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Mensajes - Samir M.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos (Topologia)
« en: 25 Septiembre, 2017, 03:20 pm »
La grave: La hipótesis es \( A \) abierto y \( B \) conjunto cualquiera. Entonces \( A\times B \) no tiene porque ser abierto.

Cierto. Se me pasó de que sólo se definía a uno de los conjuntos como abierto  ::). Por tanto la idea no es válida.

La leve: El resultado de que una aplicación lineal sobreyectiva es abierta me parece más fuerte que lo que piden probar; es decir me parece que una exposición de la asignatura viene primero el ejercicio y luego el resultado de la aplicación lineal. Por supuesto esto es muy relativo.

Sí, estoy de acuerdo. Lo puse adrede para intentar incentivar lo que exponía en el mismo comentario:
 
Debes añadir más información a este tipo de pregundas, como qué definiciones manejas [...]. También viene bien añadir tus intentos, o en qué encuentras dificultades.

pero veo que me fui un poco por las ramas.

Saludos!


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Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos (Topologia)
« en: 25 Septiembre, 2017, 01:36 pm »
Pero no es cierto en general que una aplicación sobreyectiva continua sea abierta.

Sí, pero es que aparte es lineal. Una aplicación lineal continua y sobreyectiva debe ser abierta.

Saludos.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos (Topologia)
« en: 25 Septiembre, 2017, 12:00 pm »
Hola.

Puesto que la aplicación continua \( T((x,y)) = x+y \) es sobreyectiva, es una aplicación abierta en \( (\mathbb{R},|.|) \). Puesto que \( A \times B \) es abierto, \(  T(A\times B) \) lo es también.

Saludos.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuaciones de orden superior
« en: 24 Septiembre, 2017, 09:52 pm »
Hola.

Es que depende de los resultados de los que partas. Por ejemplo, hay un teorema directo que establece que si el wronksiano de \( f_1 \), \( f_2 \) y \( f_3 \) no se anula en ningún punto donde está bien definida la ecuación diferencial, entonces \( \{f_1, f_2, f_3\} \) es un conjunto fundamental de soluciones. Si ya has visto este resultado, sólo resta comprobar que se cumple la ecuación, que, por la propiedad de los determinantes que comenté, resulta trivial.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 09:28 pm »
Actualicé mi respuesta después de que respondieras. Una vez la leas, borraré este mensaje que tiene el único objetivo de forzar la notificación en el foro.

Saludos.

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Hola.

Mhmm, más o menos sí, pero se me antoja poco preciso. Míralo de esta forma: Una superficie regular es simplemente un subconjunto \( M \subset \mathbb{R}^3 \) que es una 2-variedad suave. Si existe una función diferenciable \( f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) tal que \( f(\mathbb{R}^2) = M \), entonces \( f \) es una parametrización de \( M \) y el par \( (M,f) \) es una superficia regular paramétrica. Una definición aún más explícita la tienes en el punto 3.1.1 de estas notas.

Pd: Esta definición está sacada del libro de M.A. Cifre.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 08:49 pm »
Samir, el logaritmo complejo (tomado como valor principal) me parece que es continuo en \( \Bbb C\setminus(-\infty,0] \). Cuando no es continuo es tomando el dominio \( \Bbb C\setminus\{0\} \).

Sí, así es. Pero no entiendo a qué viene el comentario. Por \( \mbox{Log}(z) \) se entiende el logaritmo complejo tomado como valor principal.

--

Ah, ya entiendo a qué te refieres. Yo es que defino el logaritmo complejo como una función \( f : \mathbb{C}\setminus \{0\} \to \mathbb{C} \) dada por \( f(z) = \mbox{Log}(z) \) que, vaya, yo creía que era la usual.  Con esa definición, el logaritmo complejo no es continuo en el semieje real negativo. Si tomamos \( z=x_0+iy \) para algún \( x_0<0 \) fijado, en cada punto de éste \( \mbox{Arg(z)} \) tiende a \( \pi \) y \( -\pi \) dependiendo por dónde nos acercamos al semieje. Es decir, si \( y \searrow  0 \) entonces \( \mbox{Arg(z)} \searrow \pi \) mientras que si \( y\nearrow 0 \) entonces \( \mbox{Arg(z)} \nearrow -\pi \). Lo que sí es cierto es que \( z \mapsto \log|z| \) sí que es continua en \( \mathbb{C} \setminus \{0\} \).


