Autor Tema: Carga frente a plano metálico.

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07 Diciembre, 2019, 01:46 am
Respuesta #20

Richard R Richard

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Entiendo lo que estás pensando pero no creo que sea correcto. Si tienes una carga enfrentada a una placa conductora, plana e infinita y pretendes calcular el campo del lado de la placa no veo que la placa la puedas substituir por otra cosa que no sea otra carga de mismo valor absoluto a la que te dan y de signo opuesto situada en el punto simétrico


Hasta allí comparto

más una distribución de carga plana, infinita y uniforme paralela a la placa.

pero esto no, eso se sa del lado opuesto, la carga distribuida tiene el mismo signo que la puntual  ,pero no del lado de la carga, que tiene signo opuesto a la carga puntual


Es imposible conseguir así que la integral de la densidad de carga en toda la placa sea cero, que diría que es lo que pretendes.


La integral de la densidad de carga sobre toda la superficie no es cero ni tiene que serlo, sino -Q.


Diría que lo que cabe esperar es que las cargas positivas se dirijan hacia una de las caras de la placa y las negativas hacia la otra.

Si eso es correcto y ocurre, pero del lado opuesto reitero es uniforme, pues el campo eléctrico en el interior del conductor es nulo, y no tiene forma de "enterarse" entonces la superficie opuesta de como es la distribución de la cara opuesta, por lo que todas las cargas se distribuyen uniformemente sobre la superficie, como la superficie tiene sus dimensiones infinitas, la densidad de carga distribuida se hace cero, y el campo creado por estas tambien.


Opino que algo no has debido razonar bien porque ese campo no parece que sea perpendicular a la placa conductora en los puntos de su superficie, ¿verdad, o me equivoco?

Un saludo.  ;)

Si, si no era perpendicular pero fijate que lo he editado y lo he mejorado en precisión

tiene que ser simétrico para x=0  y las componentes en y, y z cuando x=0 deberían darme nulas, de ese modo sería perpendicular a la superficie yz 
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

07 Diciembre, 2019, 08:33 am
Respuesta #21

sedeort

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Creo que esto es una pequeña revolución del tema (si se acepta), jeje.

A ver qué os parece este planteamiento:
"La redistribución de las cargas en cada punto del plano será tal que el campo eléctrico "interno" generado en ese punto anule la componente sobre el plano del campo eléctrico externo."
No sé si me he explicado claramente.



Para trabajar este planteamiento en un modelo más sencillo os propongo que resolváis primero un caso de una dimensión:
Calcular la redistribución de carga de una varilla metálica finita alineada con un campo eléctrico externo constante en módulo y sentido.

07 Diciembre, 2019, 09:50 am
Respuesta #22

robinlambada

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Hola:
Pensando el problema de la placa aislada y neutra, lo que se me ocurre para utilizar el método de las imágenes es una secuencia infinita de cargas imágenes de signo alternado para que su carga neta sea cero,
a distancias la 2ª y sucesivas a distancia doble que la primera carga imagen.

Creo que así se garantiza las dos condiciones fundamentales que son, que el plano de la placa conductora z=0, sea equipotencial y que la carga neta en la placa sea nula.

Lo que no acaba de convencerme de tu argumento, si es que lo he entendido bien (es posible que no), es lo de introducir cargas en la región en la que se desea calcular el campo. No creo que eso sea correcto ya que pienso que haciéndolo se podría contradecir la unicidad de la función potencial, que diría que es en lo que se basa esto de las imágenes.
No, no lo has entendido, tienes razón que no se debe poner cargas en la región donde se debe calcular el potencial , ya que cambia la ecuación de Poisson, por ello yo he limitado el problema al semiespacio superior donde se encuentra la carga, en \( z>0 \)

Volviendo a tu idea de que el potencial de la placa debe ser cero, esto tiene mucho sentido a priori, puesto que el origen de potencial es arbitrario y puedo tomarlo cero en un punto concreto del espacio ( a distancia tendiendo a infinito del origen de referencia) y parece lógico pensar que los puntos de la placa que están a infinita distancia deben tener también potencial cero, pero ojo esto no lo veo yo tan claro, ya que el potencial esta definido salvo por una constante de integración y basta imponer que el potencial sea cero en un punto concreto y no en una región del espació (por ejemplo una superficie esférica de radio infinito, sino en un punto concreto de dicha superficie  esférica) cuidado por que el problema no tiene simetría esférica.

Esto lo digo porque si el problema fuera planteado como el inicial, con la placa conectada a tierra, entonces la solución conlleva a que se genera carga neta en la placa de signo opuesta y el mismo valor que la externa, y en el caso que nos ocupa la placa mantiene nula su carga total, por estar aislada.

