Hola, disculpad la demora, veo que se ha dicho muchas cosas desde mi última intervención.
Lo que veo, la solución que plantea el compañero
Richard para el semiespacio de la carga es la misma que la solución que puso
sedeort en su primer mensaje ( para placa conectada a tierra que es bien conocida)
Asume, por tanto, que el campo es el mismo que el que habría si tuviéramos una placa conectada a tierra.
Aunque tienes unos fallos en el cálculo de densidad de carga en la cara superior, de la expresión de la componente x del campo en \( x=0^+ \), se obtiene la expresión que deduce
sedeort \( \sigma=- \displaystyle\frac{Qd}{2 \pi}\displaystyle\frac{1}{{(r^2+d^2)}^{3/2}} \)
y no:
Del otro lado también la densidad es constante en el tiempo, mientras la carga no se mueva , lo que no es constante es la función \( \sigma_{LC}=f(r)=-\dfrac 1{2\pi}\dfrac{2Q}{\sqrt{l^2+r^2}^2} \) es decir que la carga se distribuye simetricamente respecto al eje perpendicular al plano que pasa por la carga.
Faltaría un la distancia de la placa ala carga "l" en el numerador y la potencia de la raíz es 3. Pero esto solo es un detalle.
Lo importante es que asume que la solución en la cara superior es la misma que la del potencial a cero.
El inconveniente que le veo es en la cara inferior, es el mismo ya reseñado por
martiniano, que si el campo es cero, entonces la carga total de la placa debe ser cero también. pues su densidad de carga es cero (por el teorema de Gauss)
No veo bien que utilice \( \sigma \) de forma arbitraria para calcular la carga y el campo.
La idea de que en la cara inferior las cargas se distribuyan de forma uniforme parece lo lógico, pero no deja de ser una suposición.
Respecto a la idea de
martiniano de que la carga total no se conserva, da sus argumentos y de bastante peso, cierto que un infinito numerable más una cantidad finita sigue siendo el mismo infinito numerable ( se puede establecer una biyección) y desconozco los detalles de simetría que expone la matemátia E. Noheter para la conservación de la carga, cierto que una es que es sistema este aislado.
Pero no se hasta que punto un plano infinito no está aislado ( si suponemos que solo existe el plano infinito y la carga, entonces si está aislado). Aunque no se si la conservación de la carga se postula solo para sistemas finitos (supongo que si)
En cierto modo (y bien pensado) no me importaría nada asumir que la carga no se conserva.
Lo importante del asunto ,(que es mu matemático), es que la solución que se plantee satisfaga la unicidad de la solución, es decir cumpla la ecuación de Poisson del problema y sus condiciones de contorno.
Si asumimos que la placa es infinita, el problema se podría plantear, como
El mismo resuelto por
sedeort de placa atierra más una superposición de una solución de la placa sola sin la carga a potencial \( V_o \)
Este potencial se puede calcular sabiendo la carga de la placa.
Si asumimos que la placa no es infinita, entonces debemos asumir a ciencia cierta la conservación de la carga.
En ese caso la solución seria prácticamente la misma pero el rango de validez sería para puntos próximos a la placa en comparación con su tamaño muy alejados de los extremos, para evitar el efecto borde.
En ese caso también se podría resolver con la solución de placa a tierra y más un potencial \( V_o \)
Que en principio no tiene por que ser cero y proviene de la carga +Q uniformemente distribuida en la cara inferior.
La idea proviene del archivo adjunto(pag. 20 y 24 según el documento) de unos apuntes de la universidad de Sevilla, fijaros en el ejemplo de la esfera conectada a un potencial V_o y la siguiente la esfera cargada y aislada ( serían problemas idénticos)
Saludos.
AÑADIDO
P.D.: Se me olvido subir el archivo. Gracias Martiniano 
