Autor Tema: Definición de ecuación diferencial

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08 Junio, 2015, 02:55 pm
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Alejandro Caballero

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¡Buenas!

Esto quizás es una tontería, pero la verdad es que nunca me ha quedado claro. Entiendo la idea del concepto de ecuación diferencial, pero a la hora de formalizarlo siempre veo las definiciones confusas y ambiguas. Cuando defines lo que es una EDO se suele decir (no sé si habrá otro modo) que és una expresión del tipo

\( F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr)=0 \)

para cada \( t \) del dominio, donde

\( x: \ U\in\mathcal{G}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathbb{R}^m, \)

(en muchos sitios no evalúan la función \( x \) en \( t \) pero yo entiendo que no tiene sentido así)
de modo que el dominio de \( F \) es un subconjunto de \( \mathbb{R}^{(n+1)m+1} \) y el codominio es \( \mathbb{R}^m \).

Además diremos que la EDO es de orden \( n \) si no existe una función

\( G: \ W\subseteq \mathbb{R}^{nm+1}\longrightarrow\mathbb{R}^m \)

de manera que para cada \( t \) del dominio

\( G\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n-1)}(t)\bigr)=0, \)

esta condición se me hace un poco rara, pero es consecuencia directa de que no exista \( G \) verificando

\( G\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n-1)}(t)\bigr)=F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr). \)

Pero para que todo esto tenga sentido, \( x \) tiene que ser una función \( n \) veces derivable y entonces, de algún modo, que la EDO tenga solución es un requisito de la definición: en este sentido de ser una ecuación diferencial ordinaria se exige que haya solución. ¿Por qué entonces se habla de EDO en las que existe solución? ¿No tendría más sentido hablar de si tal expresión es o no una EDO? ¿Estoy entendiendo algo mal? La verdad es que la mayoría de libros que he mirado no mencionan la mayoría de condiciones que le he puesto a la definición, pero yo entiendo que son necesarias  ???

¡Un saludo y gracias!

08 Junio, 2015, 08:08 pm
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Yo diría que una ecuación diferencial es una función \( F:V\longrightarrow \mathbb R \), donde \( V \) es  un abierto en \( \mathbb R^{m(n+1)+1} \), y que \( x:U\longrightarrow \mathbb R^m \) es una solución de la ecuación diferencial si \( U \) es un abierto en \( \mathbb R \), \( x \) es n veces derivable en \( U \) y para cada \( t\in U \) se cumple que \( F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr)=0 \).

08 Junio, 2015, 09:18 pm
Respuesta #2

David Rochera

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no exista \( G \) verificando

\( G\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n-1)}(t)\bigr)=F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr). \)


Hola, respecto a la dependencia de la última derivada para afirmar que el orden de la EDO es \( n \), creo que la forma de asegurarlo es escribiéndolo de la siguiente forma: no existe \( G \) verificando

\( G\bigl(t, u_1, u_2\ldots, u_{n-1}\bigr)=F\bigl(t, u_1, u_2,\ldots, u_n\bigr). \)

para \( t\in\mathbb{R} \) y \( u_1,\ldots, u_n\in\mathbb{R}^m \).

Yo diría que una ecuación diferencial es una función \( F:V\longrightarrow \mathbb R \), donde \( V \) es  un abierto en \( \mathbb R^{m(n+1)+1} \), y que \( x:U\longrightarrow \mathbb R^m \) es una solución de la ecuación diferencial si \( U \) es un abierto en \( \mathbb R \), \( x \) es n veces derivable en \( U \) y para cada \( t\in U \) se cumple que \( F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr)=0 \).

Por otro lado, esta definición implicaría que toda función de un abierto de \( \mathbb{R}^q \) en \( \mathbb{R}^p \) con \( q\geq 3 \) sería una ecuación diferencial aunque nadie estuviera pensando en una EDO cuando se trabaja con ella (creo que querías decir \( F:V\longrightarrow \mathbb R^m \)). Por lo tanto, veo más adecuado hablar formalmente de ecuación diferencial sólo en el caso en que haya soluciones.

08 Junio, 2015, 10:05 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Por otro lado, esta definición implicaría que toda función de un abierto de \( \mathbb{R}^q \) en \( \mathbb{R}^p \) con \( q\geq 3 \) sería una ecuación diferencial aunque nadie estuviera pensando en una EDO cuando se trabaja con ella (creo que querías decir \( F:V\longrightarrow \mathbb R^m \)). Por lo tanto, veo más adecuado hablar formalmente de ecuación diferencial sólo en el caso en que haya soluciones.

