[robinlambada]

No hacer caso

Spoiler

No, en el  problema planteado el potencial de la placa no es cero, no es equivalente a este estuviera conectado a tierra.

Hola yo veo que el potencial no es cero porque la carga no esta distribuida uniformemente, hay carga en de una de las superficies, si estuviera conectada a tierra habría carga solo en la superficie mas cercana a la carga, como el campo en el interior del conductor es nulo, la distribución de las cargas en esa superficie es independiente de que este conectada a tierra o no.

El motivo por que el potencial no es cero es tan sencillo como que así lo impone el enunciado, si es cierto que la presencia de la carga q hace que la distibución de carga del conductor varíe para que se mantenga constante su potencial.

Partamos del ejemplo de la placa conectada a tierra sin la carga q presente. Entonces la carga neta del conductor es cero, al introducir la carga puntual , esta provoca un campo que induce una carga contraria -q en el conductor para que vuelva a ser cero su potencial, hasta aquí de acuerdo contigo.

Pero si tenemos ahora una placa con potencial \( V_o\neq{0} \) ( sin la carga q todavía) la densidad de carga no es nula, es decir el conductor estará cargado para generar ese potencial \( V_o\neq{0} \)

Si ahora se le pone la carga externa, también se induce una carga añadida a la placa para que mantenga su potencial, esta carga viene de que para mantener su potencial por las condiciones del problema el conductor debe estar conectado a una fuente de tensión constante \( _Vo \)

Y sí, considero que no hay conductores sin espesor, si el espesor es nulo las cargas positivas y negativas estarían sobre la misma linea y no habría campo externo por la carga inducida  lo que te lleva a una contradiccion, porque supones que el potencial es distinto de 0...

Bueno el problema es una idealización, me refiero a que el espesor es despreciable , solo para considerar el campo en \( z=0^+ \), pero que la placa tenga espesor o no, no es relevante para la solución matemática.

Te recuerdo que el dipolo eléctrico tampoco tiene espesor y si crea un campo electrostático, por tanto tu razonamiento es falso.

No tiene por que ser cero la carga neta de la placa, de hecho no lo es pues genera un potencial \( V_o\neq{}0
 \)

como no va a ser nula la carga total, ha donde se va la carga?... recuerda que no esta a tierra, la carga sobre una superficie es igual y de signo contrario a la de la otra superficie, pero distribuidas de distinta manera, el lado de la carga QW, se distribuye para crear lo mismo que el campo de un dipolo, en cambio el otro lado la distribución es uniforme, y el campo también lo es, si consideramos la superficie infinita.Esto es logico ya que si no no existirían las jaulas de faraday, en cuya superficie externa se carga con la carga Q pero al ponerla a tierra el campo externo desaparece pero el interno no se altera.

Tu siempre puedes cargar un conductor con una carga neta distinta de cero.

La carga de una superficie es igual a la de la otra solo si el potencial es cero y además no hay campo eléctrico que perturbe  la distribución simétrica.

El problema plantea que el conductor esta a potencial \( V_o \), para que se mantenga siempre al mismo potencial ( a pesar de introducir cargas) debe estar conectado a una fuente de tensión, este circuito es el que permite que la carga neta del conductor varíe según las circustáncias para mantener su tensión.

De hecho cuando la placa esta conectada a tierra, también hay una carga inducida en el conductor por la presencia de la carga q externa.

En este caso es la tierra la que suministra o "roba" carga , en el segundo caso el la fuente de alimentación.

Si ,pero  por ser conductor sin considerar la carga externa q, la densidad de carga es uniforme.

El Campo creado por este conductor cargado se puede calcular por el teorema de Gauss, y este campo es constante de valor:

\( \overrightarrow{E}=\displaystyle\frac{\sigma}{2\epsilon_o} \overrightarrow{e_z}  \)

Integrando y teniendo en cuenta que \( V(z=0)=V_o=cte. \), obtienes el potencial en el espacio generado por la placa con potencial .

Ya solo debes sumar este resultado a producido por la carga y la placa con \( v_o=0 \)

Saludos.

si haces una superficie de Gauss que entre hasta la mitad de la superficie, y por fuera que no incluya la carga Q, veras que el flujo, cambia con la posición, la carga inducida no es constante con la posición y el campo tampoco, si lo es sobre la otra superficie del lado donde no esta la carga.

Sería sorpresa para mi que no fuera de ese modo...

