[sedeort]

Hola. Estoy dándole vueltas a un sencillo problema, en apariencia, pero que de momento no le consigo encontrar el planteamiento de resolución.

Se trata de una carga puntual +Q situada  a una distancia d de un plano metálico infinito aislado y neutro. Calcular la distribución de carga inducida en el plano.

Este problema lo he encontrado en la red, pero con la placa conectada a tierra, \( V=0 \). Aquí, la resolución es ayudándose del método de las imágenes. El resultado es que el campo y potencial eléctricos se pueden calcular sencillamente sustituyendo la placa por una carga \( -Q \) equivalente situada simétricamente al otro  lado. Queda finalmente que la placa se carga con esa \( -Q \) neta a través de su conexión con tierra y con una distribución no muy difícil de calcular. Pondré la resolución al final de este mensaje.

Pero en mi problema propuesto no existe tal conexión, la placa la consideramos aislada y neutra. La carga neta total será cero aunque sí se polarizará.
Y no creo que pueda aplicarse el método de las imágenes en este caso. Cómo  plantearíais vosotros?

Resolución del caso con la placa conectada a tierra
El método de las imágenes en este caso consiste en sustituir la placa metálica, coincidente con el plano \( z=0 \) y conectada a tierra \( (V=0) \), por una carga \( -Q \) en situada simétricamente al otro lado, \( -d \). De esta forma se sigue manteniendo que en la posición en la que estaba el plano el potencial eléctrico sigue siendo nulo. Pero este método va más allá y pronostica que en el resto del espacio también coinciden \( V \) y el vector \( E \) con esta sustitución.
Con las dos cargas únicamente es fácil calcular el potencial en cualquier punto \( P (x,y,z) \).
 \(  V= V_+ + V_-  \) ; con \( V_+ = \displaystyle\frac{+Q}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x^2+y^2+{(d-z)}^2}} \)      y       \( V_- = \displaystyle\frac{-Q}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{x^2+y^2+{(d+z)}^2}} \)
Derivando esta función \( V(x,y,z) \) respecto a z podemos obtener la componente z del vector campo eléctrico ya que  \( E_z=- \displaystyle\frac{dV}{dz} \)
Evaluándola en \( z=0 \) obtenemos el valor del campo eléctrico en la superficie de la placa.
                    \( E_z(z=0)=-\displaystyle\frac{2dQ}{4\pi\epsilon_0} \displaystyle\frac{1}{{(x^2+y^2+d^2)}^{3/2}} \)

Por otro lado, por la ley de Gauss, \( E_z(z=0)=\displaystyle\frac{\sigma}{\epsilon_0} \)
Igualando obtenemos la densidad superficial de carga sobre la placa:
\( \sigma=- \displaystyle\frac{Qd}{2 \pi}\displaystyle\frac{1}{{(r^2+d^2)}^{3/2}} \)
donde \( r \) es la coordenada radial con origen el punto del plano más próximo a +Q  \( (r^2=x^2+y^2) \)

Si integramos a toda la superficie obtenemos la carga total \( Q_s \) contenida en esta superficie y dada la evidente simetría radial \( \sigma=\sigma(r) \):
\( Q_s=\displaystyle\int_{S}^{}\sigma dS=2 \pi \displaystyle\int_{0}^{\infty} \sigma(r) r dr = -Q \)
O sea, la carga -Q ficticia que habíamos colocado en el otro semiespacio es con la que se carga realmente la placa a través de su conexión con la tierra cuando se alcanza el equilibrio.

[Richard R Richard]

Mi fuerte en física no es precisamente el electromagnetismo, pero entiendo que la distribución de cargas en el plano del lado de la carga es similar a lo que propone el problema que has visto y del otro lado la densidad de carga es constante \( \sigma=\dfrac QS \)

[sedeort]

Creo que no, Richard. Se entiende que la placa metálica no tiene espesor. La densidad de carga a ambos lados será la misma.

También debe obtenerse que la carga total de la placa, después de polarizarse debido a presencia de la carga externa +Q, seguirá siendo nula como al principio.

[robinlambada]

Hola, Ciertamente la placa debe considerarse sin espesor.
No Hacer caso se trata de un problema parecido, pero no es el propuesto

Spoiler

Para la solución del problema del conductor con potencial \( V_o\neq{0} \), se aplica el principio de superposición, es decir:

Primero se calcula el potencial en \( z>0 \) ( si el conductor esta en el plano \( z=0  \) y la carga en \( d>0 \)), por el método que has visto de las imágenes con \( V_o=0 \)

En segundo lugar se calcula el potencial creado solamente por un plano conductor ( sin la carga q ) con \( V_o\neq{0} \), sumando ambos resultados.

Saludos.

[cerrar]

[sedeort]

Gracias Robin y Richard por vuestras respuestas.

Sigo sin verlo claro.
Qué potencial constante no nulo pones para la placa?
Y para calcular el potencial que crea esta placa hay que conocer su distribución de carga ...

[martiniano]

Hola.

Lo que yo pienso es que el potencial de la placa es 0, ya que es constante en toda la placa por ser conductora y contiene puntos del infinito en el que el potencial es cero por definición. Es decir, al final yo lo resolvería exactamente igual que el de la placa conectada a tierra.