Si pones \( \mathbb R^m \) tienes un sistema de ecuaciones diferenciales. En principio, si tienes una única ecuación, lo que procede es \( \mathbb R \).

En cuanto a lo que uno piense o deje de pensar, no veo que sea un argumento. Una definición matemática se diseña para que el objeto definido recoja toda la información que se desea que contenga. Luego, lo que uno piensa o deja de pensar se "regula" por la forma en que se usa el concepto, no por su definición.

Por ejemplo, uno puede trabajar con el conjunto \( \{x\in \mathbb Q\mid x\leq 0 \lor x^2<2\} \) sin ser consciente de que eso puede ser por definición el número real \( \sqrt 2 \) (si definimos \( \mathbb R \) mediante medias secciones de Dedekind), o uno puede estar trabajando con el par \( (3, 5) \) sin ser consciente de que eso puede ser por definición el número complejo \( 3+5i \) (si definimos \( \mathbb C=\mathbb R^2 \)), o uno puede estar trabajando con la sucesión \( \{3,4,5,0,0,0,\ldots\} \) sin ser consciente de que eso es por definición el polinomio \( 3+4x+5x^2 \).

08 Junio, 2015, 11:35 pm
Respuesta #4

David Rochera

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Yo diría que una ecuación diferencial es una función \( F:V\longrightarrow \mathbb R \), donde \( V \) es  un abierto en \( \mathbb R^{m(n+1)+1} \), y que \( x:U\longrightarrow \mathbb R^m \) es una solución de la ecuación diferencial si \( U \) es un abierto en \( \mathbb R \), \( x \) es n veces derivable en \( U \) y para cada \( t\in U \) se cumple que \( F\bigl(t, x(t), x'(t),\ldots, x^{(n)}(t)\bigr)=0 \).

Efectivamente, poniendo \( \mathbb{R}^m \) estoy definiendo un sistema de ecuaciones diferenciales, y así lo he hecho para ser coherente con la pregunta inicial. En cualquier caso, para una ecuación diferencial, en tu definición debería ser \( x:U\longrightarrow \mathbb R \) (no \( \mathbb{R}^m \)).

Respecto a las dos definiciones que se han dado, ambas las veo correctas y coherentes, aunque evidentemente no son equivalentes.

Saludos.

08 Junio, 2015, 11:52 pm
Respuesta #5

Carlos Ivorra

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Efectivamente, poniendo \( \mathbb{R}^m \) estoy definiendo un sistema de ecuaciones diferenciales, y así lo he hecho para ser coherente con la pregunta inicial.

No entiendo lo que quieres decir. La pregunta inicial habla de ecuaciones, no de sistemas de ecuaciones.

Edito Juraría que la frase del mensaje inicial que empieza por "de modo que el dominio de F..." está editada y que no era eso lo que ponía cuando respondí. Igual me equivoco y es que no me fijé en su momento.

En cualquier caso, para una ecuación diferencial, en tu definición debería ser \( x:U\longrightarrow \mathbb R \) (no \( \mathbb{R}^m \)).

No es cierto. Ahí la \( m \) indica el número de variables, no el número de ecuaciones. Otra cosa es que convenga considerar tantas variables como ecuaciones, pero me he ceñido al planteamiento de la pregunta.

Respecto a las dos definiciones que se han dado, ambas las veo correctas y coherentes, aunque evidentemente no son equivalentes.

Según lo que entiendas por equivalentes. No son equivalentes en cuanto a que no definen el mismo objeto, desde un punto de vista conjuntista, pero sí que lo son en cuanto a que proporcionan distintas formas de codificar la misma información. Es como si consideras la construcción de \( \mathbb R \) como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy o como secciones de Dedekind. Si he entendido bien el sentido en que has dicho que "no son equivalentes", también habría que decir que las dos construcciones de \( \mathbb R \) no son equivalentes, pero sí que lo son en otro sentido, a saber, que definen cuerpos isomorfos.

09 Junio, 2015, 12:14 am
Respuesta #6

Alejandro Caballero

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Pero Carlos, en tu libro de Análisis usas la misma definición que yo, ¿no?

En esa definición... ¿el orden de la ecuación diferencial sería mínimo del orden de la mayor derivada no nula de todas las soluciones?

Edito Juraría que la frase del mensaje inicial que empieza por "de modo que el dominio de F..." está editada y que no era eso lo que ponía cuando respondí. Igual me equivoco y es que no me fijé en su momento.

No, Carlos, si ¡tú también has puesto el mismo dominio que yo! En tu definición las ecuaciones diferenciales tendrán que haber productos escalares o cosas así para convertir vectores en escalares, ¿no?