No , la superficie de Gauus que hay que coger engloba a todo el conductor (las 2 caras), es un cilindro que la atraviesa.

Te dejo un enlace donde se calcula el campo creado por una lamina cargada uniformemente y verás que el campo en el exterior es constante. Es el fundamento del condensador plano paralelo.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/plano/plano.htm#Condensador%20de%20l%C3%A1minas%20paralelas

Saludos.

[cerrar]

[robinlambada]

No tiene por que ser cero la carga neta de la placa, de hecho no lo es pues genera un potencial \( V_o\neq{}0
 \)

como no va a ser nula la carga total, ha donde se va la carga?... recuerda que no esta a tierra, la carga sobre una superficie es igual y de signo contrario a la de la otra superficie, pero distribuidas de distinta manera, el lado de la carga QW, se distribuye para crear lo mismo que el campo de un dipolo, en cambio el otro lado la distribución es uniforme, y el campo también lo es, si consideramos la superficie infinita.Esto es logico ya que si no no existirían las jaulas de faraday, en cuya superficie externa se carga con la carga Q pero al ponerla a tierra el campo externo desaparece pero el interno no se altera.
e modo...

Se me paso comentar que el fundamento de la jaula de Faraday no tiene nada que ver con este problema,  en primer lugar la jaula de Faraday no tiene por que estar conectada a tierra y debe ser un recinto cerrado que rodee una porción del espacio (una superficie esférica, por ejemplo).

El fundamento de la jaula se basa en la ecuación de Laplace y en el hecho esencial que la distribución de carga en en conductor es siempre tal que la superficie de este es equipotencial.

Por tanto si no hay carga en el interior de la jaula y su superficie esta a potencial constante , el potencial en el interior siempre es constante y el campo en el interior es cero, independientemente de lo que pase en el exterior y de la carga neta del conductor.

Pero en este caso la placa infinita no es una superficie cerrada, por tanto no tiene sentido hablar de jaula de Faraday.

Si fuera así , entonces según tu el campo eléctrico entre las placas de con condensador plano paralelo infinito seria nulo, pues sería una jaula de Faraday (aunque una placa estuviera a tierra) Lo cual es evidentemente falso.

[martiniano]

Hola.

Hola.

Lo que yo pienso es que el potencial de la placa es 0, ya que es constante en toda la placa por ser conductora y contiene puntos del infinito en el que el potencial es cero por definición. Es decir, al final yo lo resolvería exactamente igual que el de la placa conectada a tierra.

Un saludo.

No, en el  problema planteado el potencial de la placa no es cero, no es equivalente a este estuviera conectado a tierra.

Mmmm... ¿Estás seguro?

Si el potencial de la placa no fuese cero, entonces por la definición de potencial sería necesario hacer un trabajo para mover una carga desde un punto de la placa hasta el infinito, pero la placa tiene puntos en el infinito, entonces habría dos puntos de la misma tales que sería necesario un trabajo para mover una carga entre ellos, pero la placa es conductora y, en teoría, no cuesta trabajo mover cargas a través de ella.

Es por ello por lo que a mí me parece contradictorio considerar que el potencial de una la placa plana conductora infinita es distinto de cero...

¿No te parece?

Un saludo.

[sedeort]

Esto es un problema ideal. Estamos considerando la placa metálica como un plano infinito, bidimensional, conteniendo un fluido de cargas positivas y negativas. Estas cargas están libres para moverse sólo en el plano, respondiendo a la acción de campos eléctricos.

En todo momento la carga neta del plano es cero porque inicialmente es así y porque está aislada.

Antes de poner la carga externa, la densidad de carga neta es también cero en todos los puntos del plano. Homogeneidad.

Cuando se coloca la carga externa, +Q, la placa se polariza, se redistribuyen sus cargas positivas y negativas. Pero la carga neta de la placa seguirá siendo cero (no está conectada a nada que le pueda dar o quitar ningún tipo de carga).
Habrá máxima densidad de carga negativa en el punto central, el más cercano a +Q. Irá disminuyendo radialmente esta densidad hasta anularse, a cierta distancia del punto central. A partir de este radio empezará a aparecer densidad de carga positiva que se hará máxima a un radio superior. Y de ahí hasta el infinito irá disminuyendo esta densidad positiva hasta anularse.
La carga neta total en la región negativa ha de ser la misma que en la positiva. Para así mantener la neutralidad global de la placa.
Cualitativamente, yo lo veo así.

