de un elemento de \( N \), por ejemplo:

\( 5\Rightarrow{b_1={\left\{{5,6,7,8}\right\}}} \)

Sin embargo, por diagonalización ahora obtenemos: el conjunto \( a_2=\left\{{1,2,3,4,5}\right\} \) y con él, sumándole 5 a cada uno de sus elementos, obtenemos el conjunto \( b_2=\left\{{6,7,8,9,10}\right\} \) ; el cual no es imagen de ningún natural y por tanto, se erige como el nuevo subconjunto \( B \).

Ahora bien, este elemento \( b_2 \) , si consideramos que hay una relación biyectiva entre \(  N \) y \( P(N) \), sí debería de ser imagen de un elemento de \( N \) -por ejemplo el 6; pero, entonces, por diagonalización se genera un nuevo elemento \( b_3 \) que, o no sería imagen de \( N \) o si lo fuera generaría otro conjunto \( b_4 \), que a su vez, o no sería imagen de \( N \) o si lo fuera generaría otro \( b_5 \), al que le sucedería lo mismo... y así ad infinitum.

Por tanto, esta es la contradicción a la que llega Cantor y fundamenta su teorema:

-Si el subconjunto \( B \) existe entonces claramente no hay una relación biyectiva entre \( N \) y \( P(N) \), dado que hay elementos en \( P(N) \) que no pueden ser imagen de \( N \). Pero como hemos dicho que son equipotentes, entonces:

-El subconjunto \( B \) no existe, hecho que significa que hay elementos de \( P(N) \) cuyos elementos no pertenecen a \( N \), porque el conjunto \( B \), por diagonalización entre \( N \) y \( P(N) \) siempre existe. Sin embargo, no es posible que \( P(N) \) tenga elementos que contengan elementos que no están en \( N \), por definición de \( P(N) \).

Conclusión, el conjunto \( B \) siempre existe por diagonalización, pero \( N \) y \( P(N) \) no son equipotentes como habíamos supuesto al principio.

Llegados aquí, estoy completamente de acuerdo con el razonamiento, pero sólo cuando estamos ante conjuntos finitos. Por ejemplo, si tomamos \( A=\left\{{1,2}\right\} \) y \( B=P(A) \). Pero para conjuntos infinitos no. La de Cantor es sólo una opción, con sus ventajas y desventajas -como ventaja es que ya tenemos toda una axiomática ya creada que nos va bien para tratar muchas cosas. Si alguien quiere jugar al juego de Cantor y no salir de esas normas, como parece que ha dicho geométrecat, pues vale. Sin embargo, parece ser que no es el único juego posible.

Cuando Cantor emplea el método de la diagonalización para relacionar conjuntos infinitos no se da cuenta, me parece a mí, es que la diagonalización no nos está diciendo nada propio de la relación que tienen ambos conjuntos, por ejemplo su tamaño, sino que lo genera. Es decir, la diagonalización impone una relación determinada entre dos conjuntos infinitos (y esto no sucede con conjuntos finitos).

Pienso, que cabe pensar los conjuntos infinitos como si fueran, metafóricamente hablando, un líquido, acaso agua; y nos preguntáramos: ¿Cuál es su forma? Entonces la diagonalización parece actuar como un cubo con el que atrapar o contener dentro de una forma el infinito.

¿No sería tosco afirmar, entonces, que acabamos de demostrar que el líquido tiene, en verdad, la forma del cubo donde lo hemos metido porque precisamente lo demuestra el cubo mismo -la herramienta con la que hemos tratado el líquido?

Por eso, entiendo, que cuando aplicamos la diagonalización entre dos conjuntos infinitos que se consideran del mismo tamaño, acaso entre el conjunto de los naturales y él mismo, o entre el conjunto de los impares y los naturales, sorprendentemente aparece la paradoja siguiente: la diagonalización demuestra que ambos conjuntos no pueden ser del mismo tamaño.

Por tanto, lo que planteo es que al tratar "objetos" infinitos nuestros instrumentos o métodos no nos dicen como son propiamente estos objetos y sus supuestas relaciones reales, sino que los determinan de una forma u otra. Entendido así, el infinito podría adquirir distintas formas según fueran los métodos empleados. Hecho que encuentro muy interesante, aunque igual no sea un sentimiento compartido.

En definitiva, entiendo que emplear una diagonalización y por tanto afirmar la existencia a priori de un conjunto B para comparar dos conjuntos infinitos es una especie de "petición de principio": es un partir de la premisa de que ambos conjuntos son de distinto tamaño, en concreto que el conjunto imagen es mayor que el conjunto origen, para demostrar que precisamente ambos conjuntos son de distinto tamaño. Y curiosamente esta falacia ha sido muy útil.

Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

 No se. Sospecho que no nos estamos entendiendo. Insistes en explicar lo que se supone que hizo Cantor de una manera que NO es la correcta. Lo que tu explicas no se corresponde con lo que se conoce habitualmente como el argumento diagonal de Cantor.

Mirando lo qué hizo Cantor, antes de que se estableciera esta axiomática, entiendo, al menos por el momento, que demostró la existencia de este conjunto B "como un subconjunto de los Naturales cuyos elementos no pueden formar parte de una imagen de los naturales", no por establecer una relación biyectiva, sino porque advierte que dado un conjunto y su conjunto potencia siempre se puede establecer una relación de diagonalización entre sus elementos. Y es precisamente este proceso de diagonalización el que genera, siempre, dicho conjunto B. Con razón se considera a priori que existe.

[...]

Así pues, una vez admitida la existencia a priori de este conjunto \( B \) cabría suponer que los dos conjuntos son equipotentes. Y es aquí, al suponerlo tratando un conjunto con su conjunto potencia, cuando surge una contradicción.

  Lo que marco en rojo NO es cierto. Una vez más y como te ha explicado geométracat, para hacer el argumento diagonal de Cantor el PUNTO DE PARTIDA es SUPONER UNA BIYECCiÓN (de manera más precisa basta una aplicación INYECTIVA) entre el conjunto (pongamos los naturales) y el conjunto de partes (pongamos subconjuntos de naturales). NO HAY NINGÚN CONJUNTO \( B \) A PRIORI.

 Si existiese esa biyección (o ap. inyectiva), es entonces (y no antes) cuando construye un subconjunto \( B \) de naturales que no puede ser imagen de esa biyección (o ap. inyectiva) y eso prueba la imposibilidad de que sea sobreyectiva.

 Más allá del formalismo la idea es sencilla. Una biyección (o ap. inyectiva) de los naturales sobre cualquier conjunto es simplemente una lista de elementos de ese conjunto; de manera que al 1 se le asocia el primer elemento de la lista; al 2 el segundo; al 3 el tercero etcétera...

 Entonces si existiese una biyección (o ap. inyectiva) entre los naturales y los subconjuntos de los naturales tendríamos una lista de los subconjuntos de los naturales donde se suponen que están todos:

\( A_1,A_2,A_3,A_4,\dots \)

 Pero ahora construimos un subconjunto \( B \), de los naturales de la siguiente forma. Si \( 1 \) está en \( A_1 \) no lo incluimos; si NO está en \( A_1 \) si lo incluimos.
Si \( 2 \) está en \( A_2 \) no lo incluimos; si NO está en \( A_2 \) si lo incluimos.
Y así sucesivamente. Ese conjunto \( B \) difiere de \( A_i \) precisamente en el elemento \( i \): por construcción si uno lo contiene el otro no y viceversa.

Y por eso \( B \) no está en la lista.

Esto es el argumento de Cantor: ¿dónde está la falacia?

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

El argumento diagonal de Cantor aplicado a esa lista de subconjutos \( A_n=\{1,2,\dots,n\} \), nos daría \( B=\emptyset \), ya que \( B \) no contiene al elemento \( k \) (para cualquier \( k \)) porque \( k\in A_k \).

