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Temas - Samir M.

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Probabilidad / Un juego con dados.
« en: 28 Mayo, 2018, 07:25 am »
Hola.

Revisando un juego de mesa me he encontrado con este sistema de puntuación que he intentando modelizar sin éxito:

Tenemos un dado ideal de 10 caras, numeradas del 1 al 10. Se considera un éxito si el resultado de lanzar un dado es mayor o igual que 6, y se considera un fracaso sacar un 1, con la peculiaridad de que un fracaso anula un éxito, de modo que si lanzamos el dado dos veces y obtenemos (6,9) habremos obtenido dos éxitos, si obtenemos (8,1) serán cero los éxitos (el uno anula el éxito del 8), si obtenemos (8,3) habremos conseguido un éxito, y si saquésemos (1,1) tendríamos -1 éxitos; es decir, se pueden sacar éxitos "negativos".

Dado este sistema, me preguntaba cuál es la probabilidad de sacar más éxitos que fracasos tirando el dado \( n \) veces. No sé si se puede determinar un modelo para el caso general, así que me conformo para \( n=4 \). Es decir, tirando el dado \( 4 \) veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener más existos que fracasos? Mi problema principal radica en cómo tratar matemáticamente a los fracasos. Si intento hallar la probabilidad para una sola tirada, tendríamos \( P(1) =\dfrac{4}{10} \), pero al pasar a 2 tiradas no sé cómo meter los fracasos en el modelo.

Saludos.

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Discusiones semi-públicas / Equivalencia expresión errores.
« en: 19 Mayo, 2018, 08:49 pm »
Si \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \), entonces \( \epsilon{_f} = \sqrt{\left(\dfrac{1}{h(x)}\epsilon_g\right)^2 + \left(\dfrac{-g(x)h'(x)}{h(x)^2}\epsilon_h\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{h(x)^2}\left(\epsilon_g^2 + \dfrac{[g(x)h'(x)\epsilon_h]^2 }{h(x)^2}\right)} \) dividiendo por \( g \) ambos lados y llevando \( h \) de la raíz al otro lado de la ecuación: \( \dfrac{h(x)}{g(x)} \epsilon_f = \dfrac{\epsilon_f}{f(x)} = \dfrac{1}{g(x)}\sqrt{\epsilon_g^2 + \dfrac{[g(x)h'(x)\epsilon_h]^2 }{h(x)^2}} \). Elevando al cuadrado ambos miembros, teniendo en cuenat que \( h'(x) =1 \) y simplificando:

\( \dfrac{\epsilon_f^2}{f(x)^2} = \dfrac{\epsilon_g^2}{g(x)^2} + \dfrac{\epsilon_h^2}{h(x)^2}  \)

Para la propagación lineal pues sin elevar todo al cuadrado, el mismo procedimiento.

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Foro general / Stephen Hawking nos deja.
« en: 14 Marzo, 2018, 05:42 am »
Stephen Hawking ha dejado la luz para unirse a la oscuridad hoy a sus 76 años. Nos deja una gran mente, no sólo por sus aportaciones a la física teórica sino por también, a pesar de su estado, mantener una alegría en sus palabras y un sentido del humor agudo e inteligente constantemente [...].

http://www.europapress.es/internacional/noticia-muere-cientifico-stephen-hawking-76-anos-20180314050615.html

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Análisis Matemático / Derivación bajo la integral.
« en: 11 Agosto, 2017, 03:12 pm »
Hola.

Estaba leyendo unas notas en la que se intercambiaban dos operadores diferenciales de una manera muy artificial, a mi modo de ver:

Se tiene la expresión \( \xi = \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \) y a continuación se realiza el producto escalar con \( \nabla \) a ambos lados:  \( \nabla \cdot \xi = \nabla \cdot \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \). Bien, ahora intercambian el orden de diferenciación en el miembro derecho de la última expresión quedando que \( \nabla \cdot \xi = \displaystyle \iiint_{\mathbb{R}^3} \nabla \cdot \dfrac{\rho(\vec{r'})dV'}{R^2}\hat{R} \). La razón que dan en las notas sobre el por qué es posible este cambio es, literalmente: 'Como la integral definida puede ser interpretada como el límite de una suma, y usando la propiedad \( \nabla\cdot (A+B+C\dots) = \nabla \cdot A + \nabla \cdot B + \nabla \cdot
 C \dots \), podemos intercambiar el orden de diferenciación e integración.'

No sé si esto es correcto o no, me chirría mucho para ser honestos. La derivada es un límite, la integral definida un límite de una suma, así que habría que hacer un intercambio de límites, algo nada trivial a mi modo de ver... lo que se me ocurre en este sentido es que se deberían satisfacer las condiciones del teorema de la convergencia dominada y que los límites han de ser uniformes respecto de la otra del que se desea intercambiar. ¿Qué opináis al respecto de todo esto?