Lo único seguro que tenemos es que la carga den la placa en nula y su potencial constante.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

07 Diciembre, 2019, 10:26 am
Respuesta #23

robinlambada

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Diría que lo que cabe esperar es que las cargas positivas se dirijan hacia una de las caras de la placa y las negativas hacia la otra.

Si eso es correcto y ocurre, pero del lado opuesto reitero es uniforme, pues el campo eléctrico en el interior del conductor es nulo, y no tiene forma de "enterarse" entonces la superficie opuesta de como es la distribución de la cara opuesta, por lo que todas las cargas se distribuyen uniformemente sobre la superficie, como la superficie tiene sus dimensiones infinitas, la densidad de carga distribuida se hace cero, y el campo creado por estas tambien.
Creo entender que piensas que la distribución de carga en la cara opuesta a la carga en la placa es uniforme debido a que el campo en su  interior debe ser cero, pero esto no es debido a la uniformidad de las cargas negativas, esto es debido a que la superficie conductora es equipotencial y en el interior del conductor no hay cargas, si aplicas la ecuación de Laplace obtienes el campo nulo en el interior.

Igual que las cargas en la cara superior (z>0 donde esta la carga q) se redistribuyen debido a la presencia de q, igual pasa con las cargas de la cara inferior se deben redistribuir para que el campo en el interior siga siendo cero.

Entiendo que cuando dices una distribución de cargas en la cara opuesta, te refieres a una distribución únicamente de cargas del mismo signo ¿Es así?

Si así fuera, entonces el campo en el semiespacio inferior no sería cero, sino constante , el que genera una placa cargada con carga neta.

Tomando un cilindro como superficie de Gauss con una tapa en el interior del conductor y la otra en el semiespacio inferior, obtenemos que solo hay flujo en la tapa inferior y por la uniformidad es constante.

El campo en el exterior no depende de la distancia a la placa y sería como el generado por una placa infinita cargada unifórmente

\( E=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_o} \)

Pero igual no te he entendido bien


Volviendo a la idea de la lamina sin espesor, me parece muy atractiva la idea que propone sedeort de la distribución radial de carga.
Citar
Habrá máxima densidad de carga negativa en el punto central, el más cercano a +Q. Irá disminuyendo radialmente esta densidad hasta anularse, a cierta distancia del punto central. A partir de este radio empezará a aparecer densidad de carga positiva que se hará máxima a un radio superior. Y de ahí hasta el infinito irá disminuyendo esta densidad positiva hasta anularse.
La carga neta total en la región negativa ha de ser la misma que en la positiva. Para así mantener la neutralidad global de la placa.
Cualitativamente, yo lo veo así.

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07 Diciembre, 2019, 11:04 am
Respuesta #24

martiniano

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Hola.

No, no lo has entendido, tienes razón que no se debe poner cargas en la región donde se debe calcular el potencial , ya que cambia la ecuación de Poisson, por ello yo he limitado el problema al semiespacio superior donde se encuentra la carga, en \( z>0 \)

Pero es que si pones cargas en el semiespacio en el que no está la carga del enunciado distintas a su "simétrica", entonces el plano de la placa deja de ser equipotencial. ¿No?

Lo único seguro que tenemos es que la carga den la placa en nula y su potencial constante.

No estoy de acuerdo en lo que he subrayado. Entiendo que parezca extraño. Lo que yo pienso es que la placa sólo se puede substituir por la "simétrica" de la carga que nos dan y una distribución de carga plana, uniforme e infinita paralela a la placa. En cualquier otro caso, o bien el plano de la placa deja de ser equipotencial, o bien se cambian las condiciones en el semiespacio de la carga. Haciendo esa substitución es imposible que la carga neta en la cara de la placa que da a la carga sea cero.

Un saludo.

07 Diciembre, 2019, 11:06 am
Respuesta #25

Richard R Richard

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Creo entender que piensas que la distribución de carga en la cara opuesta a la carga en la placa es uniforme debido a que el campo en su  interior debe ser cero, pero esto no es debido a la uniformidad de las cargas negativas, esto es debido a que la superficie conductora es equipotencial y en el interior del conductor no hay cargas, si aplicas la ecuación de Laplace obtienes el campo nulo en el interior.

Antetodo, disculpa si no soy muy didáctico, pero sí, lo puedes ver de ese modo, es correcto.

Igual que las cargas en la cara superior (z>0 donde esta la carga q) se redistribuyen debido a la presencia de q, igual pasa con las cargas de la cara inferior se deben redistribuir para que el campo en el interior siga siendo cero.