Por tanto el vacío está fuera de esa lista y esa lista no cubre todos los posibles subconjuntos de los naturales (no está el vacío).

Pienso, que cabe pensar los conjuntos infinitos como si fueran, metafóricamente hablando, un líquido, acaso agua; y nos preguntáramos: ¿Cuál es su forma? Entonces la diagonalización parece actuar como un cubo con el que atrapar o contener dentro de una forma el infinito.

¿No sería tosco afirmar, entonces, que acabamos de demostrar que el líquido tiene, en verdad, la forma del cubo donde lo hemos metido porque precisamente lo demuestra el cubo mismo -la herramienta con la que hemos tratado el líquido?

Por eso, entiendo, que cuando aplicamos la diagonalización entre dos conjuntos infinitos que se consideran del mismo tamaño, acaso entre el conjunto de los naturales y él mismo, o entre el conjunto de los impares y los naturales, sorprendentemente aparece la paradoja siguiente: la diagonalización demuestra que ambos conjuntos no pueden ser del mismo tamaño.

Por tanto, lo que planteo es que al tratar "objetos" infinitos nuestros instrumentos o métodos no nos dicen como son propiamente estos objetos y sus supuestas relaciones reales, sino que los determinan de una forma u otra. Entendido así, el infinito podría adquirir distintas formas según fueran los métodos empleados. Hecho que encuentro muy interesante, aunque igual no sea un sentimiento compartido.

Todo esto me parece una disquisición filosófica subjetiva; no entraré en ella. Pero no hay que mezclarla con los errores, que en mi opinión, cometes al explicar y criticar la idea de cantor.

En definitiva, entiendo que emplear una diagonalización y por tanto afirmar la existencia a priori de un conjunto B para comparar dos conjuntos infinitos es una especie de "petición de principio":

De a priori nada... 

Saludos.

[feriva]

Diagonalización de Cantor:

Spoiler

se puede establecer un emparejamiento de este estilo entre elementos de\(  N \) y de \( p(N) \) para generar la diagonal:

\( 1\rightarrow{\left\{{1}\right\}} \)
\( 2\rightarrow{\left\{{1,2}\right\}} \)
\( 3\rightarrow{\left\{{1,2,3}\right\}} \)
\( 4\rightarrow{\left\{{1,2,3,4}\right\}} \)
\( 5\rightarrow{\left\{{1,2,3,4,5}\right\}} \)
...

[cerrar]

Con el conjunto de partes (así escrito) es más complicado de ver, es mejor tomar los números reales contenidos en el intervalo (0,1). Después de todo, ahí, en ese conjunto de números reales, tienes el conjunto de partes de las cifras.

Cualquier número racional se puede escribir con una cantidad infinita de cifras no significativas; el 1 es 1,000... por ejemplo; el 0,71 es 0,71000... y así con cualquiera.

Pensando que todos están escritos así, tenemos reservados los “huecos” para todos los números reales menores que 1: para los de dos cifras, para los de tres... hasta para los de infinitas cifras, los irracionales (y los racionales periódicos, si quieres considerarlos aunque no sean verdaderos números de infinitas cifras; no va a importar para esto).

Entonces, imaginemos que tenemos todos los números de aquí (0,1) metidos en una bolsa. Y ahora los vamos sacado al azar y contando; cada vez sacamos uno lo ponemos debajo del anterior y decimos, “uno, dos, tres...”, sin terminar. Todos van formando como una tabla, porque tienen la misma cantidad de cifras sin contamos las no significativas, los huecos.

Eso que vamos diciendo al contar “1,2,3...” es, evidentemente, el conjunto \( \mathbb{N} \) (si no terminamos nunca es “todo” N).

...

El argumento de la diagonal de cantor persigue mostrar cómo un número (que además puede ser de “en medio”, con un valor que no es necesariamente el mayor ni el menor entre los contenidos en 0 y 1) no aparece en la lista de todos los números; por mucho que no se acabe de contar. En realidad son infinitos los números que se quedan en el tintero, pero se muestra con uno.

El argumento es sencillo: cuando ya hemos contado muchísimos, si ahora construimos un número cambiando la primera cifra (detŕas de la coma) del primer número por otra distinta; la segunda cifra del segundo por otra distinta a ésa; la tercera del tercero, etc., el número construido no podrá ser igual al primero; pues difiere al menos en la primera cifra respecto de la primera del primero; ni igual al segundo, pues tiene la segunda cifra distinta... ni igual al enésimo, pues tiene la enésima cifra distinta.

Bueno, pero podemos hacer trampa ahora que no nos ven, ya que, lo tenemos construido, incluyámoslo y sigamos contando... Esto daría igual, porque siempre podremos encontrar de esta forma un número que nunca está (no uno, un montón).

Llegamos a la conclusión de que aquí (0,1) hay un cardinal mayor de números.

Y no te digo “cantidad”, porque los infinitos no son comparables como cantidades o como valores, sino mayor cardinal, que quiere decir que no podemos hacer crorresponder “todos” los de aquí (0,1 ) con todos los de aquí \( \mathbb{N} \). Donde por supuesto en el “todos” también hay misterio.

Spoiler

No es falaz, otra cosa es que pueda haber paradojas relacionadas, pero una paradoja (que realmente lo sea) no es una falacia.

De forma intuitiva lo puedes ver con los irracionales y con lo que te he dicho en el otro hilo.

Todo número racional es de la forma \( \dfrac{n}{m} \) con n,m naturales y, por tanto, de valor finito. Además, en base “m” (entre otras posibles que puedan utilizarse según la multiplicidad) la división dará siempre un número con una cantidad finita de cifras. O sea, para todo número racional existe alguna base con la que podremos terminar de escribir el número (de forma no periódica; o dicho de otra manera, con un periodo infinito de ceros no significativos a partir de una última cifra significativa, última cifra única y que siempre existe para la base apropiada).

Un número irracional, como \( \pi \), por ejemplo, es un número de valor finito (pi vale mś de 3 y menos de 4) con infinitas cifras pero tal que no puede escribirse con una cantidad finita de cifras en ninguna base natural, a diferencia de los racionales.

(Los racionales (escritos en la base adecuada) pueden tener tantas cifras como se quiera, pero nunca infinitas. Es decir, son números a los que en una base apropiada “B” siempre se les puede multiplicar por \( 1000..._{B} \), con una cantidad finita de ceros, de forma que se transformen en números naturales; es decir, en castizo, que si se les quita la coma se transforman en naturales).

Pese a ello, cada número irracional es único y distinto de los demás.

Si consideramos el número “e”, por ejemplo, se trata de un irracional, es el número límite dado por la expresión \( lim_{n\longrightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \). Su existencia es algo distinta a la de un número racional en cuanto a concepto. Dando valores a “n”, 1,2,3... etc., en el resultado se irán fijando los decimales de la izquierda progresivamente (dejarán de cambiar pese a que se den distintos valores de “n” sin fin) pero, en el “final”, las “últimas” cifras seguirán variando (unas veces unas, otras veces otras...) para los distintos valores de “n” que se vayan dando.

El número jamás se concretará, no existe eso, pero como responde a esta forma \( lim_{n\longrightarrow\infty}(1+\dfrac{1}{n})^{n} \), sólo puede ser el que es; y por eso es único.

Así, dado un número de finitas cifras, siempre podremos imaginar añadir infinitas cifras más a la derecha, con cuyas combinaciones obtendremos, para cada racional distinto, infinitos irracionales distintos.

Pero esto no tiene nada que ver con el valor del número; dado un irracional así, 3,6799... siempre existe un racional mayor que él; por ejemplo 4. Del mismo modo, ahora podemos encontrar si queremos un irracional mayor que 4 añadiendo una coma y un sinfín de cifras... van “entremezclados”.