Pd: Sé que se podría justificar el cambio en los operadores sin más que acudir a la regla de Leibniz para la derivación bajo la integral... lo que no sé es si esa regla es lo mismo que proponen en las notas, o lo que he dicho yo.

Saludos.

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Topología (general) / Topología del contacto.
« en: 01 Abril, 2017, 05:57 pm »
Hola.

Estoy intentando hacer la demostración del siguiente resultado:

Sea \(  j_t : (M', \xi ') \to (M,\xi), t \in [0,1] \) una isotopía de inmersiones de contacto (contact embeddings) de la variedad de contacto cerrada \( (M', \xi') \) en la variedad de contacto \( (M,\xi) \). Entonces, existe una isotopía de contacto con soporte compacto \( \psi_t : M \to M \) con \( \psi_t(j_0(M')) = j_t(M') \).

Tampoco sé cómo se llama este resultado, ni una referencia para encontrar la demostración. ¿Alguna idea o fuente donde pueda ver la demo?

Saludos.

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Ecuaciones diferenciales / Probar que tiene solución.
« en: 22 Marzo, 2017, 06:06 am »
Hola.

Me han preguntado este problemilla sacado del libro de Coddington. Lo dejo por aquí por si a alguien le interesa. Si se me ocurre la solución la postearé.

Consideremos la ecuación diferencial \( f''' + ff'' + g(f') = 0 \) donde \( g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) es una función continua y localmente lipschitziana. Demostrar que tiene solución y que ésta es única.

Saludos.

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Esquemas de demostración - Inducción / Paso [n+1], inducción.
« en: 17 Febrero, 2017, 05:25 pm »
Hola.

Aprovechando la respuesta de feriva en este post, voy a plantear una cuestión sobre inducción que siempre me ha chirriado (y que, espero, aclare algo las cosas). Cuando demostramos algo por inducción, los pasos son sencillos: 1) se comprueba si es cierto para un caso particular, 2) se supone que es cierto para un \( n \) y 3) se intenta probar que también se cumple para \( n+1 \). En la respuesta de feriva, para demostrar el caso \( n+1 \) se está usando un signo de igualdad que es a lo que se trata de llegar. Es decir, se está dando como cierta la igualdad que se quiere probar y se está operando con ella:

restando los miembros de la derecha de las igualdades, después los de la izquierda e igualando puedes seguir

(operando como sugiere feriva se llega a lo deseado, pero considero que no es correcto hacerlo de esa manera, considero que carece de rigor. En mi opinión, se tendría que haber dicho algo así como: 'Bueno, usando nuestra hipótesis de inducción en nuestra expresión del caso \( n+1 \) se llega a que \( \dfrac{(n+1)}{2n+3}-\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac{1}{(2n+1)(2n+3)} \))

Esto lo he visto casi en todos los libros y siempre me ha chirriado pero nunca he podido llegar a nada en claro. Para demostrar el caso \( n+1 \) yo no pondría una relación como es el signo igual, porque, puesto que es lo que quiero probar, a priori no debería saber nada del tipo de relación que guardan ambas igualdades. Para el caso \( n+1 \), podría algo así como \( \mbox{blabla} \stackrel{?}=\mbox{blabla'} \) o \( \mbox{blabla } \square \mbox{ blabla'} \) (y aquí es cuando me doy cuenta que echo de menos un símbolo matemático que represente esta idea: no saber qué relación hay entre dos términos). Por tanto, no usaría esta relación en el modo que la ha usado feriva, considero que es incorrecto. Quería saber vuestras opiniones al respecto de este tema.

Saludos.

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Análisis Funcional - Operadores / Clausura del espectro puntual.
« en: 08 Febrero, 2017, 05:54 pm »
Demostrar que \( \overline \sigma_p \subseteq \sigma_c \cup \sigma_p \) siendo \( \sigma_p \) y \( \sigma_C \) el espectro puntual y continuo respectivamente.

--

En un momento dado pensé que era cierto, ya que observé que  la unión de la clausura del espectro puntual y el conjunto de los autovalores de multiplicidad infinita forman el espectro continuo. Pero ahora me parece que no es cierta. Por ejemplo, considera \( H = \ell^2(\mathbb{N}) \times \ell^2(\mathbb{N}) \) y define \( A : H \to H \) tal que

\( \displaystyle A(e_n,e_m)=(\frac{1}{n}e_n,e_{m+1}),\;\;\; n,m=1,2,3,\cdots. \)

Entonces \( A(e_n,0)=\frac{1}{n}(e_n,0)  \) lo que implica que \( 0\in\overline{\sigma_p(A)} \). Sin embargo, el rango de \( A \) no es denso ya que \( (0,e_1)\perp \mathcal{R}(A) \), luego \( 0\notin\sigma_c(A) \). Es sencillo comprobar que \( 0\notin\sigma_p(A) \) i.e: \( \mathcal{N}(A)=\{0\} \)

Así que, a no ser que haya algunas condiciones especiales, no me parece cierto.

