[Luis Fuentes]

Hola

Si suponemos que \( (x-y) \) es múltiplo de \( n \), \( (x-y)=a.n \Rightarrow x=an+y \) y partiendo
que \( (x,y,z) \) sean coprimos, el término general del UTF quedaría \( z^n=(a.n+y)^n-y^n \)
que para el caso particular de \( n=3 \) se puede deducir
que \( z \) es múltiplo de \( 3 \)?

Correcto. Como tu mismo hiciste en tu trabajo, si suponemos que \( z^n=x^n-y^n \), entonces  \( z^n \) es múltiplo de \( x-y \). Por tanto cualquier divisor primo de \( x-y \) lo es de \( z \). En particular si \( x-y \) es múltiplo de \( 3 \), \( z \) también.

Si es así podemos poner \( z=3.k \) y sustituyendo en el resultado del lema 2
\(  z^3=(3k)^3=\dfrac{(x-y)^{3}A_1^3}{A_2^3}=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \Rightarrow (3k)^3=\dfrac{(3a)^3.A_1^3}{A_2^3} \)
que es igual a \( k^3=\dfrac{a^3.A_1^3}{A'_2^3} \) equivalente al resultado del lema 2.
para algunos \( x' \) e \( y' \) con \( a=x'-y' \) y algún \( A'_2<(x'-y') \)
¿Podemos buscar soluciones del tipo \( k^n=x'^n-y'^n \) e imponer que \( (x'-y') \) no sea múltiplo de \( n \)?

Nada nos asegura, a priori, que existan númerox \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \). Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).

En efecto no se puede justificar que \( (x-y) \) ni \( (x-z)=(y-b) \) puedan ser múltiplos de tres, pero se llega siempre a una
contradicción independientemente de los divisores de \( M_{u_1} \), con \( M=3.M_{u_1} \)
Por ejemplo para el caso que\( (y-b) \) sea múltiplo de \( 3 \) escribimos \( (y-b)=3v \Rightarrow y=3v+b \) con \( v \) sin factores comunes con \( (x-y)=u \),
tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)]=3[u+3v+b+b]=3.M_{u_1} \) y ahora tenemos 3 opciones distintas dependiendo de los divisores de \( M_{u_1} \)
que llevan cada una a una contradicción:
i)\( M_{u_1}=1\Rightarrow M=3[u+3v+b+b]=3 \Rightarrow u+3v+b+b=1 \), que no es posible
ii)\( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (y-b)=u \), sea \( u_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (x-y)=v \).
Podemos poner \( M=3.\dot{u_1}=3[\dot{u_1}+3v] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( u_1 \)
iii) \( M_{u_1} \) tenga un factor común con \( (x-y)=v \), sea \( v_1 \) (también es divisor de \( b \)) pero no lo tiene con \( (y-b)=u \).
Podemos poner \( M=3.\dot{v_1}=3[u+\dot{v_1}] \) que no es posible ya que la parte derecha de la igualdad no es múltiplo de \( v_1 \)

Es que si relees mis anteriores post, mi única crítica en este punto es que:

-- Queda por probar que \( 3 \) no puede ser múltiplo común de \( (x-y) \) y \( M=3(z+y) \) ó \( (x-z) \) y \( M=3(z+y) \).

Que \( M_{u_1} \) no tenga divisores comues con \( x-y,x-z \) si me lo creo.

Para el caso que \( (x-y) \) sea múltiplo de \( 3 \) no lo he considerado en el documento ya que partía de la suposición que
\( (x-y) \) no es múltiplo de \( 3 \) y que he intentado justificar antes.

Pero... hemos visto que no está bien justificado. ¿De acuerdo en esto?.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
Comentas que

Nada nos asegura, a priori, que existan números \( x',y' \) tales que \( a=x'-y' \) y al mismo tiempo \( k^n=x'^n-y'^n \)

Sí, tienes toda la razón...

Eso nos impide (de momento) completar el argumento que nos permitiría afirmar que podemos suponer \( x-y \) no múltiplo de \( n \).

Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en

Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)

y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?

Ahora para

-- Queda por probar que  \( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego

\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible.

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).
Gracias!!
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Te puedo preguntar por que dices "de momento"? Crees que realmente hay alguna forma de poder afirmar que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \) con algún resultado previo al Lema 7.1?  De todos modos crees que será necesario en algún momento? Y más después de ver que has llegado al mismo resultado del lema 6 en

Concreto un poco más las lagunas y particularizo al caso \( n=3 \) .
 Nota que es inmediato comprobar que:
\(  x^3-y^3-z^3=3(x-y)(x-z)(z+y)-(z+y-x)^3 \)

y donde no te ha hecho falta que \( x-y \) no sea múltiplo de \( n \)?

Es que ese resultado son puras cuentas; no influyen los divisores de tal o cual término.

Digo de momento porque es muy osado afirmar que algo "no se puede probar" (quizá simplemente no se te/me/nos/les ha ocurrido cómo). De hecho claro que es cierto que \( x-y \) no es múltiplo de \( n \), porque como el Teorema de Fermat es cierto sabemos que no pueden exisitir números en esas condiciones, ni con \( x-y \) múltiplo de \( n \) ni sin serlo.

Lo que no creo es que haya ninguna forma "sencilla" de probar el Teorema de Fermat. Ni tan siquiera para el caso \( n=3 \).

(considero ahora solamente el caso para \( M \) y \( (y-b) \))
lo que había comprobado para \( n=3 \) es que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y tenemos que \( M=3[(x-y)+(y+b)] \) donde
\( (x-y).(y-b).M=3^3.u^3.v^3 \), supuse por ejemplo \( b=3.u.v=3\cdot2\cdot5 \) y vi con los siguientes ejemplos que se podía generalizar y afirmar (lema 7.1) que si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tiene factores comunes entre ellos pero alguno de ellos sí tienen algún factor común con \( M \), entonces el UTF no tiene solución. En estos ejemplos que indico se ve en todos que
\( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y en todos se llega a igualdades que no son posibles, luego

\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

Ejemplos:
i)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3 \)
Aquí se ve que la parte izquierda de la igualdad es mayor que la derecha
ii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^2\cdot3^2\\
M=3\cdot5\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^2\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot3 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
ii) Otro ejemplo
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3\\
M=3^2\\
(x-y)=2^3
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^3}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3^2 \)
Aquí también se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 3 \) excepto \( 2^3 \), luego la igualdad no es posible.
iii)
\(
\left.
\begin{array}{l}
(y-b)=5^3\cdot3^2\\
M=3\cdot2\\
(x-y)=2^2
\end{array}
\right\} \Rightarrow
y=5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5
 \)
\( M=3[\underbrace{2^2}_{x-y}+\underbrace{5^3\cdot3^2+3\cdot2\cdot5+3\cdot2\cdot5}_{y+b}]=3\cdot2 \)
Aquí se ve que todos los sumandos dentro de los corchetes son múltiplos de \( 2 \) excepto \( 3^2\cdot5^3 \), luego la igualdad no es posible

No se en que momento, al pasar de estos ejemplos e intentar generalizar en el Lema 7.1, no queda claro que
si \( 3 \) es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \) se llega siempre a una contradicción, luego
\( 3 \) no puede ser divisor común de \( M \) y \( (y-b) \).

Si crees que puedes demostrarlo no me pongas ejemplos (o ponlos, pero no me llegan): estos valen para clarificar ideas pero no prueba nada. Además los ejemplos son muy tamposos en el caso del Teorema de Fermat: como este es cierto, obviamente no podemos encontrar grupos de números que cumplan la relación de Fermat y las relaciones que se derivan de ellas. Es decir, no podemos encontrar contrajemplos a tus argumentos.