Y, mirando un poco, nos damos cuenta de que entre dos números siempre va a haber infinitos racionales e infinitos irracionales; pero por eso de que podemos añadir cifras a los racionales para obtener infinitos irracionales, siempre habrá muchos más irracionales intercalados. Infinitos de ambos en ambos casos, pero con más densidad de irracionales. Esto es sumamente abstracto, pero teóricamente lo tenemos que asumir así.

De ese modo, entre cero y uno (0,1) tendremos infinitos números reales, pero muchos más irracionales que racionales.

Podremos ir contando los racionales sin perder ninguno en la cuenta pese a que no sea posible encontrar el siguiente racional a un racional dado; debido a que se pueden representar en forma de fracción a/b (que es lo que hace Cantor en su tabla de racionales). Además, hemos visto que mediante una base adecuada siempre se pueden transformar en enteros; cada distinto racional en un distinto entero. Luego se tienen que poder contar, porque los enteros se pueden contar.

La diferencia entre los racionales y los enteros es que los enteros no pueden estar a una distancia menor que 1 entre ellos y los racionales pueden estar a una distancia tan pequeña como se quiera; pero no infinitamente pequeña. Pasa algo análogo a lo que ocurre con los naturales grandes, pueden tener tantas cifras como quieras, valer mucho, pero no infinito.

Y en cuanto a los irracionales pueden estar más cerca de los números que tengan “al lado”, pero es muy teórico. La cuestión es que no es posible echar mano de un artilugio como las fracciones para contarlos sin perdernos; no son numerables, que es lo que se muestra con el argumento de la diagonal.

Pensando en conjuntos finitos podemos también ver una diferencia. Dado un conjunto de tres posibles racionales muy parecidos, teóricamente siempre podremos estar seguros de cuál es el cardinal. Al poder considerarlos como fracción o como números de finitas cifras, distinguiremos si son tres realmente o si uno es el mismo que otro (con lo que sólo habría 2 números en vez de tres). En cambio, qué pasa si tenemos un conjunto de tres irracionales así, ¿qué cardinal tendrá?

{2,0134..., 2,0134...,2,0134...,}

Pues será finito, eso seguro, tendrá 1 ó 2 ó 3 elementos, pero no podremos determinarlo en caso de que la diferencia empiece en una cifra infinitamente alejada.

Todo es por las definiciones que hacemos, por lo que consideramos, los números reales no se pueden considerar como objetos de “tocar”.

[cerrar]

Saludos.

[RDC]

Hola

 No se. Sospecho que no nos estamos entendiendo. Insistes en explicar lo que se supone que hizo Cantor de una manera que NO es la correcta. Lo que tu explicas no se corresponde con lo que se conoce habitualmente como el argumento diagonal de Cantor.

Mirando lo qué hizo Cantor, antes de que se estableciera esta axiomática, entiendo, al menos por el momento, que demostró la existencia de este conjunto B "como un subconjunto de los Naturales cuyos elementos no pueden formar parte de una imagen de los naturales", no por establecer una relación biyectiva, sino porque advierte que dado un conjunto y su conjunto potencia siempre se puede establecer una relación de diagonalización entre sus elementos. Y es precisamente este proceso de diagonalización el que genera, siempre, dicho conjunto B. Con razón se considera a priori que existe.

[...]

Así pues, una vez admitida la existencia a priori de este conjunto \( B \) cabría suponer que los dos conjuntos son equipotentes. Y es aquí, al suponerlo tratando un conjunto con su conjunto potencia, cuando surge una contradicción.

  Lo que marco en rojo NO es cierto. Una vez más y como te ha explicado geométracat, para hacer el argumento diagonal de Cantor el PUNTO DE PARTIDA es SUPONER UNA BIYECCiÓN (de manera más precisa basta una aplicación INYECTIVA) entre el conjunto (pongamos los naturales) y el conjunto de partes (pongamos subconjuntos de naturales). NO HAY NINGÚN CONJUNTO \( B \) A PRIORI.

 Si existiese esa biyección (o ap. inyectiva), es entonces (y no antes) cuando construye un subconjunto \( B \) de naturales que no puede ser imagen de esa biyección (o ap. inyectiva) y eso prueba la imposibilidad de que sea sobreyectiva.

 Más allá del formalismo la idea es sencilla. Una biyección (o ap. inyectiva) de los naturales sobre cualquier conjunto es simplemente una lista de elementos de ese conjunto; de manera que al 1 se le asocia el primer elemento de la lista; al 2 el segundo; al 3 el tercero etcétera...

 Entonces si existiese una biyección (o ap. inyectiva) entre los naturales y los subconjuntos de los naturales tendríamos una lista de los subconjuntos de los naturales donde se suponen que están todos:

\( A_1,A_2,A_3,A_4,\dots \)

 Pero ahora construimos un subconjunto \( B \), de los naturales de la siguiente forma. Si \( 1 \) está en \( A_1 \) no lo incluimos; si NO está en \( A_1 \) si lo incluimos.
Si \( 2 \) está en \( A_2 \) no lo incluimos; si NO está en \( A_2 \) si lo incluimos.
Y así sucesivamente. Ese conjunto \( B \) difiere de \( A_i \) precisamente en el elemento \( i \): por construcción si uno lo contiene el otro no y viceversa.

Y por eso \( B \) no está en la lista.

Esto es el argumento de Cantor: ¿dónde está la falacia?

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

El argumento diagonal de Cantor aplicado a esa lista de subconjutos \( A_n=\{1,2,\dots,n\} \), nos daría \( B=\emptyset \), ya que \( B \) no contiene al elemento \( k \) (para cualquier \( k \)) porque \( k\in A_k \).

Por tanto el vacío está fuera de esa lista y esa lista no cubre todos los posibles subconjuntos de los naturales (no está el vacío).

Hola Luís! Gracias por este comentario tan extenso. Permíteme, pues, ordenar un poco mis ideas, suposiciones y también dudas. A ver qué te parecen:

Si vamos un momento a la wiki en inglés ésta presenta el teorema diciendo:

"existe una función \( f \) entre un conjunto \( A \) cualquiera y su conjunto potencia \( P(A) \), y esta función no es biyectiva, hecho que implica que el tamaño de \( A \) sea siempre menor que el tamaño de \( P(A) \)":

Spoiler

[cerrar]

Y luego expone la prueba o argumentación como sigue:

Spoiler

[cerrar]

Entiendo, pues, que quien ha escrito eso no ha dicho: "consideremos que hay una relación biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \) y por ello se construye el conjunto \( B \)".

Parece decir, más bien: "considera la existencia de un conjunto \( B \), como subconjunto de \( A \), y supón que la función entre \( A \) y \( P(A) \) es biyectiva; entonces se produce una contradicción,

Sin embargo, vamos a suponer que o esta definición está mal redactada o, más probable aún, yo la he entendido mal. Y puede ser. En cualquier caso, luego dice:

Spoiler

[cerrar]

Aquí interpreto que dice: la idea principal del argumento de la prueba es sencillo, como bien has explicado Luís, y consiste en mostrar que si se se coge un conjunto \( A \) y otro conjunto \( C \) y se van relacionando cada uno de los elementos de \( A \) con uno, y sólo uno de los de \( C \), entonces aparecerán elementos de \( C \) sin emparejar con elementos de \( A \). Hasta aquí ok.

Y entonces expone que para aplicar esta idea sencilla al tomar un conjunto \( A \) y emparejándolo con su conjunto potencia \( P(A) \) Cantor aplica una construcción llamada "el método de diagonalización de Cantor", mediante la cual se genera el famoso conjunto \( B=\left\{{x\in{A},x\not\in f(x)}\right\} \).