Entiendo que cuando dices una distribución de cargas en la cara opuesta, te refieres a una distribución únicamente de cargas del mismo signo ¿Es así?
Sí, del mismo signo.

Si así fuera, entonces el campo en el semiespacio inferior no sería cero, sino constante , el que genera una placa cargada con carga neta.
Aqui no me doy cuenta si lo dices par el lado donde está la carga o hacia el otro, en el lado de la carga ya se demostró que el campo no es constante, y del otro lado si es constante, por ser un conductor infinito(ideal) su superficie es tan grande que su densidad superficial se anula y luego el campo de ese lado es nulo.


Tomando un cilindro como superficie de Gauss con una tapa en el interior del conductor y la otra en el semiespacio inferior, obtenemos que solo hay flujo en la tapa inferior y por la uniformidad es constante.

El campo en el exterior no depende de la distancia a la placa y sería como el generado por una placa infinita cargada uniformemente


\( E=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_o} \)

Pero igual no te he entendido bien



He  preguntado , por las dudas y efectivamente , la carga encerrada por las superficies gaussianas sencillas como son los cilindros, no encierran siempre la misma carga el flujo del campo no es constante, varia con la posición y el radio del cilindro , esto visto del lado x>0 o z>0 como tu lo pones


lo que es constante es la carga total en la superficie si haces

\(
\displaystyle \int_0^\infty \!\! \sigma_{(r)}\,(2 \pi r\, dr) \longrightarrow -Q \)

obtienes \(  -Q \) si integras la densidad en toda la superficie, pero \(  \sigma_{(r)} \) no es constante, lo es en cada circunferencia \( r=cte \)




Volviendo a la idea de la lamina sin espesor, me parece muy atractiva la idea que propone sedeort de la distribución radial de carga.

La idealización de sedeort que no veo donde lo dice "sin espesor" las cargas positivas están el el mismo plano que las negativas, no puedes plantear Laplace, esa idealización es errónea.




Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

07 Diciembre, 2019, 11:39 am
Respuesta #26

sedeort

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El plano es plano, sin espesor, e infinito. Y las cargas que contiene se pueden imaginar como dos fluidos superficiales de carga, uno positivo y otro negativo. Todo ideal, como veis.
Como mucho podríamos permitir, simulando la estructura material metálica, que el fluido positivo permanezca fijo y homogéneo (como los cationes metalicos) y sólo pueda moverse el fluido negativo (como los electrones) bajo la acción del campo eléctrico. Es equivalente a que estén libres los dos, creo.
Yo no veo que un plano sin espesor pueda presentar distintas densidades de carga en sus dos caras.



Qué os parece la propuesta que hice en mi anterior mensaje. Los tiros podrían ir por ahí. No sé si la habéis tomado en cuenta.
"La redistribución de las cargas en cada punto del plano será tal que el campo eléctrico "interno" generado en ese punto anule la componente sobre el plano del campo eléctrico externo."
No sé si me he explicado claramente.

Para trabajar este planteamiento en un modelo más sencillo os propongo que resolváis primero un caso de una dimensión:
Calcular la redistribución de carga de una varilla metálica finita alineada con un campo eléctrico externo constante en módulo y sentido.

07 Diciembre, 2019, 12:53 pm
Respuesta #27

robinlambada

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Creo entender que piensas que la distribución de carga en la cara opuesta a la carga en la placa es uniforme debido a que el campo en su  interior debe ser cero, pero esto no es debido a la uniformidad de las cargas negativas, esto es debido a que la superficie conductora es equipotencial y en el interior del conductor no hay cargas, si aplicas la ecuación de Laplace obtienes el campo nulo en el interior.

Antetodo, disculpa si no soy muy didáctico, pero sí, lo puedes ver de ese modo, es correcto.
No, no es necesario que te disculpes, es un tema que requiere hilar fino, yo tampoco creo haber sido demasiado claro
Cita de: Richard R Richard
Si así fuera, entonces el campo en el semiespacio inferior no sería cero, sino constante , el que genera una placa cargada con carga neta.

Aqui no me doy cuenta si lo dices par el lado donde está la carga o hacia el otro, en el lado de la carga ya se demostró que el campo no es constante, y del otro lado si es constante, por ser un conductor infinito(ideal) su superficie es tan grande que su densidad superficial se anula y luego el campo de ese lado es nulo.
Es el lado donde NO está la carga el semiespacio inferior, (creo que la confusión puede venir de que yo tomo el plano en z=0 y tu en x=0)

No entiendo como puedes decir que primero el campo por debajo de la placa es constante y luego dices que es cero (lo puesto en rojo) no entiendo como llegas a eso.