Un saludo.

[sedeort]

Hola Martiniano.
Cuando la placa se conecta a tierra, además de tener potencial cero (por definición de "tierra"), también pueden cederse cargas. Con lo que finalmente a la placa le entra una carga negativa (coincidente en módulo con la carga puntual que tiene enfrente)

En el caso que planteo de placa aislada, la carga neta final de la placa será cero. Pero su distribución de carga mostrará una previsible simetría radial (esta densidad de  carga será negativa en las proximidades de la carga puntual +Q y positiva a partir de cierto radio.
Creo...

[martiniano]

Hola.

Yo lo que creo es que si la placa es infinita, el cierto radio del que hablas en tu respuesta anterior es infinito. Es por ello entonces por lo que ambas situaciones son, en realidad, la misma.

Saludos.

[robinlambada]

Lo del spoiler hace referencia a otro problema, no tener en cuenta

Spoiler

Hola.

Lo que yo pienso es que el potencial de la placa es 0, ya que es constante en toda la placa por ser conductora y contiene puntos del infinito en el que el potencial es cero por definición. Es decir, al final yo lo resolvería exactamente igual que el de la placa conectada a tierra.

Un saludo.

No, en el  problema planteado el potencial de la placa no es cero, no es equivalente a este estuviera conectado a tierra.

Hola Martiniano.

En el caso que planteo de placa aislada, la carga neta final de la placa será cero. Pero su distribución de carga mostrará una previsible simetría radial (esta densidad de  carga será negativa en las proximidades de la carga puntual +Q y positiva a partir de cierto radio.
Creo...

No tiene por que ser cero la carga neta de la placa, de hecho no lo es pues genera un potencial \( V_o\neq{}0
 \)

Gracias Robin y Richard por vuestras respuestas.

Sigo sin verlo claro.
Qué potencial constante no nulo pones para la placa?

Da igual el valor concreto del potencial constante, este valor es irrelevante para calcular el potecial es z>0

Por ejemplo \( V(z=0)=V_o=cte. \)

Y para calcular el potencial que crea esta placa hay que conocer su distribución de carga ...

Si ,pero  por ser conductor sin considerar la carga externa q, la densidad de carga es uniforme.

El Campo creado por este conductor cargado se puede calcular por el teorema de Gauss, y este campo es constante de valor:

\( \overrightarrow{E}=\displaystyle\frac{\sigma}{2\epsilon_o} \overrightarrow{e_z}  \)

Integrando y teniendo en cuenta que \( V(z=0)=V_o=cte. \), obtienes el potencial en el espacio generado por la placa con potencial .

Ya solo debes sumar este resultado a producido por la carga y la placa con \( v_o=0 \)

Saludos.

[cerrar]

[Richard R Richard]

No, en el  problema planteado el potencial de la placa no es cero, no es equivalente a este estuviera conectado a tierra.

Hola yo veo que el potencial no es cero porque la carga no esta distribuida uniformemente, hay carga en de una de las superficies, si estuviera conectada a tierra habría carga solo en la superficie mas cercana a la carga, como el campo en el interior del conductor es nulo, la distribución de las cargas en esa superficie es independiente de que este conectada a tierra o no.
Y sí, considero que no hay conductores sin espesor, si el espesor es nulo las cargas positivas y negativas estarían sobre la misma linea y no habría campo externo por la carga inducida  lo que te lleva a una contradiccion, porque supones que el potencial es distinto de 0...

No tiene por que ser cero la carga neta de la placa, de hecho no lo es pues genera un potencial \( V_o\neq{}0
 \)

como no va a ser nula la carga total, ha donde se va la carga?... recuerda que no esta a tierra, la carga sobre una superficie es igual y de signo contrario a la de la otra superficie, pero distribuidas de distinta manera, el lado de la carga QW, se distribuye para crear lo mismo que el campo de un dipolo, en cambio el otro lado la distribución es uniforme, y el campo también lo es, si consideramos la superficie infinita.Esto es logico ya que si no no existirían las jaulas de faraday, en cuya superficie externa se carga con la carga Q pero al ponerla a tierra el campo externo desaparece pero el interno no se altera.

Si ,pero  por ser conductor sin considerar la carga externa q, la densidad de carga es uniforme.

El Campo creado por este conductor cargado se puede calcular por el teorema de Gauss, y este campo es constante de valor:

\( \overrightarrow{E}=\displaystyle\frac{\sigma}{2\epsilon_o} \overrightarrow{e_z}  \)

Integrando y teniendo en cuenta que \( V(z=0)=V_o=cte. \), obtienes el potencial en el espacio generado por la placa con potencial .

Ya solo debes sumar este resultado a producido por la carga y la placa con \( v_o=0 \)

Saludos.

si haces una superficie de Gauss que entre hasta la mitad de la superficie, y por fuera que no incluya la carga Q, veras que el flujo, cambia con la posición, la carga inducida no es constante con la posición y el campo tampoco, si lo es sobre la otra superficie del lado donde no esta la carga.

Sería sorpresa para mi que no fuera de ese modo...