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Discusiones semi-públicas / 0.999... = 1
« en: 06 Febrero, 2017, 03:13 pm »
Sea \( a = 0.999 \dots \). Entonces \( a \leq 1 \). Supongamos que \( a < 1 \). Entonces \( 1 - a > \epsilon \) para algún \( \epsilon > 0 \). Para este \( \epsilon \) existe un \( n \in \mathbb{N} \) tal que \( \epsilon > \dfrac{1}{10^n} \). Es decir, \( 1-a > \dfrac{1}{10^n} \). Ahora formamos un \( b = 0.\underbrace{999 \dots}_{n+1} \) donde la cantidad de nueves es \( n+1 \). Es obvio que \( b < a \). Pero, por otro lado, \( 1-b \leq \dfrac{1}{10^n} \), es decir, \( b > a \). Contradicción. Por tanto, \( a = 1 \).

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El tema ha sido movido a Análisis matemático.

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Geometría y Topología / Existencia del centro de una figura.
« en: 02 Noviembre, 2016, 08:10 am »
Hola.

En una de mis 'rayadas mentales' se me cruzó la siguiente cuestión: ¿todas las figuras tienen definidas un centro no importa cuán regular (o irregular) sea? Por ejemplo: ¿un círculo de radio infinito tiene definido un centro? Bueno, inmediatamente resalta a la vista la informalidad de la pregunta, así que intenté precisar más: pensé y busqué una definición adecuada de figura, regular, 'centro de una figura' y, para la segunda y tercera, en mi sorpresa, no encontré 'una mejor que otra'.

Preciso un poco más, y voy a definir como figura todo subconjunto del plano, y como 'centro de una figura' al baricentro (también conocido como centroide) de ésta. En cuanto a la regularidad o irregularidad, voy a dejarlo en el aire pues creo que no afecta al quid de la cuestión, pues entre mis divagaciones encontré ejemplos que no afectaban a la existencia del centroide e insultaban a la noción típica de 'figura regular' y 'figura irregular'.  Por supuesto, esto es una pregunta abierta, y si alguien se anima a pensar en la pregunta con otro tipo de definición de figura, o centro de una figura, o cualquiera que sea el término, adelante, estaré igual o más interesado en vuestros comentarios (me suscitan mucha curiosidad las distintas definiciones de 'centro de una figura'). La razón por la cual escogí tales definiciones de figura y centroide es puramente por comodidad personal con el uso de éstas.

Bueno, puestos ya un poco en contexto, os cuento a lo que he llegado yo (no está demostrado y no sé si es correcto o no, porque en geometría me siento muy inseguro normalmente, es siempre la parte que más me ha costado de las matemáticas):

Primero, pensé en conjuntos finitos y conjuntos infinitos. Después en conjuntos medibles y conjuntos no medibles. Intenté crear una forma tal que no sea integrable (aunque no estoy seguro de si requeriría el axioma de elección), lo que me negaría la existencia del centroide. Pensé en el conjunto \(  \{ (x, y): y \geq  0, -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y} \} \) y llegué a la conclusión de que no se le podía definir un centroide. Pensando de este modo llegué a la conlusión de que existían conjuntos infinitos que sí tenían definido un centroide (la integral converge). Después pensé en una estrella, que consiste en los segmentos de línea que parten del origen a cualquier punto irracional de la circunferencia de radio unidad. Es obvio que existe un centroide para esta. Pero, ¿y si consideramos, en vez de los puntos irracionales, los racionales? Esto fue lo que insultó a mi noción de figura regular o irregular. Creo que no se le podría definir un centroide aunque no estoy seguro. Después, establecí que los conjuntos infinitos, aquellos con medida cero, y los conjuntos no medibles, era muy posible que no tuvieran centroide. Luego establecí la siguiente conjetura: Cualquier conjunto con un área (en el sentido usual) finita debe tener un centroide). Luego pensé también en ella considerando sólo conjuntos con medida finita, para los cuales vi que era falsa con un contraejemplo: \( \{n + x ; n \in \mathbb{Z}, x \in [0,n^-2]\} \) cuya medida es finita y distinta de cero, pero no se le puede definir un centroide. Ya con un tono más formal intenté construir con los conjuntos de Vitali un ejemplo de figura infinita y no medible. Pero no llegé a nada. De todo esto lo que saqué en claro es que, para un conjunto finito con área definida no nula existe el centroide.

