Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - Samir M.

Páginas: 1 2 3 [4] 5 6 7 ... 48
61
Ecuaciones diferenciales / Re: Continuidad de solución de Cauchy
« en: 12 Septiembre, 2017, 02:03 am »
Hola.

La solución \( \varphi \) que das es incorrecta, revisa los cálculos. Para hallar la forma de \( D \), primero halla el intervalo maximal de solución. Después halla el intervalo en el que \( f \) y \( g \) son continuas. No tienes más que seguir el desarrollo del apartado \( a) \).

pd: ahora sí que lo es.

Saludos.

63
Cálculo de Varias Variables / Re: Definición Epsilon-Delta
« en: 10 Septiembre, 2017, 05:13 pm »
Sí, y sí. Aunque escogiendo \( \delta^3 = \epsilon \) también vale.

Saludos.

64
Cálculo de Varias Variables / Re: Definición Epsilon-Delta
« en: 10 Septiembre, 2017, 01:08 pm »
Hola.

Observa que como \( (a-b)^2 \geq 0  \) entonces desarrollando \( a^2 + b^2  \geq 2ab \), luego, en particular, \( 2ab \leq a^2+b^2+c^2 \) para \( c \in \mathbb{R} \). Esto implica que \( \left|\dfrac{xyz}{x^2+y^2+z^2}\right| \leq \dfrac{|z|}{2} \leq \dfrac{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{2} \).

Saludos.

65
Análisis Funcional - Operadores / Re: Hiperespacio que no es cerrado
« en: 10 Septiembre, 2017, 12:44 pm »
Hola.

Definamos el funcional \( \varphi(x_{i_n}) = n \text{ y } \varphi(x_i) =0 \text{ para } i \notin \{i_n\mid n \}. \), siendo \( (i_n) \) una sucesión infinita de elementos distintos. Podemos asumir que \( \Vert x_i\Vert = 1 \) para todo \( i \). Así, el funcional \( \varphi \) es lineal y no acotado (discontinuo) y el núcleo de todo operador lineal no acotado es núcleo no cerrado. Observa que es maximal pues \( \Bbb{K} = \varphi(X) \cong X/\text{ker}(\varphi) \).

Saludos.

66
Análisis Funcional - Operadores / Re: El dual es infinito dimensional
« en: 10 Septiembre, 2017, 12:32 pm »
Hola.

Idea: Encuentra un absurdo: Si \( X^* \) fuese finito dimensional lo sería \( X^{**} \). Además, \( X^* \) es isomórfico a un subespacio de \( X^{**} \). A ver si puedes acabar.

Saludos.

67
Ecuaciones diferenciales / Re: Continuidad de solución de Cauchy
« en: 09 Septiembre, 2017, 02:45 pm »
Hola.

1. Prueba que si \( D \) no fuese abierto, \( I(t_{0},x_{0})=(\varpi_{-}(t_{0},x_{0}),\varpi_{+}(t_{0},x_{0})) \) no sería el intervalo maximal de \( \varphi \).

2. Hay una errata, debe ser \( x'=f(x)g(t) \) (o viceversa). A partir de aquí prueba que \( g(t) = (F \circ \varphi)'(t) \) siendo \( F:(a_1,a_2) \to \mathbb{R} \) tal que \( F(x) = \displaystyle \int_{x_0}^x \dfrac{d\xi}{f(\xi)} \), integra a ambos lados en la igualdad de \( g \), y usa el teorema fundamental del calculo junto con propiedades de funciones inversas para deducir la continuidad de \( \varphi \).

Saludos.