No entiendo lo de las variables y el número de ecuaciones  ???

Yo entiendo que las definiciones no son equivalentes en ninguno de los sentidos expuestos, ya que si existen edos que no tengan ninguna solución, entonces esas edos sí serían edos en tu definición, pero no lo serían en la otra.

09 Junio, 2015, 12:44 am
Respuesta #7

Carlos Ivorra

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Pero Carlos, en tu libro de Análisis usas la misma definición que yo, ¿no?

Sí, pero no pretende ser una "definición" en el sentido conjuntista. No es necesario en absoluto definir "ecuación diferencial" para hablar de ecuaciones diferenciales, en el sentido de que no es necesario identificar una ecuación diferencial con un conjunto en particular. La "definición" que mencionas es meramente informal, es decir, una indicación para orientar al lector, al igual que lo es la "definición" de "problema de Cauchy", lo cual no quita rigor a ningún teorema. Por ejemplo, si tomas el teorema 6.6 de mi libro de análisis, que es el primero en el que aparece un problema de Cauchy, lo que dice formalmente es que, dada una función \( f \) que cumple ciertas condiciones, existe una única función \( y \) que cumple otras condiciones (concretamente, ser solución de la ecuación diferencial definida por \( f \), pero no necesitas definir "ecuación diferencial", sino únicamente expresar lo que tiene que cumplir \( y \) para ser solución de la ecuación.

Otra cosa es que quieras forzar una definición formal de "ecuación diferencial" (lo cual es totalmente legítimo), y así he entendido la pregunta de este hilo. Te he respondido explicando cómo asignaría un conjunto para determinar una ecuación diferencial, de una forma que no exija suponer que tiene solución (no veo razón para ello).

En esa definición... ¿el orden de la ecuación diferencial sería mínimo del orden de la mayor derivada no nula de todas las soluciones?

No me parece buena idea definir el orden de una ecuación diferencial a posteriori, es decir, de modo que haya que conocer todas las soluciones para saber cuál es su orden. Lo razonable es que el orden sea identificable antes de conocer las posibles soluciones de la ecuación. Lo habitual para ello es considerar ecuaciones en las que la derivada de mayor orden está despejada.

Edito Juraría que la frase del mensaje inicial que empieza por "de modo que el dominio de F..." está editada y que no era eso lo que ponía cuando respondí. Igual me equivoco y es que no me fijé en su momento.

No, Carlos, si ¡tú también has puesto el mismo dominio que yo!

No lo decía por el dominio, sino por el rango. Me pareció que habías puesto que el rango era \( \mathbb R \) y no \( \mathbb R^m \), pero igual lo di por hecho al ver que hablabas de ecuaciones y no de sistemas de ecuaciones. De hecho, no me cuadra que hables de una ecuación diferencial y luego pidas que \( F \) vaya a \( \mathbb R^m \), aunque es perfectamente lícito llamar ecuaciones a los sistemas de ecuaciones, si te gusta más así.

En tu definición las ecuaciones diferenciales tendrán que haber productos escalares o cosas así para convertir vectores en escalares, ¿no?

¿Te refieres a la definición que he puesto aquí? ¡Si sólo he tratado de ajustarme lo más posible a la tuya! Si querías referirte a un sistema de  ecuaciones diferenciales, entonces a la mía le falta la \( m \) que ha mencionado David Rochera.

No entiendo lo de las variables y el número de ecuaciones  ???

La \( m \) en el exponente del rango de F es el número de ecuaciones que tienes, la \( m \) en el exponente del rango de \( x \) es el número de incógnitas. Lo lógico es que sean el mismo número. Yo creí que estabas considerando una única ecuación con m incógnitas, pero al parecer no vi bien el rango de F que habías puesto y hablabas de un sistema de m ecuaciones con m incógnitas.

Yo entiendo que las definiciones no son equivalentes en ninguno de los sentidos expuestos, ya que si existen edos que no tengan ninguna solución, entonces esas edos sí serían edos en tu definición, pero no lo serían en la otra.

Vale, es cierto. Lo que quería decir es que, a la hora de escribir un libro sobre ecuaciones diferenciales, da igual que adoptes una definición o la otra (o incluso ninguna). Al final vas a estar hablando de ecuaciones diferenciales. Mi opinión es que es artificial exigir que una ecuación diferencial tenga que tener solución. Eso te pone en la tesitura de no poder afirmar que algo es una ecuación diferencial hasta que no sabes resolverla. Pero todo lo tocante a definiciones es cuestión de gustos. Uno define como quiere y luego cada cual que aguante la vela de sus definiciones.

