No entiendo como puedes decir que primero el campo por debajo de la placa es constante y luego dices que es cero (lo puesto en rojo) no entiendo como llegas a eso.
vayamos por partes si puedo aclarar algo, para no confundir x o z digamos LC lado carga vs LV Lado vacio
si se induce carga en el LC esta es igual a la de la carga puntual pero de signo contrario osea \( -Q \)
para mantener el potencial del conductor el LV debe cargarse con \( +Q \),
Luego la carga neta de la placa es \( 0=+Q-Q \)
la superficie del plano cargado es lado por lado, y ambos lado tiene dimensión infinita luego la superficie de mide \( l^2=\infty \)
la densidad de carga es la carga de la superficie dividido el área si la consideramos constante. Entonces \( \sigma_{LV}=\displaystyle\lim_{l\to\infty}\dfrac{+Q}{l^2}=\dfrac{+Q}{\infty}=0 \) por eso digo que es nula la densidad, y por eso es nulo el campo, y como esta condición no varia en el tiempo también digo que es constante. \( \dfrac{d(\sigma_{LV})}{dt}=0 \)
Del otro lado también la
densidad es constante en el tiempo, mientras la carga no se mueva , lo que no es constante es la función \( \sigma_{LC}=f(r)=-\dfrac 1{2\pi}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \) es decir que la carga se distribuye simetricamente respecto al eje perpendicular al plano que pasa por la carga.*
corregida
Tomando un cilindro como superficie de Gauss con una tapa en el interior del conductor y la otra en el semiespacio inferior, obtenemos que solo hay flujo en la tapa inferior y por la uniformidad es constante.
El campo en el exterior no depende de la distancia a la placa y sería como el generado por una placa infinita cargada uniformemente
A ver del lado LV si es correcto que
\( E=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_o} \)
pero como dije si la superficie es infinita sigma es nulo luego E es nulo y constante en el tiempo, y constante radialmente.
pero del lado LC
definamos una tapa ubicada a un radio r del eje de simetría, con un radio R de la propia tapa
\( \displaystyle \iint_{S_{(r,R)}} \vec E \cdot d\vec s =f(r,R)\neq 0 \)
vemos que el flujo sobre la tapa depende de la posición y diámetro de la tapa, luego aplicando Gauss sabemos que la carga en esa superficie no esta distribuida uniformemente, contrariamente a lo que afirmas , sino que tiene una simetría radial.
Lo que si tiene que ser cero es la carga total en la lámina, pero en principio la distribución en cada cara no creo que sea evidente de ver.
Correcto, lo dije antes la carga total de la lamina es 0, la cara LV tiene carga +Q y la cara LC -Q, la distribución de cada una es independiente de la otra, ya que las cargas se acomodan para que las componentes paralelas al plano del campo eléctrico sean nulas, (sino habría corriente circulando), luego siempre el campo es perpendicular al la superficie justo en el plano, pero en el lado LC el campo electrico no es perpendicular en todo el semiespacio mas allá de ese borde. (excepto el eje central que pasa por la carga)
Para que tu última propuesta para el campo fuera correcta faltaría comprobar que la carga total en la lámina es cero.
\( 0=\displaystyle {\underbrace{\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}\sigma_{LC}(r) dr\,d\theta}_{-Q}+ \underbrace{ \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}\sigma_{LV} dr\,d\theta}_{+Q}} \)
\( 0=-Q+Q \to cqd \)
Si se puede plantear la ecuación de Poisson, de hecho se plantea para cargas puntuales (que no tienen dimensiones) con ayuda de la delta de Kronecker
Para una carga puntual en \( \vec{r}_o \), sería:
\( \nabla ^2 V=\displaystyle\frac{q}{\epsilon_o}\delta(\vec{r}-\vec{r}_o) \)
La idealización no es errónea, y creo que no es necesario suponer la lamina con espesor.
Bueno pero es lo que sucede en la vida real , no hay laminas monoatómicas de metal, y si idealizara una , no habría forma de hacer nulo el campo eléctrico en el interior del átomo, ya que este o bien queda neutro o cargado con electrones de mas o bien de menos.
Aún así los electrones o huecos del lado LV se distribuirán uniformemente, y los del lado LC se distribuirán simétrica y radialmente .
También habría que observar que existe una separación entre "electrones y huecos" del tamaño del átomo, luego el espesor , nulo no es, pero bueno me refiero a que no habría diferencia en el caso ideal al real