68
Cálculo de Varias Variables / Re: Como entender bien el vector gradiente
« en: 08 Septiembre, 2017, 12:38 pm »
Estoy con un enredo tremendo, que realmente representa el vector gradiente? he leido mil veces ya que su dirección apunta a donde hay máxima inclinación, pero eso no queda claro sin verlo geometricamente

Míralo analíticamente:

De la definición de derivada direccional se puede concluir fácilmente que la derivada direccional de \( f \) en \( (a,b) \) en la dirección del vector unitario \( \hat{u} \) es \( D_{\hat{u}} f(a,b)
 = \hat{u} \cdot \nabla f(a,b) \). Usando que \( \hat{u} \cdot \nabla f(a,b) = |\hat{u}||\nabla f(a,b)| \cos{\theta} = |\nabla f(a,b)| \cos{\theta} \) siendo \( \theta \) el ángulo entre \( \hat{u} \) y \( \nabla f(a,b) \), tenemos que \( D_{\hat{u}} f(a,b) = |\nabla f(a,b)| \cos{\theta} \). Bien, si \( \theta = 0 \), es decir, si \( \hat{u} \) tiene la misma dirección que \( \nabla f(a,b) \), es decir, si la derivada direccional la hacemos en el sentido y dirección del vector gradiente, ésta será máxima. Si la hacemos en sentido contrario, ésta será mínima (\( \theta = \pi \)  y \( \cos{\theta} = -1 \)) y si \( \hat{u} \perp \nabla f(a,b) \) (i.e: son perpendiculares) entonces \( \cos{\theta} = 0  \) y la derivada es nula. Este último caso explica por qué la derivada direccional es nula en direcciones tangentes a la curva de nivel de \( f \) que pasa por \( (a,b) \).

Saludos.

69
Ecuaciones diferenciales / Re: EDO Solución
« en: 08 Septiembre, 2017, 12:15 pm »
Hola.

Este problema me suena, creo que está sacado del Sotomayor para edos. Veamos el a) a ver.

Por ser \( f\in C^1 \) por el teorema de unicidad y existencia de EDOS, la solución de existir, es única. Supongamos que \( x \) es solución a la EDO planteada. Supongamos, también, que \( \displaystyle \lim_{t\to{0}}\frac{x(t)-rt}{t}=0 \), i.e: que \( x(t) \) es tangente a \( rt \). Por la unicidad de la solución, \( x(t) \) y \( rt \) no pueden intersecarse en ningún punto, luego, o bien \( x(t) < rt \ \ \forall t \) o bien \( x(t) > rt \ \ \forall t \). Supongamos que \( x(t) < rt \) (siendo el otro caso complétamente análogo). Definamos la variable auxiliar \( \xi = \dfrac{x}{t} \). Entonces, puesto que \( \dfrac{x}{t}\to r \) conforme \( t\to 0^+ \), tenemos que \( \xi \to r \) conforme \( t\to 0^+ \) Desarrollando en torno a \( r \) la función \( f(\xi) \) y usando que \( f(r)=r \) tenemos que \( f(\xi)= r + f'(r)(\xi - r)+o(\xi - r) \) y usando que \( \xi'=\dfrac{f(\xi)-\xi}{t}  \) tenemos que

 \( t \xi ' = f(\xi) - \xi = -(\xi - r) + f'(r)(\xi - r)+o(\xi - r) = (f'(r) - 1)(\xi - r) + o(\xi-r) \)

pero como \( f'(r) < 1  \) y además, por hipótesis, \( \xi < r \), tenemos que para \( t \) lo suficientemente pequeño, \( t \xi ' > 0 \) lo que implica que \( \xi  \) es estrictamente creciente conforme \( t\to 0^+ \)contradiciendo que \( \xi \to r \).

Mira a ver si puedes acabar los demás apartados.

Saludos.

70
Cálculo de Varias Variables / Re: inyectividad de funciones
« en: 08 Septiembre, 2017, 10:49 am »
Hola.

¿Qué has intentado? ¿Cuáles son las definiciones que manejas?

Saludos.