El método de la diagonalización de Cantor

Entiendo que la diagonalización consiste, primero, en tomar un conjunto de infinitos elementos, que además tenga infinitos elementos compuestos, a su vez, por infinitos elementos. Por ejemplo el conjunto de todas las secuencias de dígitos binarios (0,1) o el conjunto potencia del los naturales, o cualquier conjunto numérico de infinitos elementos. Entonces, la idea es emparejarlos uno a uno con el conjunto de los números naturales para generar una lista ordenada. Si se logra esta lista, se puede decir que el conjunto de infinitas secuencias de dígitos binarios, o el conjunto \( P(N) \), es contable, numerable o en fin, se puede hacer una lista ordenada y completa con él.

Y ahora viene el quid de la cuestión.

Para demostrar si estos conjuntos son numerables Cantor parte de la suposición de que sí lo son y por tanto, que se puede establecer una relación biyectiva entre los naturales y ellos. Dicho así, admito que geométrecat tiene razón.

aSin embargo, Cantor no empieza estableciendo una relación biyectiva completa entre un conjunto infinito cualquiera \( A \) y su conjunto potencia; acaso entre \( N \) y \( P(N) \). Es decir, no empieza elaborando una lista con los infinitos elementos de \( P(N) \) por ejemplo, dado que materialmente no la puede elaborar.

Cantor empieza haciendo listas finitas de elementos de \( P(N) \), es decir, establece relaciones biyectivas entre un número finito de elementos de \( P(N) \) con cierta cantidad ordenada de naturales. Hecho que siempre es posible.

Por ejemplo, empieza enumerando o listando 3 elementos elementos de \( P(N) \):

\( 1\Longrightarrow{\left\{{3,7,8,...}\right\}} \)
\( 2\Longrightarrow{\left\{{2,4,6,8,...}\right\}} \)
\( 3\Longrightarrow{\left\{{1,3,5,7,9,...}\right\}} \)

Entonces Cantor coge los elementos de la diagonal para generar otro elemento de \( P(N) \), es decir, \( a_1=\left\{{3,4,5}\right\} \), y cambia su valor; por ejemplo, donde haya un número par pone el impar siguiente, y al revés. Entonces obtiene \( b_1=\left\{{4,5,6}\right\} \).

Este elemento \( b_1 \) es también un elemento de \( P(N) \), pues es un subconjunto de los naturales. Sin embargo, no es imagen de ningún número natural ¡No lo tenemos en nuestra lista! Al menos por el momento.

Y no sólo eso, como elemento de \( P(A) \) este \( b_1 \) es precisamente el famoso subconjunto \( B=\left\{{x\in{N}, x\not\in f(x)}\right\}\subseteq{N} \).

Sin embargo, dado que esta lista mía es finita, y existen infinitos números naturales con los que listar elementos de \( P(N) \), entonces es posible ampliar mi lista para listar precisamente este \( b_1 \). Por ejemplo:

\( 4\Longrightarrow{4,5,6} \)

Ahora este elemento \( b_2 \) ya está en mi lista ampliada y por tanto no forma parte de ese conjunto B. Sin embargo,  esta ampliación ha generado otro número diagonal \( a_2=\left\{{3,4,5,0}\right\} \), del cual se puede generar otro elemento de \( P(N) \), en concreto el \( b_2=\left\{{4,5,6,1}\right\} \).

Este nuevo elemento \( b_2 \) de \( P(N) \) no está en mi lista ampliada y por ello se puede considerar que es, precisamente, el conjunto \( B \). Sin embargo, como mi lista ampliada aún es finita, la puedo volver ampliar otra vez para listar precisamente este elemento. Pero listándolo se generará, por diagonalización, otro nuevo elemento \( a_3 \) de \( P(N) \), del cual surge un nuevo \( b_3 \) que no estará en esta lista ampliada última mía. Y así ad infinitum -por inducción.

En este sentido, pues, entiendo como el subconjunto \( B \) se construye mediante un proceso finitista: generando listas finitas. Y ciertamente podemos generar infinitas de ellas.

Por inducción

Por tanto, mediante este proceso finitista que es la diagonalización se aprecia claramente que al hacer listas finitas de elementos de \( P(N) \) siempre se generará un subconjunto \( B \), aunque el número de elementos de \( P(N) \) que estemos listando sea muy grande. Esto me parece evidente.

Sin embargo Cantor parece extrapolar esta inducción hasta conjuntos ya no finitos, sino también infinitos. Por tanto, si el conjunto \( B \) aparece al elaborar una lista de los elementos de \( P(N) \) con 1 solo elemento, también con 2 elementos, también con 10 o con 15464...65454 elementos, para Cantor aparecerá siempre ¡Sí, siempre!

Es sobre esta extrapolación absoluta que Cantor parece establecer las premisas de su teorema: dado que siempre existirá B en cualquier lista finita que hagamos de los elementos de \( P(N) \), y hay infinitas listas finitas posibles y por consiguiente tan grandes como queramos, entonces también cabe considerar su existencia cuando suponemos que existe la lista con todos los infinitos elementos de \( P(N) \).

Pero al llegar a este punto es donde dudo y considero que Cantor pega un salto discutible: ¿Acaso el conjunto \( B \) no aparece en todas las listas finitas posibles precisamente porque son listas finitas, no simplemente porque sea una propiedad del emparejamiento entre ambos conjuntos?

Aquí hay algo muy dudoso que quizás Cantor espabiló muy a la ligera y ha pasado por alto. Por tanto quizás sea harto discutible la decisión de generalizar la existencia del conjunto B para listas infinitas porque no es más que un tratar lo infinito como si fuera algo finito.

Sin embargo, el problema que le veo a la propuesta de Cantor no termina aquí, sino que más bien empieza aquí. Veámoslo:

Lo infinito como un reflejo de lo finito

¿No era ese el lema finitista de Hilbert?

Entiendo que la inducción funcione para cualquier elemento de la misma categoría. Por ejemplo, para cualquiera de las infinitas listas finitas de elementos de \( P(N) \) siempre aparecerá el subconjunto B, aunque haya listas muy muy grandes ¡Pero siempre que éstas listas sean finitas y por ello de la misma categoría! Ahora bien ¿qué ocurre cuando intentamos elaborar la lista de los infinitos elementos de \( P(N) \)?

Entiendo que la opción de Cantor de comprender lo que sucede en lo infinito a partir de una generalización de lo finito es sólo eso, una opción que como ya he dicho me parece que adolece de la falacia de "petición de principio", y además, me parece similar al hecho de afirmar, por ejemplo, que la serie geométrica:

\( 1-\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{4}-\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{16}...<1 \), tal y como defendía Zenón de Elea al comprender que si en cada paso siempre queda un trozo para llegar a 1, entonces por inducción cabe generalizar que nunca se va llegar a 1 ¡Ni tan siquiera al infinito!

Por eso, en el post inicial de este hilo he mostrado que si nos olvidamos de esta inducción trascendental que aplica Cantor, por así decirlo, es posible disolver la aparición del conjunto \( B \) cuando tratamos una lista de infinitos elementos de \( P(N) \). Y podemos tratar el conjunto \( B \) simplemente como una característica típica de las listas finitas de los elementos de un conjunto potencia cualquiera, pero que desaparece al tratar listas infinitas. 

Sin embargo, que ello es completamente discutible y quizás también raro de escuchar resulta evidente con este propio hilo, pero como no podemos crear, materialmente, una lista de infinitos elementos de \( P(N) \) para corroborar qué ocurre en efecto allí, si hay en efecto conjunto \( B \) o no está, entonces no hay forma de decidir inequívocamente una idea u otra.

En todo caso, vale señalar como las matemáticas parecen permitir, en diferentes ámbitos, tratar el infinito de los dos modos según interese. Podría poner muchos ejemplos. 
 
Otro problema con la diagonalización.