Saludos.

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Es que entendí, como parece que le paso a algún otro participante en la discusión de stackexchange, que se cumplía \( \forall{}x, y \in{}X,  \left\|{x+y}\right\|= \left\|{x}\right\| + \left\|{y}\right\| \). Así que como la cuestión de la suma estaba trivialmente resuelta, me centre en el producto por reales, olvidando que está es una de las propiedades que definen una norma. Y tampoco vi hasta ahora el final de la primera respuesta de Masacroso ...

Es que tal como está la pregunta, está mal planteada. Debería ser:

Sea \( X \) un espacio normado. Entonces, fijados \( x, y \in X \) cumpliéndose para éstos que \( \|x+y\|=\|x\|+\|y\| \), demuestra que para todo \( \alpha, \beta, \geq 0 \) se cumple que \( \|\alpha x+\beta y\| = \alpha\|x\| + \beta\|y\| \).

Saludos.

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Cálculo de Varias Variables / Re: Conjuntos abiertos (Topologia)
« en: 24 Septiembre, 2017, 06:28 am »
Hola.

Debes añadir más información a este tipo de pregundas, como qué definiciones manejas. Por ejemplo, tu problema se puede resolver definiendo la aplicación continua \( T((x,y)) = x+y \) y viendo que es sobreyectiva. También viene bien añadir tus intentos, o en qué encuentras dificultades. Un camino más general es observar que dado \( a+b \in A + B \) entonces \( B(\epsilon,a)+b\subset A+b\subset A+B \) es una bola abierta que contiene a \( a+b \).

Saludos.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Ecuaciones de orden superior
« en: 24 Septiembre, 2017, 06:13 am »
Hola.

Lo primero, te has olvidado de escribir el determinante igual a 0, pues sólo puede ser una ecuación diferencial homogénea (en otro caso el resultado no es cierto).

El coeficiente es, obviamente, \( W(f_1,f_2,f_3) \), es decir, el wronksiano de \( f_1 \), \( f_2 \), y \( f_3 \). Por otro lado. ¿con qué nociones partes? Se puede usar el teorema de Liouville para probarlo. Es muy inmediato si ya has visto la teoría relativa a las EDOS de orden superior: puesto que en el determinante dos columnas van a ser iguales, éste será nulo, luego la ecuación

\( \begin{vmatrix} f_{1}(x) & f_{2}(x) & f_{3}(x) & y\\  f_{1}'(x) & f_{2}'(x) & f_{3}'(x) & y' \\ f_{1}''(x) & f_{2}''(x) & f_{3}''(x) & y''\\  f_{1}'''(x) & f_{2}'''(x) & f_{3}'''(x) & y'''\end{vmatrix} = 0 \)

queda satisfecha trivialmente y el conjunto \( \{f_1, f_2, f_3\} \) es un conjunto fundamental de soluciones.

Saludos.

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Variable compleja y Análisis de Fourier / Re: Logaritmo Complejo
« en: 24 Septiembre, 2017, 05:42 am »
Hola.

Si definimos el semieje real negativo como \( S = \{ z\in\mathbb{C} : \mbox{Re}(z) \leq 0 \text{ y } \mbox{Im}(z) = 0\} \) entonces \( \mbox{Log}(z) \) es análitica en \( \mathbb{C}\setminus S \), donde, ni siquiera es continua. Para probar este hecho depende de si te han probado cuál es la derivada de esta función. Si no te la han demostrado, deberás tirar de la definición de diferenciabilidad. En caso contrario, con las ecuaciones C-R y un par de hipótesis más es suficiente (existencia y continuidad de las primeras derivadas parciales).