Creo entender que tu distribución sería como la de este dibujo
DIBUJO

[cerrar]
Si aplicamos el teorema de Gauss, como dije, solo hay flujo en la tapa inferior del cilindro y si la carga se supone distribuida uniformemente como propones el campo en la tapa es constante y no depende de la  de la posición. Sería que crea una lamina cargada.

Citar


Tomando un cilindro como superficie de Gauss con una tapa en el interior del conductor y la otra en el semiespacio inferior, obtenemos que solo hay flujo en la tapa inferior y por la uniformidad es constante.

El campo en el exterior no depende de la distancia a la placa y sería como el generado por una placa infinita cargada uniformemente


\( E=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_o} \)

Pero igual no te he entendido bien
Imagen

[cerrar]
He  preguntado , por las dudas y efectivamente , la carga encerrada por las superficies gaussianas sencillas como son los cilindros, no encierran siempre la misma carga el flujo del campo no es constante, varia con la posición y el radio del cilindro , esto visto del lado x>0 o z>0 como tu lo pones


lo que es constante es la carga total en la superficie si haces

\(
\displaystyle \int_0^\infty \!\! \sigma_{(r)}\,(2 \pi r\, dr) \longrightarrow -Q \)

obtienes \(  -Q \) si integras la densidad en toda la superficie, pero \(  \sigma_{(r)} \) no es constante, lo es en cada circunferencia \( r=cte \)

Lo que si tiene que ser cero es la carga total en la lámina, pero en principio la distribución en cada cara no creo que sea evidente de ver.

Para que tu última propuesta para el campo fuera correcta faltaría comprobar que la carga total en la lámina es cero.
Citar

Volviendo a la idea de la lamina sin espesor, me parece muy atractiva la idea que propone sedeort de la distribución radial de carga.

La idealización de sedeort que no veo donde lo dice "sin espesor" las cargas positivas están el el mismo plano que las negativas, no puedes plantear Laplace, esa idealización es errónea.
Si se puede plantear la ecuación de Poisson, de hecho se plantea para cargas puntuales (que no tienen dimensiones) con ayuda de la delta de Kronecker
Para una carga puntual en \( \vec{r}_o \), sería:

\( \nabla ^2 V=\displaystyle\frac{q}{\epsilon_o}\delta(\vec{r}-\vec{r}_o) \)

La idealización no es erronea, y creo que no es necesario suponer la lamina con espesor.
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07 Diciembre, 2019, 01:26 pm
Respuesta #28

robinlambada

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Hola.

No, no lo has entendido, tienes razón que no se debe poner cargas en la región donde se debe calcular el potencial , ya que cambia la ecuación de Poisson, por ello yo he limitado el problema al semiespacio superior donde se encuentra la carga, en \( z>0 \)

Pero es que si pones cargas en el semiespacio en el que no está la carga del enunciado distintas a su "simétrica", entonces el plano de la placa deja de ser equipotencial. ¿No?

No lo se ha ciencia cierta, el hecho es que las cargas se ponen de tal manera que es como si pusieras infinitas placas conductoras paralelas a la primera distanciadas 2d 
( siendo d la distancia de la carga original a la placa)

Habria que comprobar si el modelo es compatible  imponiendo que el potencial sea constante en la placa y resolverlo para z>0, pero se trata de una serie alternada que no se si de fácil suma.

Aunque estoy pensando en otro modelo más sencillo, una carga imagen situada en el punto reflejado de la carga por el plano de valor -q y un potencial \( V_o \) constante a determinar en la placa conductora.

Ahora no tengo tiempo de hacer cuentas, pero si más adelante llego a algo serio , lo planteo.
Citar


Lo único seguro que tenemos es que la carga de la placa es nula y su potencial constante.

No estoy de acuerdo en lo que he subrayado. Entiendo que parezca extraño. Lo que yo pienso es que la placa sólo se puede substituir por la "simétrica" de la carga que nos dan y una distribución de carga plana, uniforme e infinita paralela a la placa. En cualquier otro caso, o bien el plano de la placa deja de ser equipotencial, o bien se cambian las condiciones en el semiespacio de la carga. Haciendo esa substitución es imposible que la carga neta en la cara de la placa que da a la carga sea cero.

Un saludo.

La carga neta de la placa debe ser nula, ya que parte siendo nula y está aislada (la carga se conserva)

Un saludo.

P.D.: Te agradezco mucho tu punto de vista (siempre muy interesante), pues creo que eres matemático y tu visión matemática de la simetría en la distribución y tu razonamiento respecto al potencial en el infinito me ha hecho que pensar.