71
Temas de Física / Re: Problema electromagnetismo
« en: 03 Septiembre, 2017, 12:16 pm »
Hola.

Aplica la definición de diferencial, no tiene más. Por ej, para el a), el área es \( A(r) =\pi r^2 \) y sabemos que \( Q(r) = \sigma A(r) = \sigma \pi r^2  \) por tanto \( dQ = 2\pi r\sigma dr \) (aplicando que si \( y=f(x) \) entonces \( dy = f'(x) dx \)). Para el c), una varilla de espesor \( d\theta \) y lontigud \( R \), si nos la imaginamos como un sector circular muy pequeño de anchura \( d\theta \), entonces el lado perperndicular al radio de la varilla (que no es más que el arco de este pequeño sector circular) es \( rd\theta \) y, así, la varilla ocupa un área \( dA= rd\theta dr \) y como \( dQ = \sigma dA \) entonces \( Q = \displaystyle \int_0^R \sigma r d\theta dr = \dfrac{1}{2}R^2 \sigma d\theta \). En este último ejercicio lo que estás haciendo básicamente es hallar la carga total del disco por unidad de ángulo \( \theta \) (en coordenadas polares).

Saludos.

72
Ecuaciones diferenciales / Re: funciones crecientes
« en: 01 Septiembre, 2017, 01:01 pm »
Hola.

Define \( s^+=\left\{\begin{array}{l}s\text{ si }s\ge0,\\0\text{ si }s< 0\end{array}\right. \) de modo que \( (v-u)^+|_{\partial\Omega}=0 \). Observa que \( \Delta u - \Delta v = \Delta(u-v)\leq f(u)-f(v) \). Multiplicando por \( (v-u)^+ \) e integrando en \(  \Omega \), tenemos que

 \( \displaystyle -\int_{\Omega}\Delta(v-u)(v-u)^+dx\leq \int_{\Omega}(f(u)-f(v))(v-u)^+dx \)

integrando por partes,

\( \displaystyle \underbrace{\int_{\partial \Omega} \nabla(v-u) \underbrace{(v-u)^+}_{\text{es 0 en }\partial \Omega}\nu dS}_{=0} + \int_{\Omega}|\nabla(v-u)^+|^2dx\leq \int_{\Omega}(f(u)-f(v))(v-u)^+dx \)

y puesto que \( f \) es creciente, \( (f(u)-f(v))(v-u)^+\le0 \), luego la integral derecha es no positiva: \( \displaystyle \int_{\Omega}(f(u)-f(v))(v-u)^+dx \leq 0 \) por lo que \( \displaystyle\int_{\Omega}|\nabla(v-u)^+|^2dx\leq 0 \)

i.e: \( (v-u)^+ = 0  \), y por tanto, \( v \leq u \) en \( \Omega \).

Saludos.

73
Ecuaciones diferenciales / Re: EPD de primer orden (Picone)
« en: 29 Agosto, 2017, 11:11 pm »
:banghead: ¿En donde utilizo la hipótesis \( a(x,y)x+b(x,y)y>0 \) en la frontera de \( \Omega \)?:banghead:
 

Siguiendo la primera idea:

En la frontera. Si ya has demostrado que \( u=0 \) en \( \Omega \), queda probarlo en \( \partial \Omega \). Siguiendo la primera idea, si parametrizamos la frontera por \( x = \cos(\theta) \) e \( y = \sin(\theta) \) entonces, la derivada en la dirección de \( r \) es \( \dfrac{\partial u}{\partial r} = - u_x \sin(\theta) + u_y \cos(\theta) \) y la derivada normal a esta dirección es \( \dfrac{\partial u}{\partial r} = u_x \cos(\theta) + u_y \sin(\theta) \). Supongamos que existe un máximo en la frontera. Entonces \( - u_x \sin(\theta) + u_y \cos(\theta) = 0 \). Llevando esto a la EDP y reordenando tenemos que \( (a \cos \phi + b \sin \phi)(u_x \cos \phi + u_y \sin \phi) = -u \). Por hipótesis, \( (a \cos \phi + b \sin \phi) \geq 0 \) en \( \Omega \), y puesto que la derivada normal es positiva (tenemos un máximo en la frontera), \( u \leq 0 \). Análogamente se muestra que si hay un mínimo, entonces \( u \geq 0  \) y por tanto, \( u=0 \) en \( \partial \Omega \) y fin.