Saludos.

52
Cálculo 1 variable / Re: Calcular límite 3
« en: 24 Septiembre, 2017, 05:24 am »
Hola.

Pero insisto, para mi una respuesta correcta, suponiendo el enunciado 'Estudiar el límite ...', deberia incluir ambos límites laterales.

Sí, desde luego. Mi post fue a raíz del primer comentario en el sentido que propones; se podía entender como que formulabas que el límite existía.


Matizaría:

  • No existe en \( \mathbb{R} \) porque alguno de los límites laterales no existe en \( \mathbb{R} \) (en este caso los dos).
  • No existe en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por dos puntos i.e. no existe en \( \mathbb{R}\cup \left\{{-\infty,+\infty}\right\} \) pues aunque los límites laterales existen, no son iguales.
  • Existe límite en la compactificación de \( \mathbb{R} \) por un punto (compactificación de Alexandroff) i.e. existe en \( \mathbb{R}\cup\left\{{\infty}\right\} \).

En efecto, mucho más preciso/riguroso.

Saludos.


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Ecuaciones diferenciales / Re: Ejercicio de Fourier
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:58 am »
Hola.

Mira ejercicio 6 de la sección 5.3 de estas notas.

Saludos.

54
Cálculo 1 variable / Re: Calcular límite 3
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:42 am »
Hola.

Pero los límites laterales son disitntos, luego el límite no existe, ¿no?

Saludos.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Ec Diferenciales Masa/resorte
« en: 23 Septiembre, 2017, 09:40 am »
Hola.

De la segunda ecuación de Newton se deduce que \( t \) es la constante del resorte, la cual varía en el tiempo. Puesto que cuando \( t\to\infty \), el resorte se vuelve más 'rígido', es de esperar que las oscilaciones aumenten en frecuencia ( \( f\to \infty \))  pero que su amplitud tienda a cero \( A \to 0 \)). Con esto te puedes hacer una idea de la gráfica.

Saludos.

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Hola.

Para saber si es correcta, debes aportar todos los detalles, por superfluos que parezcan. En su momento yo vi una partiendo de una idea similar y era rigurosa.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Suma de Oresme
« en: 14 Septiembre, 2017, 05:39 am »
Gracias, corregida.

Saludos.

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Cálculo 1 variable / Re: Suma de Oresme
« en: 13 Septiembre, 2017, 08:35 pm »
Hola.

Otra forma similar, sabiendo que converge:

Si \( \displaystyle S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3n}{4^n} \) entonces \( \displaystyle 4S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n}{4^{n-1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{3(n+1)}{4^n} \)

Entonces, \( \displaystyle 4S-S=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{3}{4^n}=3\cdot \dfrac{1}{1-\dfrac{{\color{red}{1}}}{4}}=\dfrac{12}{3} \) luego \( S = \dfrac{4}{3} \)

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Debes analizar cada valor absoluto. Por ejemplo, supongamos que \( x<1 \). El término de la izquierda es \( |x+1 - |x-3|| \). Si \( x<1 \) tenemos que \( x-3<0 \) luego \( |x-3| = -x+3 \), por tanto, el término de la izquierda queda \( |x+1 - |x-3|| = |2x-2| \). Como \( x<1 \), \( 2x-2 < 0 \) y así \( |2x-2| = -2x+2 \). En definitiva, para \( x<1 \) el término de la izquierda queda como \( -2x+2 \). En definitiva, se va analizando cada valor absoluto, lógicamente, 'desde dentro hacia fuera'.

Saludos.

60
Hola.

Analiza los casos \( x>3 \), \( 2<x<3 \), \( 1<x<2 \) y \( x<1 \). Verás que te saldrá que la inecuación es cierta para \( x > 7/2 \) y \( x<3/2 \).

Saludos.

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