09 Junio, 2015, 01:39 am
Respuesta #8

Alejandro Caballero

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Muchas gracias a los dos por las respuestas extensas, aunque aún estoy algo perdido.

Sí, convengo en que parece antinatual y extraño que exijas que una EDO tenga solución por definición. ¡Pero no ha sido idea mía! Por eso me extrañaba la definción que he dado, pero es que es lo más parecido que he podido construir a las definciones que veo en los libros. De hecho la pista me la has dado tú con tu libro de Análisis, ya que matizas que a menudo la función \( x \) será desconocida, pero me pareció que haces patente que en esa definición (digamos definición clásica que usa todo el mundo) hay ya una \( x \) que lo verifica. De hecho mi motivación para tratar de formalizarla es que no entendía en absoluto que una EDO pudiera no tener solución, en el sentido que yo veía que las definiciones que daban los libros lo estaban imponiendo. La definición que tú me has dado no impone eso en absoluto, que es lo más coherente, si luego en el libro van a trabajar admitiendo que puede no tener solución, ¿no? Lo mismo es que me tomo las definiciones muy a rajatabla, pero yo en ningún libro de EDO de los que he mirado creo que habría sido capaz de entender lo que es una EDO, si no es que —aunque no fuera formalmente— ya lo entendía yo de antes (especialmente por haber visto ejemplos).

Es cierto que en todos los libros que he visto van hacia \( \mathbb{R} \), pero en la carrera nos lo definieron así, hacia \( \mathbb{R}^m \), entonces no había pensado que no fuera una EDO también (más general, eso sí), lo siento. Yo tenía la idea de que como la diferenciabilidad se reduce a derivar coordenada a coordenada, tiene sentido que sigan siendo EDOS y no EDP aunque sean funciones de varias variables. ¿Entonces yo puedo considerar funciones vectoriales pero aún así que la EDO tenga rango real? Pero en ese caso serían EDO con productos escalares o algo similar, ¿no? Me cuesta verlo como un sistema de ecuaciones, porque tengo metido en la cabeza la idea de que las funciones vectoriales son las "funciones incógnita" de la EDO, por lo que si haces sumas, restas, multiplicaciones, etcétera, en general irás hacia \( \mathbb{R}^m \). Digamos que las EDOS que he visto yo en la práctica tienen "formato" de ir siempre hacia \( \mathbb{R}^m \), no había concebido yo que algo como

\( \langle x'(t) , x''(t) \rangle = t \)

fuera una EDO. Claro que supongo que tiene sentido considerar una función \( F \) con productos escalares o de modo que transforme vectores de \( \mathbb{R}^m \) en \( \mathbb{R}^p \), pero no logro imaginarlo como algo sencillo, ni cómo identifico eso con número de incógnitas y número de ecuaciones.

La EDO que he planteado tiene la forma

\( F\bigl(t,x(t),x'(t),x''(t)\bigr)=\langle x'(t) , x''(t) \rangle - t = 0, \)

con \( x: \ ]a,b[ \ \to\mathbb{R}^m \), con dominio en un abierto de \( \mathbb{R}^{3m+1} \) y (esta sí) rango en \( \mathbb{R} \). Esta se me ocurre que puede representar a un sistema de una única ecuación y que tenga \( m \) incógnitas en els sentido que puedo escribir 

\( \langle x'(t) , x''(t) \rangle - t = \displaystyle\sum_{i=1}^m  {x'_i(t) \cdot x''_i(t) } -t= 0, \)

Pero, en general, ¿cuál es la idea? ¿trabajar como aquí siempre con las funciones coordenadas y expresar cada componente como edo distinta?

Por otra parte... En cuanto a lo que me ha dicho David que mi definición de orden está mal, ¿es porque debo ver que mi función \( F \) depende de mi variable \( n \)-esima, independientemente de la función \( x \) que esté considerando?

09 Junio, 2015, 02:33 am
Respuesta #9

Carlos Ivorra

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Sí, convengo en que parece antinatual y extraño que exijas que una EDO tenga solución por definición. ¡Pero no ha sido idea mía! Por eso me extrañaba la definción que he dado, pero es que es lo más parecido que he podido construir a las definciones que veo en los libros. De hecho la pista me la has dado tú con tu libro de Análisis, ya que matizas que a menudo la función \( x \) será desconocida, pero me pareció que haces patente que en esa definición (digamos definición clásica que usa todo el mundo) hay ya una \( x \) que lo verifica. De hecho mi motivación para tratar de formalizarla es que no entendía en absoluto que una EDO pudiera no tener solución, en el sentido que yo veía que las definiciones que daban los libros lo estaban imponiendo. La definición que tú me has dado no impone eso en absoluto, que es lo más coherente, si luego en el libro van a trabajar admitiendo que puede no tener solución, ¿no? Lo mismo es que me tomo las definiciones muy a rajatabla, pero yo en ningún libro de EDO de los que he mirado creo que habría sido capaz de entender lo que es una EDO, si no es que —aunque no fuera formalmente— ya lo entendía yo de antes (especialmente por haber visto ejemplos).

