Hola.
Discrepo rotundamente: que acierte dos de cada tres veces es por definición la probabilidad de cruz.
Imagina que la bella durmiente no conoce siquiera las reglas del juego. Sólo sabe que le preguntan si A o B (sin hablarle siquiera de una moneda) y ella responde al azar, pero se anota el resultado correcto que le dicen en una libreta. Con el tiempo, ve que sale A una de cada tres veces, luego concluye que la probabilidad de A es de 1/3, pero entonces llegas tú y tratas de convencerla de que, aunque ella tiene evidencias incuestionables de que sale A con probabilidad 1/3, en realidad la probabilidad de A es 1/2 por toda una historia de sueños y drogas y monedas de la que ella no sabe nada. Pues te tomará por un chalado y te dirá: bueno, tú di lo que quieras sobre bellas durmientes y caperucitas rojas, que yo me fío de mi libreta.
Quiero decir que, desde el punto de vista de la bella durmiente, sin saber nada más que lo que observa, la probabilidad que observa es 1/3 - 2/3.
O dicho de otro modo: tu observas un fenómeno físico que da un resultado A una de cada tres veces y B una de cada dos veces. Concluyes como buen físico que sucede A con probabilidad 1/3, pero entonces viene un cura y te dice que te equivocas, porque Dios genera ese fenómeno tirando una moneda y haciendo no sé qué más, y la probabilidad es 1/2. ¡Pues no! Dios puede jugar a los dados, o a cara o cruz o a lo que quiera, pero si tú observas una frecuencia de 1/3, la probabilidad es 1/3.
Acepto la discrepancia, y entiendo perfectamente el caso que me comentas.
Efectivamente, yo también me llamaría a mi mismo loco en este caso, pero no me parece el caso del experimento que se discutía al principio. Yo observo cierta frecuencia con la que ocurre un suceso porque efectivamente no tengo una visión completa del experimento y para mi cada vez que despierto es un nuevo experimento independiente de los demás. Entonces, desde este punto de vista la pregunta que se me hace es: ¿Con que frecuencia/probabilidad observas que sucede el suceso A? Y, claramente, en este contexto no tengo otra opción que responder que es 1/3.
Ahora bien, si los experimentadores me contaran como se está realizando el experimento o bajara el mismo Dios y me lo explicara, entonces podrían hacerme una nueva pregunta que antes no podía responder. Ahora, sabiendo como ocurre todo (supongamos que es el mismo experimento de la Bella Durmiente que repetimos durante muchas semanas), podrían preguntarme: ¿Con que frecuencia/probabilidad observas que sale cara cada vez que te despertamos? O bien, podrían preguntarme: ¿Qué probabilidad hay de que haya salido cara esta vez?
A la primera pregunta la respuesta sigue siendo 1/3, pues ciertamente por cada cruz me despiertan el doble de veces que por cada cara, pero la respuesta a la primera pregunta es siempre 1/2, pues la moneda es la que es y cada vez que me despiertan se que se ha lanzado una moneda en algún momento del pasado (aunque no sepa en que semana estoy o si es lunes o martes) y se su probabilidad.
Entonces, como en la situación en la que estamos la Bella conoce perfectamente el experimento, la única aleatoriedad del mismo la introduce la moneda, no el número de veces que sea entrevistada esa semana. Como yo lo veo, no se puede considerar que cada vez que se despierta es un nuevo experimento, pues la condiciones no son idénticas, puesto que algunas veces que se despierta se ha lanzado una moneda justo antes de la entrevista y otras veces no, y es por eso que considero que el experimento es desde un lanzamiento de moneda hasta el siguiente. Y, en dicho caso, el experimento al final no es más que lanzar una moneda pero adornado de muchas otras cosas.
Pongo yo también una analogía física.