Ahora todo esto hay que plasmarlo con ecuaciones y funciones para dar resultados cuantitativos.
Quién se atreve a intentar encontrar la expresión de la densidad superficial de carga en función del radio al punto central dadas +Q y d?

P.D. También creo que el resultado hay que darlo en función de la densidad inicial de carga positiva, o negativa (son iguales en un principio, cuando todo es homogéneo). ??

[robinlambada]

.......
Pero en mi problema propuesto no existe tal conexión, la placa la consideramos aislada y neutra. Cómo se plantearía?

Pido disculpas por mi gran despiste, entendí mal el enunciado, entendí que la placa seguía conectada a a un potencial constante, he cambiado el problema original.

Por tanto es cierto que la carga neta del la placa conductora siempre sera cero

[robinlambada]

Pensando el problema de la placa aislada y neutra, lo que se me ocurre para utilizar el método de las imágenes es una secuencia infinita de cargas imágenes de signo alternado para que su carga neta sea cero,
a distancias la 2ª y sucesivas a distancia doble que la primera carga imagen.

Creo que así se garantiza las dos condiciones fundamentales que son, que el plano de la placa conductora z=0, sea equipotencial y que la carga neta en la placa sea nula.

[robinlambada]

Hola.

Hola.

Lo que yo pienso es que el potencial de la placa es 0, ya que es constante en toda la placa por ser conductora y contiene puntos del infinito en el que el potencial es cero por definición. Es decir, al final yo lo resolvería exactamente igual que el de la placa conectada a tierra.

Un saludo.

No, en el  problema planteado el potencial de la placa no es cero, no es equivalente a este estuviera conectado a tierra.

Mmmm... ¿Estás seguro?

Si el potencial de la placa no fuese cero, entonces por la definición de potencial sería necesario hacer un trabajo para mover una carga desde un punto de la placa hasta el infinito, pero la placa tiene puntos en el infinito, entonces habría dos puntos de la misma tales que sería necesario un trabajo para mover una carga entre ellos, pero la placa es conductora y, en teoría, no cuesta trabajo mover cargas a través de ella.

Es por ello por lo que a mí me parece contradictorio considerar que el potencial de una la placa plana conductora infinita es distinto de cero...

¿No te parece?

Un saludo.

He confundido el problema inicial con una placa conectada a un potencial.

Realmente el potencial en el infinito no tiene por que ser cero, puede ser constante.

Saludos.

[Richard R Richard]

Ahora si robinlambada coincido contigo, que el esquema representa las lineas de campo del problema.

Si el plano es infinito la carga al otro lado se distribuye sobre una superficie infinita y \( \sigma \) se hace nulo , luego el campo del lado opuesto a la carga es nulo.  Si el area es finita pero las dimensiones mucho mayores que la distancia de la carga al plano, podemos seguir pensandolo  que el campo es

\( \vec E=-\dfrac{Q}{S2\epsilon_0}\vec i \)

para radio pequeños, considerando positiva la distancia a la carga, y origen en el plano.

Calcular campo y potencial eléctricos en todo el espacio y la distribución de carga inducida en el plano.

...... Cómo se plantearía?

Bueno ahora a lo que vamos, que función matemática es la que expresa del densidad superficial de carga, del lado de la carga, es algo que me animo, pero no estoy seguro, pero es lógico que la derivada del campo en direcciones j y k es nula en cada punto, y la componente en i sería

\( E_i=-\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \)corregida

donde el signo responde a que el sentido es en contra del sistema de referencia, \( l \) es la distancia desde la carga al plano, \( r \) la distancia radial al eje de simetría que pasa por la carga que es perpendicular al plano.

como podemos hacer superficies gaussianas cada vez más pequeñas aproximándonos a casa punto de la superficie la densidad de carga encerrada por esa superficie es \( \sigma_{(r)}=-\dfrac 1{2\pi}\dfrac{2Ql}{\sqrt{l^2+r^2}^3} \)corregida

El dos que pongo proviene del símil a un dipolo simétrico con cargas Q y menos Q separados por 2l


luego el campo en todo el espacio es

\( \cancel{\begin{pmatrix}\vec E=0& x<0\quad \forall y,z \in \mathbb R\\ & \\ E_i=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Q(x-l)}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}& x\geq 0\\ & \\E_j=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Qy}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}\\ & \\E_k=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Qz}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}\end{pmatrix}} \)


