Ah, sí, cierto, perdona. Mucho más fácil y directa tu solución. Pongo la mía:

Hola.

Sea \( g : \Bbb R \to \Bbb R \) una función infinitamente diferenciable tal que \( g(0)=0 \). Demostrar que la función \( h(t)= \begin{cases}g(t) / t & \text { si } t \neq 0 \\ g^{\prime}(0) & \text { si } t=0\end{cases} \) es infinitamente diferenciable.




Saludos.

Feliz año nuevo a todos!

Pd: Llevo desde el año pasado mirándome un teorema (empecé a eso de las 23:30) 

Hola.

La siguiente respuesta no se corresponde con la pregunta del post (distintas funciones). No obstante, la dejo aquí por si alguien buscase esta solución.

Observa que si \( f(x)= \dfrac{1-{\frac{\pi}{x}}}{x} \) entonces se tiene que \( f(x) \) es monótona decreciente. Como \( \displaystyle \lim_{n\to\infty} \int_1^{n} f(x) dx = \infty  \) entonces \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1-{\frac{\pi}{n}}}{n}  \), tu serie, diverge.


Saludos.

En otro de sus vídeos, no recuerdo cuál, decía:

Teorema: \( 1 \) es el mayor entero positivo.

Demostración: Sea \( n \) un entero positivo distinto de 1. Como \( n^2 > n \), entonces \( n \) no puede ser el mayor entero positivo, luego \( 1 \) es el mayor entero positivo.

Son divertidos los vídeos así

Hola.

Si llamas \( r \) al radio de la circunferencia pequeña entonces, formando un triángulo rectángulo entre los centros de las circunferencias y el punto de intersección de una recta paralela al eje x que pasa por el centro de la circunferencia más pequeña, y una recta vertical paralela al eje y que pasa por el centro de la circunferencia más grande tienes que, por pitágoras, \( (r+4)^2 =  2(4-r)^2 \) luego \( r = 12 - 8 \sqrt{2} \).

Saludos.

Hola.

En una ecuación diferencial ordinaria (EDO en español u ODE en inglés), lo que buscamos es una función que cumpla la ecuación diferencial. Esta ecuación, puede involucrar a la función \( f \), a su variable independiente y sus derivadas, o una combinación. Hay varios tipos de ecuaciones atendiendo a esto último (autónomas, homogéneas, etc). Fíjate que aquí la función va de un intervalo \( I \), su dominio de definición, a los reales. O sea, \( f:I \to \Bbb  R \).

La diferencia entre una ODE y una EDP, es que ahora la función \( f \) depende de varias variables. En tu ejemplo, en EDP rodeada de rojo, tienes las funciones \( u=f(x,y) \) y \( v = g(x,y) \) y lo que te dice la ecuación es: "búscame una función \( u \) y una función \( v \) tal que la derivada parcial \( u \) respecto de \( y \) sea la derivada parcial de \( v \) respecto de \( x \) cambiada de signo. Estas suelen ser más complicadas porque las funciones dependen de dos o más variables. Las ODEs dependen de una.

Si quieres una definición desde un punto de vista más formal: sea \( I \subset \Bbb R \) un intervalo. Supongamos las funciones \( A:I\to \Bbb F^{n\times n} \text{ y } b : I \to \Bbb F^n \) son continuas. Entonces a la expresión \( x' = A(t)x + b(t) \) se le conoce como sistema lineal de ecuaciones diferenciales. Se habla más del tema desde un punto de vista formal, aquí. Esta es la manera más sencilla de dar una definición de ecuación diferencial, entendida como un sistema \( 1\times 1 \). Se supone que las funciones son continuas para no tener problemas con la solución, y se tiene la definición para una ecuación diferencial simple con \( n=1 \).
Saludos.

El problema es casi el mismo(el mismo).

Sea \( a \) un entero tal que \( 2 \) y \( 3 \) no lo dividen entonces \( 24|a^2-1 \).
Podemos tomar \( a = 6 \cdot m + r \) con \( r \in \{1,5\} \) para que no pueda ser dividido por \( 2 \) ni \( 3 \).
Tenemos:
Si \( r=1 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = 6m \cdot (6m+2) = 12m \cdot (3m+1)  \).
Si \( m \) es par lo tenemos.
Si \( m \) es impar entonces \( 3m+1 \) es par y lo tenemos.

Si \( r=5 \)
\( a^2 - 1 = (a-1) \cdot (a+1) = (6m + 4) \cdot (6m+6) = 12 \cdot (3m +2 )\cdot (m+1)  \).
Si \( m \) es par \( 3m+2 \) es par.
Si \( m \) es impar entonces \( m+1 \) es par y lo tenemos.

Muy bonito, gracias por compartirlo. Me gustan bastante este tipo de razonamientos que parecen elementales pero a los ojos de los más peques son como magia (como me lo pareció a mí en su momento )

Quizá considerando que \( \displaystyle \sum_{n=1}^{k} \frac{\sin{nx}}{n} = \int_0^x \sum_{n=1}^{k} \cos{nt}\space dt \) pero no sé cómo de elemental es esto. No sé yo si va a haber algo más elemental que esto pues es similar a integrar \( \displaystyle \int_0^{\infty} \frac{\sin{x}}{x} \).

Saludos.

Ah pues tiene más chicha de la que pensaba. Se discute este tema en este paper. https://www.researchgate.net/publication/222470960_Detecting_Cusps_and_Inflection_Points_in_Curves