Siguiendo la tercera idea: Tenemos que \( (x'(t),y'(t))=(a(x(t),y(t)),b(x(t),y(t)) \) y \( z(t) = u(x(t),y(t)) \). Supongamos que existe el máximo en \( P_0 \). Por tanto, existe un \( t_0 \) tal que \( z(t_0) = P_0 = (x(t_0),y(t_0)) \). Evaluando la ecuación de características en \( t_0 \) y haciendo el producto escalar con \( (x(t_0),y(t_0)) \) tenemos que   \( (x'(t_0),y'(t_0))\cdot (x(t_0),y(t_0))= x(t_0)a(x(t),y(t))+y(t_0)b(x(t),y(t)) > 0 \) por hipótesis. Por tanto \( (x'(t_0),y'(t_0))\cdot (x(t_0),y(t_0)) > 0 \). Supongamos que \( C>0 \), entonces:

  • Puesto que \( z(t) =Ce^{-t} \) y \( C>0 \), la función \( z \) es decreciente y, por tanto, dado un \( \epsilon >0 \) tal que si \( t < t_0 \) con \( |t_0-t| < \epsilon \), tenemos que \( v(t) > v(t_0) \) y por tanto \( (x(t_0),y(t_0)) \notin \Omega. \\ \)
  • Por otro lado, puesto que \( (x'(t_0),y'(t_0))\cdot (x(t_0),y(t_0)) > 0 \), dado un \( \epsilon >0 \) tal que si \( t < t_0 \) con \( |t_0-t| < \epsilon \) tenemos que \( (x(t),y(t))
     \in \Omega  \).

Absurdo. Luego \( C \leq 0 \) y, así, \( u \leq 0 \). Procede análomanete para el mínimo.


Saludos.




74
Ecuaciones diferenciales / Re: funciones crecientes
« en: 29 Agosto, 2017, 01:07 am »
Hola.

Aplica el principio del máximo y mira a ver si puedes finalizar.

Saludos.

75
Hola.

Para el 2 prueba que \( f \) es acotada y que el conjunto de puntos de discontinuidad tiene medida cero. Un camino más directo no se me ocurre.

Saludos.

76
Cálculo de Varias Variables / Re: Demostracion "limites iterados"?
« en: 28 Agosto, 2017, 05:53 am »
Hola.

La idea fundamental es tener en mente la desigualdad triangular y, obviamente, plantear bien las definiciones. Te ayudo con una parte a modo de ejemplo:

Sea \( L =\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(a,b)}{f(x,y)}  \) y supongamos que existe \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)} \). Definamos \( g(y) = \displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)} \).

Por definición, \( L =\displaystyle\lim_{(x,y) \to{}(a,b)}{f(x,y)} \iff \forall \epsilon \, \exists \delta  \) tal que si \( 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta \) entonces \( |f(x,y)-L|<\epsilon \). Definamos \( \epsilon = \dfrac{\epsilon '}{2} \). Entonces  \( |f(x,y)-L|<\dfrac{\epsilon '}{2} \). De nuevo, por definición de límite, \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}{f(x,y)} = g(y) \iff \forall \epsilon \, \exists \delta  \) tal que si \( 0<|x-a|<\delta \) entonces \( |f(x,y)-g(y)| < \epsilon =  \dfrac{\epsilon '}{2}  \). Por otro lado, por la desigualdad triangular, \( |g(y) - L |\leq |g(y)-f(x,y)|+|f(x,y)-L| < \dfrac{\epsilon '}{2} + \dfrac{\epsilon '}{2} = \epsilon '  \). Para el otro es análogo.

Saludos.

77
Hola.

Creo que no. El área es \( A(x) = x^2 \) donde \( x \) es la longitud del lado. Así \( dA = 2 x dx \). Compara esto con lo que has hecho.

