Iré punto por punto
Problema 5 En este problema consideramos enteros ciclotómicos de orden \( 23 \).
Probar que los números invariantes por la conjugación \( \sigma_2 \) son de la forma \( a+b\eta_1+c\eta_2 \), para ciertos enteros ciclotómicos \( \eta_1 \), \( \eta_2 \) que hay que calcular y \( a,\;b,\;c \) enteros (pasando a la forma reducida podemos tomar \( c=0 \).
Observemos primero que si las \( \omega^i \) son las raíces 23-ésimas complejas de la unidad entonces \( \sigma_2(\omega^i)=\omega^{2i}=\omega^r \) donde \( r \) es el resto de dividir \( 2i \) sobre 23. En efecto, si \( 2i=a23+r \) entonces \( \sigma_2(\omega^i)=\omega^{2i}=\omega^{a23+r}=(\omega^a)^{23}\omega^r=\omega^r \). En lo que sigue, cada vez que un exponente de \( \omega \) exceda \( 22 \), anotaremos su resto directamente.
Los \( \alpha \) invariantes por \( \sigma_2 \) son los que cumplen \( \alpha=\sigma_2(\alpha) \), luego
\( \alpha=\displaystyle\sum_{i=0}^{22}{a_i\omega^i}=\sigma_2(\displaystyle\sum_{i=0}^{22}{a_i\omega^i})=\displaystyle\sum_{i=0}^{22}{a_i\omega^{2i}} \)
Como las conjugaciones son aditivas, podemos analizar cada término por separado. Observemos entonces que \( a_1\omega=\sigma_2(a_1\omega)=a_1\omega^2=a_2\omega^2 \), luego, \( a_1=a_2 \)
Haciendo este tipo de análisis llegamos a que existen solo tres coeficientes distintos:
\( a=a_0 \)
\( b=a_1=a_2=a_4=a_8=a_{16}=a_9=a_{18}=a_{13}=a_3=a_6=a_{12} \)
\( c=a_5=a_{10}=a_{20}=a_{17}=a_{11}=a_{22}=a_{21}=a_{19}=a_{15}=a_7=a_{14} \)
El número ciclotómico multiplicado por \( b \) debe ser entonces:
\( \eta_1=\omega_1+\omega^{2}+\omega^{3}+\omega^{4}+\omega^{6}+\omega^{8}+\omega^{9}+\omega^{12}+\omega^{13}+\omega^{16}+\omega^{18} \)
y el número ciclotómico multiplicado por \( c \) debe ser:
\( \eta_2=\omega^{5}+\omega^{7}+\omega^{10}+\omega^{11}+\omega^{14}+\omega^{15}+\omega^{17}+\omega^{19}+\omega^{20}+\omega^{21}+\omega^{22} \)
De modo que si \( \alpha \) es invariante por \( \sigma_2 \), se puede escribir como
\( \alpha=a+b\eta_1+c\eta_2 \)
De aquí, es un paso trivial pasar a la expresión reducida, restando \( c \) a los tres coeficientes.
Pasemos al siguiente punto
Calcular \( \eta_1+\eta_2 \) y \( \eta_1\eta_2 \)
Para la suma, basta observar que \( \eta_1 \) y \( \eta_2 \) reúnen todas las potencias de \( \omega \) posibles y que ninguna se repite, luego
\( \eta_1+\eta_2=\displaystyle\sum_{i=1}^{22}{\omega^i}=c_{23}(\omega)-1=-1 \)
donde \( c_{23}(x) \) es el polinomio ciclotómico de orden 23, que se anula en \( \omega \)
La multiplicación \( \eta_1\eta_2 \) se puede hacer a mano, como la hice yo (es una tabla de unos y ceros de 23x23) o programar una calculadora en excel. Para esto último se puede tener en cuenta que si \( \alpha\beta=\gamma \), los coeficientes \( c_i \) de \( \gamma \) se pueden obtener a partir de los \( a_i \) y\( b_i \) de \( \alpha \) y \( \beta \) mediante una formula general que obtuve para el caso \( p=5 \) y supongo que también vale aquí
\( c_i=\displaystyle\sum_{j+k\equiv{i}\;mod(23)}{a_jb_k} \)
Hecho a mano me da \( 5(\displaystyle\sum_{i=1}^{22}{\omega^i})+11 \), cuya expresión reducida es \( 6 \), como puso Carlos en el Spolier, lo que configura una coincidencia maravillosa.
Sigo en el siguiente.