Aparte de esto, también se me pasó por la cabeza si los 'métodos de suma' para series divergentes podrían también ser aplicados para encontrar el centroide de una región que carece de uno acorde a la definición clásica de centroide. Y ya, a modo de anécdota, intenté construir una barra de hierro ordenando sus átomos en puntos del conjunto racional. Esta curiosa barra tendría masa nula sea cual fuera sus proporciones, y es totalmente no conexa.


Bueno, cualquier comentario acerca de este tema es bienvenido, sea cual sea la definición que se maneje de los términos ambigüos citados en este post, como ya comenté al principio del tema.

Saludos!

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Foro general / Mentes rígidas en las matemáticas.
« en: 02 Octubre, 2016, 05:37 am »
Hola.

¿Vosotros creéis que existen 'mentes rígidas' en las matemáticas? Es decir, si existen mentes predispuestas a entender de mejor forma una rama de las matemáticas (como puede ser el análisis funcional) que otra (como puede ser topología simpléctica o el álgebra conmutativa). Lo digo en el mismo sentido de que existen personas con mejor oído que otras, o que tienen más facilidad para ciertos tipos de deportes (y mil ejemplos más).

Hace unos días, estuve hablando con un amigo que hace nada ha acabado la carrera de matemáticas, y me planteaba esta cuestión. Él es bueno en una rama, pero se siente incómodo trabajando en otras ramas distintas (porque, o no lo ve con suficiente claridad, o no tiene la misma creatividad matemática que en su rama favorita, o no llega a la misma capacidad de abstracción, o que no se encuentra cómodo trabajando en ella... razones de este estilo), y me comentaba, eso, el párrafo inicial, que él cree que existen mentes rígidas predispuestas a entender de mejor forma una rama de las matemáticas que otras.

Me gustaría saber vuestras distintas opiniones al respecto sobre este tema, y también si:

- Consideráis que es o bueno, o malo, o ninguna de ambas, trabajar en otras ramas en las que sientes no tener la soltura que tienes en tu rama favorita (la que mejor se te da, se supone).

- Consideráis que se puede alcanzar la misma plasticidad en cualquier rama de las matemáticas (estés cómodo en ella o no) mediante trabajándola e intentar quitarte ese peso psicológico de 'esta no es mi rama' que te hace sentir incómodo.

En definitiva, a ver qué opináis al respecto y si queréis añadir algún comentario :)

Saludos.

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Discusiones semi-públicas / Coeficientes de Fourier.
« en: 29 Septiembre, 2016, 05:39 pm »
Tenemos que \( a_n = \displaystyle \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) dx \). Haciendo el cambio \( t = nx \) observamos que \( dt = ndx  \) luego \( a_n = \displaystyle \dfrac{1}{n^2\pi} \int_{0}^{n\pi} t \cos(t) dt  \) y aplicando partes llamando \( u = x  \)  y \( v' = \sin(x) \) llegamos a que \( a_n = \left. \dfrac{1}{n^2 \pi}  ( \cos{t} + t\sin{t}) \right |_0^{n\pi} = \dfrac{1}{n^2 \pi}  (\cos(n\pi) -1) = \dfrac{1}{n^2 \pi}  ((-1)^n -1) \)

Saludos.

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Discusiones semi-públicas / Derivada función inversa.
« en: 24 Mayo, 2016, 02:52 am »
Supongamos que \( y=f(x) \). La derivada de su inversa se puede enunciar formalmente  como:

Sea \( f : I \to \mathbb{R} \) inyectiva y continua, con \( I \) un intervalo abierto. Si \( f \) es derivable en \( a \in I \) y \( f'(a) \neq 0 \), entonces \( f^{-1}: \operatorname{Im}(f) \to I \) es derivable en \( b = f(a) \) y \( (f^{-1})'(b) = \dfrac{1}{f'(a)} \) o, en notación de Leibniz: \( \dfrac{dx}{dy} \Bigg|_{y = b} = \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \Bigg|_{x = a} \right)}. \)

Como la notación de Leibniz lía un poco vamos a verlo de otra manera:

Dada \( y=f(x) \) bajo las condiciones anteriores tenemos que se cumple que \( \color{blue}\mbox{1)}\color{black} ~ x = f^{-1}(y) \), \( \color{blue}\mbox{2)} \color{black}~ y=f(f^{-1}(y)) \) y también que

\( 1 = \dfrac{d}{dy}(y) \stackrel{\color{blue}2)}{=} \dfrac{d}{dy}(f(f^{-1}(y))) = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} (f'(f^{-1}(y))) \stackrel{\color{blue}1)}{=} \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy} f'(x) \) luego \( \dfrac{1}{f'(x)} = \dfrac{d (f^{-1}(y))}{dy}  \).

Fíjate que, de nuevo, si usamos la notación de Leibniz obtenemos lo mismo que al principio: \( \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}} \)

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