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07 Diciembre, 2019, 05:08 pm
Respuesta #29

Richard R Richard

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No entiendo como puedes decir que primero el campo por debajo de la placa es constante y luego dices que es cero (lo puesto en rojo) no entiendo como llegas a eso.


vayamos por partes si puedo aclarar algo, para no confundir x o z  digamos LC lado carga  vs LV Lado vacio

si se induce carga en el LC esta es igual a la de la carga puntual pero de signo contrario osea \( -Q \)

para mantener el potencial del conductor el LV debe cargarse con \( +Q  \),

Luego la carga neta de la placa es \( 0=+Q-Q \)

la superficie del plano cargado es lado por lado, y ambos lado tiene dimensión infinita luego la superficie de  mide \( l^2=\infty \)

la densidad de carga es la carga de la superficie dividido el área si la consideramos constante. Entonces \( \sigma_{LV}=\displaystyle\lim_{l\to\infty}\dfrac{+Q}{l^2}=\dfrac{+Q}{\infty}=0 \) por eso digo que es nula la densidad, y por eso es nulo el campo, y como esta condición no varia en el tiempo también digo que es constante. \( \dfrac{d(\sigma_{LV})}{dt}=0 \)

Del otro lado también la densidad es constante en el tiempo, mientras la carga no se mueva , lo que no es constante es la función \( \sigma_{LC}=f(r)=-\dfrac 1{2\pi}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \) es decir que la carga se distribuye simetricamente respecto al eje perpendicular al plano que pasa por la carga.*corregida



Tomando un cilindro como superficie de Gauss con una tapa en el interior del conductor y la otra en el semiespacio inferior, obtenemos que solo hay flujo en la tapa inferior y por la uniformidad es constante.

El campo en el exterior no depende de la distancia a la placa y sería como el generado por una placa infinita cargada uniformemente

A ver del lado LV si es correcto que


\( E=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_o} \)

pero como dije si la superficie es infinita  sigma es nulo luego E es nulo y constante en el tiempo, y constante radialmente.


pero del lado LC

definamos una tapa ubicada a un radio r del eje de simetría, con un radio R de la propia tapa

\( \displaystyle \iint_{S_{(r,R)}} \vec E \cdot d\vec s =f(r,R)\neq 0  \)

vemos que el flujo sobre la tapa depende de la posición y diámetro de la tapa, luego aplicando Gauss sabemos que la carga en esa superficie no esta distribuida uniformemente, contrariamente a lo que afirmas , sino que tiene una simetría radial.



Lo que si tiene que ser cero es la carga total en la lámina, pero en principio la distribución en cada cara no creo que sea evidente de ver.

Correcto, lo dije antes la carga total de la lamina es 0, la cara LV tiene carga +Q y la cara LC -Q, la distribución de cada una es independiente de la otra, ya que las cargas se acomodan para que las componentes paralelas al plano del campo eléctrico sean nulas, (sino habría corriente circulando), luego siempre el campo es perpendicular al la superficie justo en el plano, pero en el lado LC el campo electrico no es perpendicular en todo el semiespacio mas allá de ese borde. (excepto el eje central que pasa por la carga)

Para que tu última propuesta para el campo fuera correcta faltaría comprobar que la carga total en la lámina es cero.

\( 0=\displaystyle {\underbrace{\int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}\sigma_{LC}(r) dr\,d\theta}_{-Q}+ \underbrace{ \int_0^{2\pi}\int_0^{\infty}\sigma_{LV} dr\,d\theta}_{+Q}} \)


\(  0=-Q+Q \to cqd \)

Si se puede plantear la ecuación de Poisson, de hecho se plantea para cargas puntuales (que no tienen dimensiones) con ayuda de la delta de Kronecker
Para una carga puntual en \( \vec{r}_o \), sería:

\( \nabla ^2 V=\displaystyle\frac{q}{\epsilon_o}\delta(\vec{r}-\vec{r}_o) \)

La idealización no es errónea, y creo que no es necesario suponer la lamina con espesor.

Bueno pero es lo que sucede en la vida real , no hay laminas monoatómicas de metal,  y si idealizara una , no habría forma de hacer nulo el campo eléctrico en el interior del átomo, ya que este o bien queda neutro o cargado con electrones de mas o bien de menos.

Aún así los electrones o huecos  del lado LV se distribuirán uniformemente, y los del lado LC se distribuirán simétrica y radialmente .

También habría que observar que existe una separación entre "electrones y huecos" del tamaño del átomo, luego el espesor , nulo no es, pero bueno me refiero a que no habría diferencia en el caso ideal al real
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)