Sí, convengo en que parece antinatual y extraño que exijas que una EDO tenga solución por definición. ¡Pero no ha sido idea mía! Por eso me extrañaba la definción que he dado, pero es que es lo más parecido que he podido construir a las definciones que veo en los libros. De hecho la pista me la has dado tú con tu libro de Análisis, ya que matizas que a menudo la función \( x \) será desconocida, pero me pareció que haces patente que en esa definición (digamos definición clásica que usa todo el mundo) hay ya una \( x \) que lo verifica. De hecho mi motivación para tratar de formalizarla es que no entendía en absoluto que una EDO pudiera no tener solución, en el sentido que yo veía que las definiciones que daban los libros lo estaban imponiendo. La definición que tú me has dado no impone eso en absoluto, que es lo más coherente, si luego en el libro van a trabajar admitiendo que puede no tener solución, ¿no? Lo mismo es que me tomo las definiciones muy a rajatabla, pero yo en ningún libro de EDO de los que he mirado creo que habría sido capaz de entender lo que es una EDO, si no es que —aunque no fuera formalmente— ya lo entendía yo de antes (especialmente por haber visto ejemplos).
Insisto en que, aunque legítimo, tratar de forzar la identificación de una ecuación diferencial con un conjunto es artificial y creo que confunde más que aclara. El concepto de EDO es uno de los pocos conceptos (en realidad sucede lo mismo con todo tipo de ecuaciones: ecuaciones lineales, diofánticas, etc.) que no necesitan vincularse a conjuntos para tratarlos con rigor. Un teorema típico sobre ecuaciones diferenciales afirma que, dados tales datos, existe una función que cumple tal cosa. Y esos teoremas no necesitan para ser formulados ninguna definición de ecuación diferencial. La ecuación aparece en el enunciado de forma natural, no como concepto conjuntista, sino como afirmación (como parte de la sintaxis de la fórmula que formaliza el teorema, si prefieres verlo así).
Es cierto que en todos los libros que he visto van hacia \( \mathbb{R} \), pero en la carrera nos lo definieron así, hacia \( \mathbb{R}^m \), entonces no había pensado que no fuera una EDO también (más general, eso sí), lo siento. Yo tenía la idea de que como la diferenciabilidad se reduce a derivar coordenada a coordenada, tiene sentido que sigan siendo EDOS y no EDP aunque sean funciones de varias variables. ¿Entonces yo puedo considerar funciones vectoriales pero aún así que la EDO tenga rango real?
Si tienes
\( x''=x't+y'-2xt+y+z-3t \)
\( y''=2x't+3y'-5xt^2+2y+z'-8t \)
Tienes un sistema de dos ecuaciones diferenciales con tres incógnitas. La función que lo determina es una \( (f_1(t,x'',x',x,y'',y',y,z',z),f_2(t,x'',x',x',y'',y',y,z',z)) \), es decir, una función de \( \mathbb R^9 \) a \( \mathbb R^2 \) y la solución es \( t\mapsto (x, y, z) \) una función en \( \mathbb R^3 \).
Una cosa es el número de ecuaciones y otra el número de incógnitas, como en todos los sistemas de ecuaciones.
Pero en ese caso serían EDO con productos escalares o algo similar, ¿no?
No sé por qué quieres meter productos escalares. Un producto escalar es, a estos efectos, un polinomio de segundo grado y ya está.
Me cuesta verlo como un sistema de ecuaciones, porque tengo metido en la cabeza la idea de que las funciones vectoriales son las "funciones incógnita" de la EDO, por lo que si haces sumas, restas, multiplicaciones, etcétera, en general irás hacia \( \mathbb{R}^m \).
Para que tengas solución única (salvo constantes de integración) necesitarás que el número de ecuaciones sea el mismo que el de incógnitas, pero no creo que puedas pensar con que operas las soluciones vectorialmente. Por ejemplo:
\( x'=5xyt \)
\( y'=4x+yt^2 \)
es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. La \( F \) es \( F(x',y',x,y,t)=(x'-5xyt,y'-4x-yt^2) \) y no puedes pensar que operas la solución \( (x(t), y(t)) \) vectorialmente.
Pero, en general, ¿cuál es la idea? ¿trabajar como aquí siempre con las funciones coordenadas y expresar cada componente como edo distinta?
Que trabajes con las ecuaciones por separado o como una función vectorial es cuestión de lo que más convenga, pero lo que no puedes hacer es trabajar con la incógnita como un vector, porque cada coordenada de la incógnita puede aparecer en cualquier parte de las ecuaciones con independencia de dónde aparezcan las demás, como en el ejemplo que te he puesto.
Por otra parte... En cuanto a lo que me ha dicho David que mi definición de orden está mal, ¿es porque debo ver que mi función \( F \) depende de mi variable \( n \)-esima, independientemente de la función \( x \) que esté considerando?
Hombre, la definición de David tiene la ventaja de que es a priori, es decir, no define el grado de una ecuación diferencial en términos de lo que les pasa a sus soluciones. Me parece preferible. No estoy muy metido en la teoría de ecuaciones diferenciales, pero yo diría que tratar de definir el orden así es complicarse la vida. Es más fácil partir de expresiones que garanticen que la presencia del término de mayor grado no puede cancelarse. Por ejemplo, por que esté despejado desde el principio.