Insisto en que escribas la demostración para \( n=3 \) de que \( 3 \) no es divisor común de \( M \) y \( (y-b) \), y veremos si es correcta. Debería de ser mucho más clara y sencilla que lo que has escrito en la página 18 (allí al hacerlo para el caso genral se complican las cuentas). Hasta ahora no lo has hecho. Lo que probaste es que lo que llamas \( M_{u_1} \) no tienen divisores comunes con \( (y-b) \): correcto. Pero no es eso lo que falta.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
creo haber encontrado y solucionado el error troncal que tenía en el Corolario 7.2,
y lo he incluido esta vez en un nuevo Lema 3, donde creo que se demuestra que
"\( (e+f-b)^n=e^n+f^n  \) no tiene solución para números enteros. "
y que luego se utilizará en el Corolario 1.4:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos y ninguno de ellos los tiene con \( M \), entonces el UTF no tiene solución."
He modificado y creado un nuevo documento, espero más sencillo, y mucho más reducido, donde comienza con 2 lemas,
uno de ellos, el Lema 2, utiliza un resultado del documento anterior:
"Si \( x \) e \( y \) son soluciones del UTF, entonces se cumple \( (x^n-y^n) = [(x-y)+nk]^n \) para algun \( k \)."
que se puede demostrar de una forma más fácil, como apuntaba el_manco en sus comentarios.
He hecho también una pequeña modificación en el enunciado del nuevo Corolario 1.1:
"Si \( (x^n-y^n) = [(x-y)+b]^n \Rightarrow n.(x-y).(y-b) \) divide a \(  b^n \)"
que hará que el Corolario 1.3:
"Si \( (y-b) \) y \( (x-y) \) no tienen factores comunes entre ellos entonces tampoco pueden tenerlos con \( M \)."
sea mas sencillo de demostrar o al menos de una forma más clara, ya que esta vez he utilizado
\( M=a^{n-2}+c'_2.a^{n-3}.R_2(y,b)+\cdots+R_{n-1}(y,b) \)
Y por último, he incluido en el nuevo documento, el Corolario 1.2:
"Si\( (x-y) \) y \( (y-b) \) tiene factores comunes, entonces \( x \) e \( y \) también los tienen."

En este nuevo documento he quitado todos los ejemplos que había incluido en versiones anteriores creyendo que con las últimas modificaciones es muy sencillo de seguir y verificar donde pueden encontrarse los posibles errores que he podido pasar por alto. Por el mismo motivo tampoco he seguido el consejo o indicación de el_manco (te pido mil disculpas) de intentar escribir el documento para \( n=3 \), pero creo sinceramente que con tus comentarios y sugerencias han quedado las demostraciones de los nuevos Lemas y Corolarios muy fáciles de seguir.
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Muchas gracias!
Saludos
Eduardo

[Luis Fuentes]

Hola

 La demostración del Lema 3 está mal. Lo transcribo e indico el error:

Lema 3:

 \( (e+f-b)^n=e^n+f^n \)                               (8)

 no tiene solución para números naturales (tu pones enteros, pero te refieres a naturales).

 (se supone \( n \) impar)

 Demostración: Sea \( b\neq 0 \). Como:

\(  e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)
 
 lo sustituimos en (8):

\(  (e+f-b)^n=e^n+f^n=(e+f)(e^{n-1}-e^{n-2}f+\ldots -ef^{n-1}+f^n) \)

 pero \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)\color{black} \) luego \( \color{red}(e+f)\not | (e+f-b)^n\color{black} \), entonces (8) no tiene solución para números enteros como se quería demostrar.

 Lo que está en rojo es lo que está mal. Es falso que:

\(  a\not |b\quad \Rightarrow{}\quad a\not |b^n \)

 Por ejemplo:
 
 \( 12\not |30 \) pero \( 12 |900=12\cdot 75 \)

Saludos.

P.D. En realidad el Lema 3 es precisamente el Teorema de Fermat, sin más que llamar \( e+f-b=g \). Si logras probarlo estarías demostrando que la ecuación:

\( g^n=e^n+f^n \)

no tienes soluciones enteras.