De un sistema físico conoces todos los detalles del mismo y sabes que la única fuente de incertidumbre es cierto fenómeno aleatorio que sabes que tiene dos estados equiprobables A y B, de modo que B engloba que sucedan dos sucesos distintos B1 y B2. Al estudiar dicho fenómeno, para mi la probabilidad de que ocurra B1 o de que ocurra B2 es la misma que la de que ocurra B, puesto que no puede suceder B1 ni B2 si no sucede B. Al estudiar este fenómeno, por tanto, consideraría que la incertidumbre viene únicamente de no saber si va a ocurrir A o B, pero que si al ocurrir B se dan dos fenómenos distintos en lugar de uno solo, no cambia en nada la incertidumbre. Si en lugar de B ocurriera otro fenómeno C, indivisible, desde el punto de vista de la incertidumbre de que va a ocurrir estaría en el mismo caso.
Pues así veo yo el experimento de la Bella Durmiente. Entiendo bien la objeción que pones, pero a mi juicio trabajar como comentas es, precisamente, despojar a la Bella de la información que tiene sobre el experimento. Es buscar un comportamiento frecuentista donde no lo hay, pues la aleatoriedad la introduce la moneda, no el hecho de que en función de su resultado pasen unas cosas u otras que están perfectamente determinadas en cada caso.
Ahora bien, como ya dije al comienzo del post, que discrepemos en la interpretación es algo meramente filosófico y entiendo que se pueda pensar del modo en que comentas, pero a mi no me convence verlo así por todo lo que he expuesto, aunque no me exprese tan bien como tú
En la página de wikipedia hay un problema análogo interesante (lo modifico ligeramente):
Un marinero tiene dos novias en dos puertos, A y B, y no sabe si tener un hijo o dos. Así que decide lanzar una moneda: si sale cara tendrá un hijo con A y si sale cruz uno con A y otro con B. Así lo hace. Pasado el tiempo, un chico se entera de que su padre, ya fallecido, era ese marinero y sabe cómo se decidió, pero no sabe si salió cara o cruz ni si su madre era A o B. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga un hermanastro?
Decir que es el 50% porque si salió cara es hijo único y si salió cruz tiene hermanastro no me parece correcto. Si hubiera 100 marineros que hubieran hecho lo mismo, tendrían unos 150 hijos, de los cuales 100 tendrían hermanastro, luego la probabilidad de tener un hermanastro es de 2/3.
Nuevamente tenemos que un fenómeno aleatorio con probabilidad 1/2 genera otro fenómeno aleatorio con probabilidades distintas, porque, de nuevo, el caso cruz genera dos experimentos y el caso cara sólo uno.
De nuevo, vuelvo a discrepar. ¿Realmente si tu fueras el hijo del marinero pensarías que la probabilidad de tener un hermanastro es 2/3?
Quiero decir, tu sabes que si salió cara no tienes ningún hermano. Si salió cruz si lo tienes. De nuevo, la aleatoriedad está en la moneda y que 100 marineros hagan el mismo juego (cruel) solo muestra que más o menos la mitad de marineros solo tendrá un hijo, y la otra mitad tendrá dos. Si yo fuera cualquiera de esos hijos, se que tengo un hermano con un 50% de probabilidades. Me da lo mismo lo que hayan hecho el resto de marineros, eso no afectará a que yo tenga o no un hermano, lo único que afecta a esto es que en la moneda saliera cara o cruz.
Un saludo.
EDITO: Respondiendo a Luis:
Si para ti la forma empírica de hacer la estadística del problema, es contar cada semana como UN intento, independientemente de que esa semana se haya entrevistado una o veinte veces a la bella durmiente (digo veinte para poner más de manifiesto el contraste), pues poco que discutir.
A mi me parece una forma poco natural de entender la cuestión; casi diría que extravagante. 
Pero, la razón por la que pienso esto es que para mi un nuevo experimento no empieza de nuevo hasta que no se repite todo en las mismas condiciones, y eso ocurre cuando se vuelve a lanzar la moneda y todo comienza nuevamente. Creo que en este mensaje he explicado un poco mejor la situación, aunque tampoco sea el mejor explicándome como ya dije