Que opinan.. he editado la formula muchas veces me sigue haciendo ruido  no creo este bien.

me convence mas esta

\( \begin{pmatrix}\vec E=0& x<0\quad \forall y,z \in \mathbb R\\ & \\ E_i=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Q(x-l)}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}+\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{-Q(x+l)}{\sqrt{(x+l)^2+y^2+z^2}^3}& x\geq 0\\ & \\E_j=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Qy}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}+\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{-Qy}{\sqrt{(x+l)^2+y^2+z^2}^3}\\ & \\E_k=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{Qz}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}+\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{-Qz}{\sqrt{(x+l)^2+y^2+z^2}^3}\end{pmatrix} \)


saludos

[martiniano]

Hola de nuevo a todos.

Venga. A ver si conseguimos sacarlo. Le he estado dando vueltas a las críticas que habéis hecho a mi argumento y estoy viendo que tiene puntos que no son del todo consistentes. De todas formas, tampoco acabo de estar completamente de acuerdo con ninguno de los argumentos que se han ido aportando.

Pensando el problema de la placa aislada y neutra, lo que se me ocurre para utilizar el método de las imágenes es una secuencia infinita de cargas imágenes de signo alternado para que su carga neta sea cero,
a distancias la 2ª y sucesivas a distancia doble que la primera carga imagen.

Creo que así se garantiza las dos condiciones fundamentales que son, que el plano de la placa conductora z=0, sea equipotencial y que la carga neta en la placa sea nula.

Lo que no acaba de convencerme de tu argumento, si es que lo he entendido bien (es posible que no), es lo de introducir cargas en la región en la que se desea calcular el campo. No creo que eso sea correcto ya que pienso que haciéndolo se podría contradecir la unicidad de la función potencial, que diría que es en lo que se basa esto de las imágenes.

Esto es un problema ideal. Estamos considerando la placa metálica como un plano infinito, bidimensional, conteniendo un fluido de cargas positivas y negativas. Estas cargas están libres para moverse sólo en el plano, respondiendo a la acción de campos eléctricos.

En todo momento la carga neta del plano es cero porque inicialmente es así y porque está aislada.

Antes de poner la carga externa, la densidad de carga neta es también cero en todos los puntos del plano. Homogeneidad.

Cuando se coloca la carga externa, +Q, la placa se polariza, se redistribuyen sus cargas positivas y negativas. Pero la carga neta de la placa seguirá siendo cero (no está conectada a nada que le pueda dar o quitar ningún tipo de carga).
Habrá máxima densidad de carga negativa en el punto central, el más cercano a +Q. Irá disminuyendo radialmente esta densidad hasta anularse, a cierta distancia del punto central. A partir de este radio empezará a aparecer densidad de carga positiva que se hará máxima a un radio superior. Y de ahí hasta el infinito irá disminuyendo esta densidad positiva hasta anularse.
La carga neta total en la región negativa ha de ser la misma que en la positiva. Para así mantener la neutralidad global de la placa.
Cualitativamente, yo lo veo así.

Entiendo lo que estás pensando pero no creo que sea correcto. Si tienes una carga enfrentada a una placa conductora, plana e infinita y pretendes calcular el campo del lado de la placa no veo que la placa la puedas substituir por otra cosa que no sea otra carga de mismo valor absoluto a la que te dan y de signo opuesto situada en el punto simétrico más una distribución de carga plana, infinita y uniforme paralela a la placa. Es imposible conseguir así que la integral de la densidad de carga en toda la placa sea cero, que diría que es lo que pretendes.

Diría que lo que cabe esperar es que las cargas positivas se dirijan hacia una de las caras de la placa y las negativas hacia la otra.

Venga, a ver qué decís. Un saludo.

[martiniano]

Se me olvidaba...

\( \begin{pmatrix}\vec E=0& x<0\quad \forall y,z \in \mathbb R\\ & \\ E_i=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Q(x-l)}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}& x\geq 0\\ & \\E_j=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Qy}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}\\ & \\E_k=\dfrac 1{4\pi\epsilon_0}\dfrac{2Qz}{\sqrt{(x-l)^2+y^2+z^2}^3}\end{pmatrix} \)


Que opinan.. saludos

Opino que algo no has debido razonar bien porque ese campo no parece que sea perpendicular a la placa conductora en los puntos de su superficie, ¿verdad, o me equivoco?

Un saludo.