Saludos.

78
Hola.

Pues cuando el primer término se anula. Por ejemplo, si \( y = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \) entonces desarrollando la serie encontramos que \( y = a_0x^0 + a_1 x^1 + a^2x^2\dots \) etc. Si derivamos esta serie una vez término a término el \( a_0 \) desaparece, por lo que la serie ha perdido un término y se ha de correr la suma. Si derivásemos dos veces, es decir, \( y'' \), los coeficientes \( a_0 \) y \( a_1 \) desaparecerían, luego la suma tendría que empezar en \( n=2 \). Pero en el caso de la solución planteada por Frobenius, la serie de potencias es de la forma \( y_b = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^{n+r} \), y derivando una vez \( y_b \) observamos que el primer término es \( (0+r)a_0 x^{0+r-1} \), que no es necesariamente 0 (depende de \( r \)) y lo mismo pasa con las derivadas de orden superior; los coeficientes no tienen por qué anularse. Esta es la razón por la que, en general, no se corren los índices en las series de frobenius.

79
Cálculo de Varias Variables / Re: Torsión
« en: 27 Agosto, 2017, 04:04 am »
Sabemos que, sí \( t \) es un parámetro admisible (inyectivo y continuo, al menos) de la curva, este puede ser expresado en función del parámetro natural de la curva, \( s = f(t) \), con inversa \( t = f^{-1}(s) = g(s) \). Supongamos una curva \( \gamma:I\to\mathbb{R}^3, \, t \mapsto \gamma(t) \)  de clase \( C^3 \) con la normal unitaria de clase \( C^1 \). 

\( t \) es el parámetro de la curva. \( \bf{t} \) (en negrita) es el vector tangente de la curva. \( \dot{t} = \dfrac{dt}{ds} = \dfrac{1}{\dfrac{ds}{dt}} = \dfrac{1}{|\gamma{(t)}|} \)

80
Cálculo de Varias Variables / Re: Torsión
« en: 27 Agosto, 2017, 03:01 am »
Hola.

En ese caso debes usar la regla de la cadena. Sabemos que, sí \( t \) es un parámetro admisible (inyectivo y continuo, al menos) de la curva, este puede ser expresado en función del parámetro natural de la curva, \( s = f(t) \), con inversa \( t = f^{-1}(s) = g(s) \). Supongamos una curva \( \gamma:I\to\mathbb{R}^3, \, t \mapsto \gamma(t) \)  de clase \( C^3 \) con la normal unitaria de clase \( C^1 \).

Entonces, puesto que \( t = g(s) \), \( \dot{\gamma} = \dfrac{d\gamma}{ds} =\dfrac{d\gamma}{dt} \dfrac{dt}{ds} = \gamma (t)' \dot{t}(s) \). Por otro lado, \( \ddot{\gamma} =\dfrac{d}{ds} \gamma (t)' \dot{t}(s) = \gamma (t)' \ddot{t}(s) + \left (\dfrac{d}{ds} \gamma (t)'\right ) \dot{t}(s) =  \gamma (t)' \ddot{t}(s) + \left (\dfrac{d \gamma (t)'}{dt} \dfrac{dt}{ds}\right ) \dot{t}(s) = \gamma (t)' \ddot{t}(s)  + \gamma (t)''  \dot{t}^2(s) \).

Ahora halla \( \dddot{\gamma} \) y haz el producto triple \( [\dot{\gamma}, \ddot{\gamma}, \dddot{\gamma}]  \).

Demuestra también que   \( [\dot{\gamma}, \ddot{\gamma}, \dddot{\gamma}] = \tau \kappa^2 \). Para  \( \dddot{\gamma} \) deriva \( \ddot{\gamma} =\bf{\dot{t}} = \kappa \bf{n} = \kappa (\bf{b} \times \bf{t}) \).

Reordena y listo.

Saludos.

Páginas: 1 2 3 [4] 5 6 7 ... 48