Insisto en que, aunque legítimo, tratar de forzar la identificación de una ecuación diferencial con un conjunto es artificial y creo que confunde más que aclara. El concepto de EDO es uno de los pocos conceptos (en realidad sucede lo mismo con todo tipo de ecuaciones: ecuaciones lineales, diofánticas, etc.) que no necesitan vincularse a conjuntos para tratarlos con rigor. Un teorema típico sobre ecuaciones diferenciales afirma que, dados tales datos, existe una función que cumple tal cosa. Y esos teoremas no necesitan para ser formulados ninguna definición de ecuación diferencial. La ecuación aparece en el enunciado de forma natural, no como concepto conjuntista, sino como afirmación (como parte de la sintaxis de la fórmula que formaliza el teorema, si prefieres verlo así).

Es cierto que en todos los libros que he visto van hacia \( \mathbb{R} \), pero en la carrera nos lo definieron así, hacia \( \mathbb{R}^m \), entonces no había pensado que no fuera una EDO también (más general, eso sí), lo siento. Yo tenía la idea de que como la diferenciabilidad se reduce a derivar coordenada a coordenada, tiene sentido que sigan siendo EDOS y no EDP aunque sean funciones de varias variables. ¿Entonces yo puedo considerar funciones vectoriales pero aún así que la EDO tenga rango real?

Si tienes

\( x''=x't+y'-2xt+y+z-3t \)

\( y''=2x't+3y'-5xt^2+2y+z'-8t \)

Tienes un sistema de dos ecuaciones diferenciales con tres incógnitas. La función que lo determina es una \( (f_1(t,x'',x',x,y'',y',y,z',z),f_2(t,x'',x',x',y'',y',y,z',z)) \), es decir, una función de \( \mathbb R^9 \) a \( \mathbb R^2 \) y la solución es \( t\mapsto (x, y, z) \) una función en \( \mathbb R^3 \).

Una cosa es el número de ecuaciones y otra el número de incógnitas, como en todos los sistemas de ecuaciones.

Pero en ese caso serían EDO con productos escalares o algo similar, ¿no?

No sé por qué quieres meter productos escalares. Un producto escalar es, a estos efectos, un polinomio de segundo grado y ya está.

Me cuesta verlo como un sistema de ecuaciones, porque tengo metido en la cabeza la idea de que las funciones vectoriales son las "funciones incógnita" de la EDO, por lo que si haces sumas, restas, multiplicaciones, etcétera, en general irás hacia \( \mathbb{R}^m \).

Para que tengas solución única (salvo constantes de integración) necesitarás que el número de ecuaciones sea el mismo que el de incógnitas, pero no creo que puedas pensar con que operas las soluciones vectorialmente. Por ejemplo:

\( x'=5xyt \)

\( y'=4x+yt^2 \)

es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La \( F \) es \( F(x',y',x,y,t)=(x'-5xyt,y'-4x-yt^2) \) y no puedes pensar que operas la solución \( (x(t), y(t)) \) vectorialmente.

Pero, en general, ¿cuál es la idea? ¿trabajar como aquí siempre con las funciones coordenadas y expresar cada componente como edo distinta?

Que trabajes con las ecuaciones por separado o como una función vectorial es cuestión de lo que más convenga, pero lo que no puedes hacer es trabajar con la incógnita como un vector, porque cada coordenada de la incógnita puede aparecer en cualquier parte de las ecuaciones con independencia de dónde aparezcan las demás, como en el ejemplo que te he puesto.

Por otra parte... En cuanto a lo que me ha dicho David que mi definición de orden está mal, ¿es porque debo ver que mi función \( F \) depende de mi variable \( n \)-esima, independientemente de la función \( x \) que esté considerando?

Hombre, la definición de David tiene la ventaja de que es a priori, es decir, no define el grado de una ecuación diferencial en términos de lo que les pasa a sus soluciones. Me parece preferible. No estoy muy metido en la teoría de ecuaciones diferenciales, pero yo diría que tratar de definir el orden así es complicarse la vida. Es más fácil partir de expresiones que garanticen que la presencia del término de mayor grado no puede cancelarse. Por ejemplo, por que esté despejado desde el principio.