Por último, dar las gracias a todos los que han contestado, me habeis ayudado a encontrar una explicación de este método.
Y no se si alguien me ha intentado explicar lo que acabo de escribir antes, si es así no lo he entendido.

Me da la sensación de que no lees, o lees en diagonal, nuestras respuestas. En particular, el post de GeómetraCat, Luis Fuentes o el mío explican con y sin variables tu último post y lo que vienes preguntando desde el principio. Puedes indicarnos las dudas en concreto sobre qué no entiendes de tales respuestas, será más útil para nosotros y para ti.

Saludos.

Hola.

Como ya te han comentado, debes tener claro cómo interpretas a \( a^x \) cuando \( x\in \mathbb{R} \). Supongamos que \( a<0 \) y \( x\in \mathbb{R} \). Entonces puedes definir la función \( f(x) = a^x  \) como \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \) tal que \( a^x\mapsto |a|^xe^{i\pi x} \). En ese caso, \( (-1)^x = (e^{\pi i})^x = e^{i \pi x} = \cos(\pi x) + i \sin(\pi x) \) que simplemente oscila. Si suponemos que \( a<0 \) y restringimos \( x\in \mathbb{N} \), fíjate que si \( a_x = 3 + (-1)^x \) entonces \( a_{2x} = 4 \) y \( a_{2x+1} = 2 \).  Como las subsucesiones tienen límites distintos, \( a_x \) no converge. También puedes analizar el caso \( x = \dfrac{a}{b} \) con \( b \) impar.

Respecto a tu segunda pregunta, creo que queda respondida en la primera. Como curiosidad, también puedes mirar este resultado.

Saludos.

Hola.

¿Pero y por qué no lo planteas con la fuerza de Lorentz? Tienes que  \( E + \dfrac{1}{c}v \times B = \dfrac{m}{e} v' \)...

Si no lo que puedes hacer es, en vez de desarrollar el rotacional, usar el teorema de Stokes y reescribir la ecuación de maxwell en forma integral.

Saludos.

Hola.

Depende. Si trabajas en un espacio de estados 2-dimensional, entonces sí: la energía, en general, combinando la primera y segunda ley de la termodinámica, se expresa como \( dE = T dS - PdV \), siendo todas las variables, variables de estado. Así, trabajando en un espacio 2 dimensional (ej, una sustancia de un sólo compuesto cuya masa es conocida) necesita sólamente dos de esas variables para definir todas las demás, y perfectamente puedes escribir \( E=f(S,V) \) aunque no resulte nada adecuado (pues es mucho más fácil medir el volumen. presión, o temperatura de un sistema).

Saludos.

Hola.

Pero tú tienes una función \( f:(\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2})\to\mathbb{R} \). No veo el sentido a estudiar intervalos que no están en el intervalo de definición. Tú has llegado a que la función \( H(x) \) es decreciente en el intervalo de definición. Por tanto \( H(x) \neq H(x+a) \) en el intervalo de definición (que, de nuevo es todo el intervalo \( (\pi-2k,\displaystyle\frac{\pi}{2}) \)), pues si no contradiría que sea estrictamente decreciente. Creo que lo que estás pensando es que es posible tener \( f:(a,b)\to\mathbb{R} \) y \( f': (c,d) \to \mathbb{R} \) tal que \( (a,b)\subset (c,d) \), y no es posible. Sólo es posible que \( (c,d)\subset (a,b) \). O sea me da la impresión de que estás estudiando la derivada fuera del intervalo de definición de la función \( f \), cosa que no tiene sentido.

Saludos.

Hola.

La conclusión es correcta, pero fíjate que \( \dfrac{\pi}{2.65}\leq x \leq \pi/2 \), por tanto tienes que ver que es decreciente en ese intervalo.

Es mi hipótesis. Suponiendo que \( \phi(t) \) no esta definida en un punto \( b \) de \( \mathbb{R} \) (es decir, que tiende a infinito o menos infinito) llego a una contradicción, por lo que tiene que estar definida en todo \( \mathbb{R} \)

Pero que no esté definida no implica que la solución explote (es decir, que tienda a infinito), puede salirse del dominio o quedarse en la frontera.

Por otro lado, estás definiendo \( \phi : (-\infty, b) \to \mathbb{R} \), entonces \( \lim_{x\to b^+}\phi(x) \) no está definido, luego no veo cómo concluyes que \( \displaystyle\lim_{t \to{+}b}{\phi'(t)=\displaystyle\lim_{t \to{+}b} f(t)g(\phi(t))=f(b)K} \).

Saludos.

Hola.

Entonces llego a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \) (ya que no esta definida en \( b \)) con una derivada acotada.

¿Cómo llegas a que \( \phi(t) \) tiende a infinito en \( b \)? No entiendo bien a qué te refieres con que no está definida en \( b \) (y cómo tiene que ver que no esté definida con que tienda a infinito).

Hola.

Sí, es correcto. La extensión del teorema de Picard que mencionas a sistemas es casi directa. La condición de existencia y unicidad se convierte en exigir que: dada \( y\in \mathbb{R}^n \)  (esto es, \( y \) es un vector de funciones) y el sistema \(  {\bf{y}}'(x) = {\bf{f}}(x,{\bf{y}}(x)) \), si cada \( f_i \) es continua en \( I \times \mathbb{R}^n \) y se cumple que \( |f_i(x,{\bf{y}}) - f_i (x, {\bf{z}}) | \leq K \| {\bf{y}} - {\bf{z}} \| \) en \( I \times \mathbb{R}^n \) entonces se verifican los resultados del teorema que conoces para cada \( f_j \).

Saludos.

Hola.

Revisando un juego de mesa me he encontrado con este sistema de puntuación que he intentando modelizar sin éxito:

Tenemos un dado ideal de 10 caras, numeradas del 1 al 10. Se considera un éxito si el resultado de lanzar un dado es mayor o igual que 6, y se considera un fracaso sacar un 1, con la peculiaridad de que un fracaso anula un éxito, de modo que si lanzamos el dado dos veces y obtenemos (6,9) habremos obtenido dos éxitos, si obtenemos (8,1) serán cero los éxitos (el uno anula el éxito del 8), si obtenemos (8,3) habremos conseguido un éxito, y si saquésemos (1,1) tendríamos -1 éxitos; es decir, se pueden sacar éxitos "negativos".

Dado este sistema, me preguntaba cuál es la probabilidad de sacar más éxitos que fracasos tirando el dado \( n \) veces. No sé si se puede determinar un modelo para el caso general, así que me conformo para \( n=4 \). Es decir, tirando el dado \( 4 \) veces, ¿cuál es la probabilidad de obtener más existos que fracasos? Mi problema principal radica en cómo tratar matemáticamente a los fracasos. Si intento hallar la probabilidad para una sola tirada, tendríamos \( P(1) =\dfrac{4}{10} \), pero al pasar a 2 tiradas no sé cómo meter los fracasos en el modelo.

Saludos.