Pero si no hay nada que disculpar. ¿Qué me va a mí o qué me viene si escribís hoy o la semana que viene? Cada cual que vaya a su ritmo y yo respondo cuando aparece algo pendiente. No tiene más misterio.
Sabía que dirías eso.
En el caso de \( \epsilon \) tenemos que es raíz del polinomio \( x^2−x−1 \), por lo que si tienes un polinomio en \( \epsilon \), digamos \( P(\epsilon) \) (en particular una potencia de \( \epsilon \)) puedes dividir \( P(x)=(x^2−x−1)C(x)+ax+b \), y evaluando en\( \epsilon \) queda que \( P(\epsilon)=a\epsilon+b \).
Ya sospechaba yo que se podía probar en una linea y media.
Problema 4 Aceptando que las unidades fundamentales para \( p=7 \) son las indicadas en la nota precedente, demostrar el (segundo) lema de Kummer para \( p=7 \), es decir, probar que una unidad ciclotómica de orden 7 es una potencia séptima si y sólo si es congruente con un entero módulo 7
Las unidades fundamentales indicadas para \( p=7 \) son \( \epsilon_1=\omega^6+\omega \) y \( \epsilon_2=\omega^4+\omega^3 \)
Sea \( \alpha \) una unidad ciclotómica de orden 7 congruente con un entero \( k \) modulo 7. Debemos mostrar que \( \alpha \) es una potencia septima (el recíproco ya está probado en el hilo).
Sabemos entonces que
(1) \( \alpha\equiv{k}\;(\mbox{mod 7}) \) con \( k\in{\mathbb{Z}} \)
Si \( \alpha \) es unidad ciclotómica entonces
(2) \( \alpha=\pm{\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t} \) para \( m,\;r,\textrm{ y }s\textrm{ enteros} \)
La expresion (2) es una abreviación de \( \alpha=+\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t \) o \( \alpha=-\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t \)
Si \( \alpha=-\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t \) entonces \( -\alpha=\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t \). Pero si \( \alpha \) es una potencia séptima congruente con un entero, entonces \( -\alpha \) también lo es. En efecto, si\( \alpha\equiv{k}\;(\mbox{mod 7}) \) con \( k\in{\mathbb{Z}} \), entonces \( -\alpha\equiv{-k}\;(\mbox{mod 7}) \) con \( -k\in{\mathbb{Z}} \); y si \( \alpha=\beta^7 \), entonces \( -\alpha=-\beta^7=(-\beta)^7 \). De manera que podemos trabajar con la forma positiva de (2) sin perder generalidad.
Sea entonces
(3) \( \alpha=\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t \) para \( m,\;r,\textrm{ y }s\textrm{ enteros} \)
Como \( s \) y \( t \) son enteros, existen enteros \( \textrm{c, c', r y r'} \) tales que
\( s=c7+r \) y \( t=c'7+r' \) con \( r \) y \( r' \) entre \( 0 \) y \( 6 \).
Además, \( m \) tambien podemos tomarlo entre \( 0 \) y \( 6 \) porque \( \omega^7=\omega^0=1 \) y a partir de allí se repiten las 7 raíces séptimas de la unidad.
Entonces (3) nos queda
(4) \( \alpha=\omega^m(\epsilon_1^c)^7(\epsilon_2^{c'})^7\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \)
Por ser una potencia séptima de un entero ciclotómico, sabemos que \( (\epsilon_1^c)^7\equiv{h}\;\mbox{(mod 7)} \) para algún entero \( h \), pero además, \( h\not\equiv{0}\;\mbox{(mod 7)} \) porque en ese caso \( 7 \) dividiría a \( (\epsilon_1^{c})^7 \), lo que es imposible porque \( (\epsilon_1^c)^7 \) es una unidad.
Del mismo modo \( (\epsilon_2^{c'})^7\equiv{h'}\;\mbox{(mod 7)} \), y valen las mismas consideraciones para \( h' \).
Ahora, por el Pequeño Teorema de Fermat, tenemos que
(5) \( h^6\equiv{1}\;\mbox{(mod 7)} \) y \( h'^6\equiv{1}\;\mbox{(mod 7)} \)
Entonces,
\( h^5h'^5k\equiv{h^5h'^5\omega^m(\epsilon_1^c)^7(\epsilon_2^c)^7\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}}\equiv{h^6h'^6\omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}}\equiv{\omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}}\;\mbox{(mod 7)} \)
Lo que sigue es ver para qué valores de \( \textrm{m, r y r'} \), los tres entre \( 0 \) y \( 6 \), \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) es congruente con un entero módulo \( 7 \) y ver si con esa terna de valores \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) es una potencia séptima.
Aquí me hice una calculadora de productos y potencias para ciclotómicos de orden 7. Luego calculé los 49 productos posibles de la forma \( \epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) con \( \textrm{r y r'} \) entre \( 0 \) y \( 6 \) (siempre incluyendo ambos). Las conclusiones de esa inspección son las siguientes:
Si \( r\neq{0} \) y \( r'\neq{0} \) entonces siempre ocurre que:
\( \epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=a(\omega^5+\omega^2)+b(\omega^4+\omega^3)+c \), con \( \textrm{a, b y c} \) enteros y \( 7 \) no divide a \( a \) o \( 7 \) no divide a \( b \). Entonces:
\( \epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}\neq{7(a'(\omega^5+\omega^2)+b'(\omega^4+\omega^3))+c} \) (para algún par de enteros \( \textrm{a' y b'} \)); y por lo tanto, \( \epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) no es congruente con un entero modulo \( 7 \).
Ahora distinguimos 4 casos:
1° caso: Si \( m\neq{0} \) y \( \textrm{r y r'} \) distintos de \( 0 \)
\( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=\omega^m(a(\omega^5+\omega^2)+b(\omega^4+\omega^3)+c)=a(\omega^{5+m}+\omega^{2+m})+b(\omega^{4+m}+\omega^{3+m})+c\omega^m \)
que solo podría ser congruente con \( 0 \) modulo \( 7 \), lo que ocurriría solo si \( \textrm{a, b y c} \) fueran múltiplos de \( 7 \); pero hemos visto que \( 7 \) no divide a \( a \) o no divide a \( b \), por lo tanto, \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) no es congruente con un entero módulo \( 7 \).
2° caso. Si \( m\neq{0} \) y \( r=r'=0 \), entonces \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=\omega^m \) que no es congruente con un entero módulo \( 7 \)
3° caso: Si \( m=0 \) y \( \textrm{r y r'} \) distintos de \( 0 \), entonces \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'} \) y el producto de la derecha nunca es congruente con un entero modulo \( 7 \), lo que puede comprobarse inspeccionando los 48 casos cosibles.
4° caso: De modo que solo puede ser \( m=r=r'=0 \), donde \( \omega^m\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=1 \), congruente con \( 1 \) modulo \( 7 \).
Por lo tanto, partiendo de (4)
\( \alpha=\omega^m(\epsilon_1^c)^7(\epsilon_2^{c'})^7\epsilon_1^r\epsilon_2^{r'}=(\epsilon_1^c)^7(\epsilon_2^{c'})^7=(\epsilon_1^c\epsilon_2^{c'})^7 \)
Luego, \( \alpha \) es una potencia séptima, como queríamos probar.
¡Gracias a
ingmarov por los enlaces!