Finalmente, tal y como ya he comentado en otros post, parece que, en efecto, a raíz de todo esto dicho habría  un problema destacado con la diagonalización, y con ella, con el teorema de Cantor:

¿Cómo puede ser que si diagonalizo el conjunto de los naturales consigo mismo entonces habría números naturales que nunca me podrán salir en una lista de todos los números naturales?

Veamos, listo los 3 siguientes números naturales, \( 1,12 y 123 \), del siguiente modo:

\( 1\Longrightarrow{1} \)
\( 2\Longrightarrow{12} \)
\( 3\Longrightarrow{123} \)

Y por diagonalización obtengo el número \( a_1\left\{{123}\right\} \), y a cada cifra le sumo 1 para obtener otro número natural \( b_1\left\{{234}\right\} \), el cual no está, al menos por el momento, listado en la lista.

Ciertamente, dado que mi lista es finita puedo listarlo, ampliando mi lista, pero ello me generará otro natural, \( b_2 \), que no está listado en esta nueva lista... Y si hago como Cantor y lo generalizo por inducción hasta el infinito, ¿acaso demuestro, entonces, que el conjunto de los naturales no es numerable o contable y por ello, no es idéntico a sí mismo? ¿O me he equivocado en algún sitio?

Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Si vamos un momento a la wiki en inglés ésta presenta el teorema diciendo:

"existe una función \( f \) entre un conjunto \( A \) cualquiera y su conjunto potencia \( P(A) \), y esta función no es biyectiva, hecho que implica que el tamaño de \( A \) sea siempre menor que el tamaño de \( P(A) \)":

Spoiler

[cerrar]

Mal traducido.

No empieza afirmando que "EXISTE una función \( f \)...". El "Let \( f \) be a map..." suele traducirse como "Sea \( f \) una función...", es decir, supongamos "que existe una función". O en otras palabras la existencia de la función es parte de las hipótesis.

Tampoco está bien que pongas "y esa función no es biyectiva", porque es confuso.

Sería "... entonces esa función no es biyectiva".

Tal como lo has traducido el enunciado diría que "existe una función no biyectiva entre un conjunto \( A \) y su conjunto de partes \( P(A) \)" lo cuál es cierto (basta tomar una la función constante) pero trivial y no tienen nada que ver con el asunto de la cardinalidad.

La traducción correcta es:

"Sea \( f \) una función entre un conjunto \( A \) cualquiera y su conjunto potencia \( P(A) \), entonces esta función no es biyectiva, hecho que implica que el tamaño de \( A \) sea siempre menor que el tamaño de \( P(A) \)":

Y luego expone la prueba o argumentación como sigue:

Spoiler

[cerrar]

Entiendo, pues, que quien ha escrito eso no ha dicho: "consideremos que hay una relación biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \) y por ello se construye el conjunto \( B \)".

Efectivamente para construir el conjunto \( B \) no hace falta que \( f \) sea biyectiva; pero si hace falta que exista \( f \). Es decir \( B=\{x\in A|x\not\in f(x)\} \) es un conjunto que depende de la función \( f \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema,

Parece decir, más bien: "considera la existencia de un conjunto \( B \), como subconjunto de \( A \), y supón que la función entre \( A \) y \( P(A) \) es biyectiva; entonces se produce una contradicción,

Casi es eso; pero subrayando que el conjunto \( B \) depende, se construye, a partir de la función \( f:A\to P(A) \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema. Se cumple que ese \( B \) no está en la imagen de \( f \) y por eso \( f \) no puede ser sobreyectiva.

Sin embargo, vamos a suponer que o esta definición está mal redactada o, más probable aún, yo la he entendido mal. Y puede ser. En cualquier caso, luego dice:

Desde luego la has entendido mal.

Spoiler

[cerrar]

Aquí interpreto que dice: la idea principal del argumento de la prueba es sencillo, como bien has explicado Luís, y consiste en mostrar que si se se coge un conjunto \( A \) y otro conjunto \( C \) y se van relacionando cada uno de los elementos de \( A \) con uno, y sólo uno de los de \( C \), entonces aparecerán elementos de \( C \) sin emparejar con elementos de \( A \). Hasta aquí ok.

MAL. No. Ojo.

NO es "otro conjunto \( C \) cualquiera" estamos hablando de funciones que van desde \( A \) al CONJUNTO DE PARTES DE \( A \), \( P(A) \) (conjunto de todos los subconjuntos de \( A \)). En otro caso todo esto no aplica. Es como si usas un abrelatas para abrir un bote de cristal: no.

Spoiler

Cierto es que el argumento diagonal se usa también para probar por ejemplo que los naturales no son biyectivos con los reales, o en particular con los números reales del intervalo \( [0,1] \). Aquí puede imitarse la idea tomando un número decimal que difiera en la cifra decimal enésima con el enésimo elemento de la imagen. Pero por ahora creo que es mejor postponer esto. Si no lo ves claro, una vez terminado con la versión del teorema que estás comentando, lo vemos.

Desde luego lo que no es cierto es que el argumento se aplique para cualquier conjunto \( C \). ¡Entonces tendríamos que \( A \) no puede ser biyectivo con ningún conjunto, lo cual es obviamente falso!

[cerrar]

El método de la diagonalización de Cantor

Entiendo que la diagonalización consiste, primero, en tomar un conjunto de infinitos elementos, que además tenga infinitos elementos compuestos, a su vez, por infinitos elementos

.

Estábamos hablando del Teorema de la Wikipedia, con un enunciado muy preciso (a pesar de que no lo entendieses bien).

¿Por qué ahora saltas a ese enunciado tan confuso?. No se que quieres decir con  "un conjunto de infinitos elementos, que además tenga infinitos elementos compuestos, a su vez, por infinitos elementos"-

¿Por qué no nos centramos primero en la versión con la que comenzaste el hilo?

Cantor empieza haciendo listas finitas de elementos de \( P(N) \), es decir, establece relaciones biyectivas entre un número finito de elementos de \( P(N) \) con cierta cantidad ordenada de naturales.

No de eso nada. Como vengo comentando se empieza SUPONIENDO la existencia de esa lista y a partir de ahí se explica como construir un conjunto que no está en esa lista. ERGO la iista (la función) no es sobreyeciva.

Por ejemplo, empieza enumerando o listando 3 elementos elementos de \( P(N) \):

\( 1\Longrightarrow{\left\{{3,7,8,...}\right\}} \)
\( 2\Longrightarrow{\left\{{2,4,6,8,...}\right\}} \)
\( 3\Longrightarrow{\left\{{1,3,5,7,9,...}\right\}} \)

Entonces Cantor coge los elementos de la diagonal para generar otro elemento de \( P(N) \), es decir, \( a_1=\left\{{3,4,5}\right\} \), y cambia su valor; por ejemplo, donde haya un número par pone el impar siguiente, y al revés. Entonces obtiene \( b_1=\left\{{4,5,6}\right\} \).

No. MAl. Eso no es el argumento diagonal. Esa no es la construcción de ese \( B \). Sería:

\( 1 \) NO está en su imagen \( \left\{{3,7,8,...}\right\} \) por tanto \( 1\in B \).
\( 2 \) SI está en su imagen \( \left\{{2,4,6,8,...}\right\} \) por tanto \( 2\not\in B \)
\( 3 \) SI está en su imagen \( \left\{{1,3,5,7,9,...}\right\} \) por tanto \( 3\not\in B \)

y así sucesivamente. De momento sabríamos que \( B \) tiene el elemento \( 1 \) pero no el \( 2,3 \).

Lo que pones a continuación ya ni lo comento, porque parte de una descripción e interpretación MUY errónea de lo que se supone que hace Cantor.

Pero al llegar a este punto es donde dudo y considero que Cantor pega un salto discutible: ¿Acaso el conjunto \( B \) no aparece en todas las listas finitas posibles precisamente porque son listas finitas, no simplemente porque sea una propiedad del emparejamiento entre ambos conjuntos?