[aureodd]

Hola,
teniendo en cuenta resultados a los que había llegado en las versiones anteriores del documento, he utilizado otra linea distinta de desarrollo, por lo que el documento final es completamente distinto, pero curisomente se llega a los mismos resultados que en el trabajo anterior. A partir de estos resultados y utilizando unos lemas nuevos, he creado 3 corolarios que me gustaría por favor pudierais revisar para encontrar cualquier posible error.
Creo que esta nueva linea aporta mas claridad al documento y espero que sea aún mas sencillo de seguir y verificar que con el desarrollo anterior, y vuelvo a pedir disculpas a el_manco por haber escrito el documento para el término general y no para \( n=3 \).
El nuevo documento lo podeis leer y descargar de http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/

Agradeceré enormemente y como siempre, cualquier comentario u opinión...

Saludos
Eduardo

[Luis Fuentes]

Hola

 Ando bastante apurado esta temporada y no tengo mucho tiempo para leer tu artículo en detalle. He mirado por encima "creyéndome" las cuentas y fijándome más bien en los argumentos.

 En es vistazo me chocó la demostración del Lema 3.4.1 (página 7).
 
 Llegas a que:

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n \) (1)

 Pero de ahí, no veo que se deduzca que \( R(y,z) \) no pueda ser, por ejemplo, múltiplo de \( n^2 \).

 En realidad la única información útil que da (1) es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \). Fíjate (1) se deduce que:

\(  R(y,z)=ny^{n-1}+kn=n(k+y^{n-1}) \)

 donde \( k+y^{n-1} \) puede ser cualquier número. Por tanto lo que tenemos es que \( R(y,z) \) es múltiplo de \( n \).

 ¿Cómo deduces que no puede ser múltiplo por ejemplo de \( n^2 \)?.

 Tu en tu artículo escribes después de (1):

\(  R(y,z)\equiv n\cdot y^{n-1}\quad mod\quad n^m \) (2)

 Pero (2) no se deduce de (1), así no sé muy bien a que viene esa expresión.

Saludos.

[aureodd]

Hola,
creo que el Lema 3.4.1 (y el Lema 4) son correctos, pero es cierto que la demostración es incompleta y no lo prueba.
Voy a intentar corregirlo y subo de nuevo el documento con las modificaciones.
Muchas gracias por tu atención y por tu tiempo.
Saludos

[aureodd]

Hola,
ya he modificado la demostración del Lema 3.4.1 y creo que esta vez si lo prueba; he añadido de todos modos al final del documento un apartado con la misma prueba del Lema 3.4.1 pero para \( n=3 \). He modificado también algunos enunciados con la intención de dejar más claro los pasos que se siguen en cada momento en el documento. Aunque el artículo se compone de tres corolarios, cada uno de ellos utiliza sus propios lemas, y las demostraciones, aunque siguen los mismos razonamientos, son totalmente independientes.
 
El nuevo documento está en http://eduardoochoa.com/joomla/content/view/569/68/1/1/
Muchas gracias
Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Creo que ahora la demostración del Lema 3.4.1 es correcta (aunque algún matiz en la redacción debiera de ser corregido). No estoy seguro de si queda claro de como está enunciado que si puede darse que \( E \) sea múltiplo de \( n \). También cuando escribes "Luego podemos poner...", esa afirmación sólo se sustenta depués de haber probado todo lo demás.

 Pero olvidemos por el momento ese Lema. He encontrado otro error que creo si es más troncal; es común a los tres corolarios que pretenden concluir la demostración del UFT.

 En la demostración del Corolario 1, página 7, tienes:

\(  a^nC^n=A(A^{n-1}(Ck)^n-2Cka^n-a^nA^{n-1}) \)

 y dices: "Cómo \( \color{red}C\not | A \) a entonces \( \color{red}a|A \) ...".

 Esto es falso; efectivamente se tiene que \( A \) y \( C \) son coprimos pero de ahí no se deduce necesariamente que \( a|A \), sino, al revés que \( A|a^n \). Por ejemplo:

\(  14^3\cdot 3^3=4\cdot (2\cdot 7^3\cdot 3^3) \)

 con \( a=14,\, C=3,\, A=4 \).

Saludos.