Si lo haces bien, como te he indicado, verás que \( B \) no aparece en ninguna lista.
 

¿Cómo puede ser que si diagonalizo el conjunto de los naturales consigo mismo entonces habría números naturales que nunca me podrán salir en una lista de todos los números naturales?

Pues como te he dicho estarías usando un abrelatas para abrir un tarro de cristal.

Veamos, listo los 3 siguientes números naturales, \( 1,12 y 123 \), del siguiente modo:

\( 1\Longrightarrow{1} \) (entiendo que te refieres a UNO)
\( 2\Longrightarrow{12} \) (entiendo que te refieres al DOCE)
\( 3\Longrightarrow{123} \) (entiendo que te refieres al CIENTO VEINTITRES)

Esa lista que pones ahí corresponde a una función \( f:\Bbb N\to \Bbb N \) y NO a una función \( f:\Bbb N\to \Bbb P(N) \) así que el argumento de  la diagonalización no aplica, no tiene sentido. Fin de la historia.

Me parece que intentaste hacer algo parecido aquí, donde en lugar de \( 1,12,123 \) ponías \( \{1\},\{1,2,\},\{1,2,3\} \):

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

y ya te expliqué que ahí si puedes aplicarlo. Y el conjunto \( B \) que saldría sería el vacío, que efectivamente NO está en la lista:

El argumento diagonal de Cantor aplicado a esa lista de subconjutos \( A_n=\{1,2,\dots,n\} \), nos daría \( B=\emptyset \), ya que \( B \) no contiene al elemento \( k \) (para cualquier \( k \)) porque \( k\in A_k \).

Por tanto el vacío está fuera de esa lista y esa lista no cubre todos los posibles subconjuntos de los naturales (no está el vacío).

Saludos.

[RDC]

Hola

Spoiler

Si vamos un momento a la wiki en inglés ésta presenta el teorema diciendo:

"existe una función \( f \) entre un conjunto \( A \) cualquiera y su conjunto potencia \( P(A) \), y esta función no es biyectiva, hecho que implica que el tamaño de \( A \) sea siempre menor que el tamaño de \( P(A) \)":

Spoiler

[cerrar]

Mal traducido.

No empieza afirmando que "EXISTE una función \( f \)...". El "Let \( f \) be a map..." suele traducirse como "Sea \( f \) una función...", es decir, supongamos "que existe una función". O en otras palabras la existencia de la función es parte de las hipótesis.

Tampoco está bien que pongas "y esa función no es biyectiva", porque es confuso.

Sería "... entonces esa función no es biyectiva".

Tal como lo has traducido el enunciado diría que "existe una función no biyectiva entre un conjunto \( A \) y su conjunto de partes \( P(A) \)" lo cuál es cierto (basta tomar una la función constante) pero trivial y no tienen nada que ver con el asunto de la cardinalidad.

La traducción correcta es:

"Sea \( f \) una función entre un conjunto \( A \) cualquiera y su conjunto potencia \( P(A) \), entonces esta función no es biyectiva, hecho que implica que el tamaño de \( A \) sea siempre menor que el tamaño de \( P(A) \)":

Y luego expone la prueba o argumentación como sigue:

Spoiler

[cerrar]

Entiendo, pues, que quien ha escrito eso no ha dicho: "consideremos que hay una relación biyectiva entre \( A \) y \( P(A) \) y por ello se construye el conjunto \( B \)".

Efectivamente para construir el conjunto \( B \) no hace falta que \( f \) sea biyectiva; pero si hace falta que exista \( f \). Es decir \( B=\{x\in A|x\not\in f(x)\} \) es un conjunto que depende de la función \( f \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema,

Parece decir, más bien: "considera la existencia de un conjunto \( B \), como subconjunto de \( A \), y supón que la función entre \( A \) y \( P(A) \) es biyectiva; entonces se produce una contradicción,

Casi es eso; pero subrayando que el conjunto \( B \) depende, se construye, a partir de la función \( f:A\to P(A) \) cuya existencia es parte de las hipótesis del teorema. Se cumple que ese \( B \) no está en la imagen de \( f \) y por eso \( f \) no puede ser sobreyectiva.

Sin embargo, vamos a suponer que o esta definición está mal redactada o, más probable aún, yo la he entendido mal. Y puede ser. En cualquier caso, luego dice:

Desde luego la has entendido mal.

Spoiler

[cerrar]

Aquí interpreto que dice: la idea principal del argumento de la prueba es sencillo, como bien has explicado Luís, y consiste en mostrar que si se se coge un conjunto \( A \) y otro conjunto \( C \) y se van relacionando cada uno de los elementos de \( A \) con uno, y sólo uno de los de \( C \), entonces aparecerán elementos de \( C \) sin emparejar con elementos de \( A \). Hasta aquí ok.

MAL. No. Ojo.

NO es "otro conjunto \( C \) cualquiera" estamos hablando de funciones que van desde \( A \) al CONJUNTO DE PARTES DE \( A \), \( P(A) \) (conjunto de todos los subconjuntos de \( A \)). En otro caso todo esto no aplica. Es como si usas un abrelatas para abrir un bote de cristal: no.

Spoiler

Cierto es que el argumento diagonal se usa también para probar por ejemplo que los naturales no son biyectivos con los reales, o en particular con los números reales del intervalo \( [0,1] \). Aquí puede imitarse la idea tomando un número decimal que difiera en la cifra decimal enésima con el enésimo elemento de la imagen. Pero por ahora creo que es mejor postponer esto. Si no lo ves claro, una vez terminado con la versión del teorema que estás comentando, lo vemos.

Desde luego lo que no es cierto es que el argumento se aplique para cualquier conjunto \( C \). ¡Entonces tendríamos que \( A \) no puede ser biyectivo con ningún conjunto, lo cual es obviamente falso!

[cerrar]

El método de la diagonalización de Cantor

Entiendo que la diagonalización consiste, primero, en tomar un conjunto de infinitos elementos, que además tenga infinitos elementos compuestos, a su vez, por infinitos elementos

.

Estábamos hablando del Teorema de la Wikipedia, con un enunciado muy preciso (a pesar de que no lo entendieses bien).

¿Por qué ahora saltas a ese enunciado tan confuso?. No se que quieres decir con  "un conjunto de infinitos elementos, que además tenga infinitos elementos compuestos, a su vez, por infinitos elementos"-

¿Por qué no nos centramos primero en la versión con la que comenzaste el hilo?

Cantor empieza haciendo listas finitas de elementos de \( P(N) \), es decir, establece relaciones biyectivas entre un número finito de elementos de \( P(N) \) con cierta cantidad ordenada de naturales.

No de eso nada. Como vengo comentando se empieza SUPONIENDO la existencia de esa lista y a partir de ahí se explica como construir un conjunto que no está en esa lista. ERGO la iista (la función) no es sobreyeciva.

Por ejemplo, empieza enumerando o listando 3 elementos elementos de \( P(N) \):

\( 1\Longrightarrow{\left\{{3,7,8,...}\right\}} \)
\( 2\Longrightarrow{\left\{{2,4,6,8,...}\right\}} \)
\( 3\Longrightarrow{\left\{{1,3,5,7,9,...}\right\}} \)

Entonces Cantor coge los elementos de la diagonal para generar otro elemento de \( P(N) \), es decir, \( a_1=\left\{{3,4,5}\right\} \), y cambia su valor; por ejemplo, donde haya un número par pone el impar siguiente, y al revés. Entonces obtiene \( b_1=\left\{{4,5,6}\right\} \).

No. MAl. Eso no es el argumento diagonal. Esa no es la construcción de ese \( B \). Sería:

\( 1 \) NO está en su imagen \( \left\{{3,7,8,...}\right\} \) por tanto \( 1\in B \).
\( 2 \) SI está en su imagen \( \left\{{2,4,6,8,...}\right\} \) por tanto \( 2\not\in B \)
\( 3 \) SI está en su imagen \( \left\{{1,3,5,7,9,...}\right\} \) por tanto \( 3\not\in B \)

y así sucesivamente. De momento sabríamos que \( B \) tiene el elemento \( 1 \) pero no el \( 2,3 \).

Lo que pones a continuación ya ni lo comento, porque parte de una descripción e interpretación MUY errónea de lo que se supone que hace Cantor.

Pero al llegar a este punto es donde dudo y considero que Cantor pega un salto discutible: ¿Acaso el conjunto \( B \) no aparece en todas las listas finitas posibles precisamente porque son listas finitas, no simplemente porque sea una propiedad del emparejamiento entre ambos conjuntos?

Si lo haces bien, como te he indicado, verás que \( B \) no aparece en ninguna lista.
 

¿Cómo puede ser que si diagonalizo el conjunto de los naturales consigo mismo entonces habría números naturales que nunca me podrán salir en una lista de todos los números naturales?

Pues como te he dicho estarías usando un abrelatas para abrir un tarro de cristal.

Veamos, listo los 3 siguientes números naturales, \( 1,12 y 123 \), del siguiente modo:

\( 1\Longrightarrow{1} \) (entiendo que te refieres a UNO)
\( 2\Longrightarrow{12} \) (entiendo que te refieres al DOCE)
\( 3\Longrightarrow{123} \) (entiendo que te refieres al CIENTO VEINTITRES)

Esa lista que pones ahí corresponde a una función \( f:\Bbb N\to \Bbb N \) y NO a una función \( f:\Bbb N\to \Bbb P(N) \) así que el argumento de  la diagonalización no aplica, no tiene sentido. Fin de la historia.

Me parece que intentaste hacer algo parecido aquí, donde en lugar de \( 1,12,123 \) ponías \( \{1\},\{1,2,\},\{1,2,3\} \):

Entre los naturales, \( N \), y su conjunto potencia, \( P(N) \), siempre podemos establecer una relación de diagonalización, independientemente que tomemos, de momento, esta relación como biyectiva o no; por ejemplo así:

\( 1\Rightarrow{{1}} \)

\( 2\Rightarrow{{1,2}} \)

\( 3\Rightarrow{{1,2,3}} \)

\( 4\Rightarrow{{1,2,3,4}} \)

y ya te expliqué que ahí si puedes aplicarlo. Y el conjunto \( B \) que saldría sería el vacío, que efectivamente NO está en la lista:

El argumento diagonal de Cantor aplicado a esa lista de subconjutos \( A_n=\{1,2,\dots,n\} \), nos daría \( B=\emptyset \), ya que \( B \) no contiene al elemento \( k \) (para cualquier \( k \)) porque \( k\in A_k \).

Por tanto el vacío está fuera de esa lista y esa lista no cubre todos los posibles subconjuntos de los naturales (no está el vacío).

Saludos.

[cerrar]

Buff, Luís, ahí me has metido mucha caña jajaja

Empiezas fuerte diciendo:

Mal traducido.

No empieza afirmando que "EXISTE una función f...". El "Let f be a map..." suele traducirse como "Sea f una función...", es decir, supongamos "que existe una función". O en otras palabras la existencia de la función es parte de las hipótesis.

Hombre, una hipótesis siempre es una afirmación y cuando se anuncia puedes decir "suponemos que" o omitirlo y afirmar la hipótesis sin más porque se sobrentiende que es precisamente una hipótesis.

Por tanto, disculpa, pero  dejo esa primera parte porque quizás sea trivial. A fin de cuentas el punto era intentar entender de dónde proviene el conjunto B en la demostración que hace Cantor. Y si he cogido la wiki en inglés es porque es la fuente más completa que tengo a mano. Nada más.

Por tanto, la estrategia del post anterior era:

1) Mostrar como el teorema de Cantor empieza, sin más, considerando un conjunto B y suponiendo una relación biyectiva entre A y P(A).

2) Mostrar que Cantor justifica que pueda considerar la existencia de un conjunto B mediante su proceso de diagonalización.

3) El proceso de diagonalización es un puro mecanismo que precisa del conjunto de los naturales por un lado, y luego, un conjunto de infinitos elementos. Y estos elementos deben poderse representar como cadenas de cifras numéricas infinitas. Por tanto el propio conjunto de los naturales se podría diagonalizar consigo mismo porque, en efecto, contiene elementos que se pueden representar como cadenas de cifras numéricas interminables: por ele ejemplo, 12,123,1234,123456,....

4) Señalar que la diagonalización consiste, para empezar, en hacer listas numeradas (poner en relación biyectiva)  con los elementos de los conjuntos escogidos: el conjunto de las infinitas cadenas de dígitos binarios, el conjunto de los reales, el conjunto potencia de cualquier conjunto numérico infinito, el propio conjunto de los naturales, etc.

5) Señalar, también, que la diagonalización no empieza haciendo una lista con los infinitos elementos del conjunto escogido para numerar. Sino que empieza haciendo listas finitas, demostrando, con ello, que un puñado de elementos de un conjunto de infinitos elementos "hecho" de cifras numéricas siempre puede ponerse en relación biyectiva con un un puñado de números naturales. No hay problema para ello.

6) Al hacer la primera lista finita, que puede tener un tamaño arbitrario de \( n \) elementos numerados, mostrar como mediante la diagonalización es posible encontrar un elemento del conjunto, que estamos listando, acaso del conjunto P(N) si estamos listando los elementos conjunto potencia de los naturales. Y este elemento, llamémosle \( a_1 \), ya lo tenemos listado.

7) Luego, mostrar como el método aplica una transformación puramente mecánica (cambiar valores de las cifras) a este número \( a_1 \) que hemos encontrado y que de hecho ya está listado. Con esta transformación puramente mecánica obtenemos, curiosamente, un nuevo elemento de \( P(N) \), si estamos listando \( P(N) \). Este elemento lo podemos llamar \( b_1 \) y es un elemento muy peculiar.
 
8) Entonces señalar como este elemento \( b_1 \), aún siendo un elemento de P(N) NO ESTÁ EN NUESTRA LISTA, pero está asociada a la lista porque depende y surge de ella. destacar que este elemento NO es imagen de ningún natural. Y en el caso de estar listando \( P(N) \) este elemento \( b_1 \) es, de hecho, el conjunto \( B \) que considera cantor en su Teorema. Pues el conjunto B\(  \) es un subconjunto de los naturales y como tal es un elemento de \( P(N) \), con la peculiaridad de que él no es imagen de \( N \) porque ninguno de sus elementos lo es.

9) llegados aquí mostrar que al ser la lista que tenemos finita, siempre podemos ampliarla añadiéndole un elemento más de \( P(N) \), si estamos listando el conjunto \( P(N) \). Y en efecto, podemos añadir este elemento \( b_1 \) a la lista sin problemas.   

10) Indicar como al añadir \( b_1 \) en la lista esto provoca que éste \( b_1 \) ya no pueda ser considerado el conjunto \( B \), porque ahora ya es imagen de \( N \). Sin embargo, esta ampliación de nuestra lista genera un nuevo elemento a_2, que se puede transformar mecánicamente con un nuevo elemento b_2.

11) Mostrar como este nuevo elemento \( b_2 \) si bien pertenece a \( P(N) \) NO ESTA EN LA LISTA. Por tanto, se puede considerar, para nuestra nueva lista ampliada, SU CONJUNTO B.

Spoiler

Aquí, Luís, me has dicho esto:

No. MAl. Eso no es el argumento diagonal. Esa no es la construcción de ese B. Sería:

1 NO está en su imagen {3,7,8,...} por tanto 1∈B.
2 SI está en su imagen {2,4,6,8,...} por tanto 2∉B
3 SI está en su imagen {1,3,5,7,9,...} por tanto 3∉B

y así sucesivamente. De momento sabríamos que B tiene el elemento 1 pero no el 2,3.

Lo que pones a continuación ya ni lo comento, porque parte de una descripción e interpretación MUY errónea de lo que se supone que hace Cantor.

Citar
Pero al llegar a este punto es donde dudo y considero que Cantor pega un salto discutible: ¿Acaso el conjunto B no aparece en todas las listas finitas posibles precisamente porque son listas finitas, no simplemente porque sea una propiedad del emparejamiento entre ambos conjuntos?

Si lo haces bien, como te he indicado, verás que B no aparece en ninguna lista.

Es verdad, el ejemplo está muy mal escogido y no es lo que quería decir. Ya lo corregiré. Mejor este:

Empezamos listando 3 elementos de \( P(N) \), \( \left\{{1}\right\},\left\{{1,2}\right\},\left\{{1,2,3}\right\} \), de este modo:

\( 1\Rightarrow{{\left\{{1}\right\}}} \)

\( 2\Rightarrow{{\left\{{1,2}\right\}}} \)

\( 3\Rightarrow{{\left\{{1,2,3}\right\}}} \)

Con esta primera lista obtenemos por diagonalización el elemento \( a_1=\left\{{1,2,3}\right\} \), que es imagen de 3 y por tanto está en nuestra lista. Entonces le aplicamos una transformación mecánica, por ejemplo, sumamos 3 a cada una de sus cifras. Entonces obtenemos un nuevo elemento de \( P(N) \): \( b_1=\left\{{4,5,6}\right\}.  \)

Este elemento \( b_1 \) no está en nuestra lista, y dado que ninguno de sus elementos tampoco está en nuestra lista, entonces lo podemos considerar el conjunto \( B \). Al menos para esta primera lista que hemos elaborado de 3 elementos.

Por tanto el conjunto B es el elemento \( b_1 \) y este conjunto aunque aparece al elaborar esta lista concreta de 3 elementos, y por tanto esté asociado a él en tal sentido, NO PERTENECE A LA LISTA. Yo esto siempre lo he tenido claro, lo digo para que no haya confusiones.

Entonces, como esta lista de 3 elementos se puede ampliar introduciendo otro elemento, ampliamos la lista introduciendo precisamente este elemento \( b_1 \). Haciendo tal ampliación el elemento \( b_1 \) ya no es el conjunto B de esta nueva lista de 4 elementos. Sin embargo esta nueva lista puede generar, por diagonalización, un nuevo elemento \( b_2 \), que actuará como su conjunto B asociado.

Y ciertamente esto se puede hacer tantas veces como queramos, generando infinitas listas finitas, cada una de ellas con su propio conjunto B asociado ¡ Y que además será diferente en cada lista elaborada!

Y es entonces cuando Cantor dice: supongamos que después de todo esto terminamos listando los infinitos elementos de \( P(N) \). En tal caso esta lista infinita tendrá su conjunto B (supongo que esto es lo que me decía Goemétrecat) , el cual entra en contradicción con el hecho de que esa lista sea completa como hemos supuesto. Y de aquí la conclusión de que \( P(N) \) no es numerable o listable.

Explico un poco más esto fuera del spoiler porque dudo de ello

[cerrar]

12. Mostrar, como se ha avanzado en el spoiler anterior, que esta ampliación es siempre posible generando cada vez listas más largas; y cada una de ellas generará su propio conjunto B, como un elemento que no se encuentra en esa lista. 

13. Indicar, pues, que al generar una lista finita de elementos de \( P(N) \), por ejemplo, se genera un conjunto \( B \) como un elemento de \( P(N) \) que no se encuentra en la lista. Y sin embargo, al ser esa lista finita, es posible ampliarla introduciendo este elemento. Y ello genera un nuevo y diferente conjunto \( B \), como elemento de \( P(N) \) que no se encuentra en esta nueva lista ampliada.

14. Mostrar, por tanto, que la diagonalización es un proceso perfectamente inductivo: lo que sucede en una lista de \( n \) elementos, también sucede en una lista de \( n+1 \) elementos; la aparición de un conjunto \( B \) asociado, como un elemento de \( P(N) \) que no está en esa lista.   

15. Presentar el salto que pega Cantor:

Dado que que cualquier lista finita que hagamos de elementos de \( P(N) \) tiene asociada un conjunto \( B \) propio, como elemento de \( P(N) \) que no contiene esa lista, entonces Cantor deduce por inducción que si suponemos la existencia de la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \), esta lista también tendrá su conjunto \( B \) asociado, como un elemento de \( P(N) \) que no está en la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \). Hecho que es contradictorio y le lleva a considerar que siempre habrá un conjunto B, que como elemento de \( P(N) \), que no puede ser listado.

Spoiler

Supongo que esto es lo que me quería decir geómetrecat: que al suponer la lista de todos los infinitos elementos de P(N) entonces ésta tiene asociado un conjunto B como elemento de P(N) que no está en esa lista. Y no lo entendía porque me falta todo lo anterior.

[cerrar]

16. Señalar que Cantor presupone, pienso que arbitrariamente, la existencia de una única y especial lista de elementos de \( P(N) \), completamente distinta a todas las demás: es la lista que ya no puede crecer ni ampliarse más. Así parece tratar Cantor la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \). ¿Es correcta esa suposición implícita que encontramos en la formulación del teorema de Cantor? ¿No será un apetición de principio? ¿No es un partir de la premisa que lo infinito es, paradójicamente, algo final y definitivo y por eso llega precisamente a una paradoja? 

17. Mostrar que este tipo de infinitas listas finitas con las que Cantor estructura su razonamiento se pueden pensar, como mínimo, de dos formas:

Una como hace Cantor: atendiendo, solamente, que cualquiera de esas listas finitas que hagamos de elementos de \( P(N) \) siempre tendrá asociada un conjunto B propio, como elemento de \( P(N) \) que no está en la misma lista. 

\( Otra como he intentado plantear des del inicio: \) si bien cualquier listado que hagamos tendrá asociado un conjunto B, como elemento de \( P(N) \) que no está en esa lista, también es cierto que siempre podemos ampliar la lista y listarlo, puesto que no existe un número último y definitivo de listas posibles al ser infinitos los elementos de \( P(N) \), y también los numerales.

18. Mostrar, pues, que si suponemos la existencia de la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \), es lícito pensar que no es una lista cerrada, con lo cual podemos pensar que esa lista que nunca es definitiva, por ser infinita, contiene y no contiene el conjunto B, como un elemento de \( P(A) \). Por consiguiente, lo que hace Cantor es tomar sólo la primera opción de las tres posibles que apunto:
 
a) Que la lista de los infinitos de los elementos de \( P(N) \) es cerrada o definitiva y por tanto de una categoría diferente que todas las demás, por así decirlo, y tiene asociado un conjunto \( B \), como elemento de \( P(N) \) que no está en esa lista.

b) Que la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \) también se considera cerrada o completa y, por ello, de una categoría diferente a todas las demás listas finitas posibles, sin embargo tiene la peculiaridad de que el conjunto \( B \) se ha disuelto y no existe porque se considera que, tarde o temprano, todos los elementos de \( P(N) \) terminarán en alguna lista de las infinitas posibles. Es lo que intenté elaborar un poco con el primer post.

c) Que la lista de todos los infinitos elementos de \( P(N) \) nunca, nunca, será completa y cerrada, sino que es propiamente "un ampliar indefinido", con lo cual se puede considerar que esa lista tiene y no tiene asociado un conjunto B, como elemento de \( P(N) \) que no está en la lista. Esta es una idea que también he tanteado y me parece perfectamente lícita.

Un saludo