Me quedé pensando. En orden 7, hay tres pares de raíces séptimas complejas de la unidad que son conjugadas entre sí: \( (\omega,\omega^6) \); \( (\omega^3,\omega^4) \) y \( (\omega^2,\omega^5) \).
Ahora bien, tanto \( \epsilon_1=\omega+\omega^6 \) como \( \epsilon_2=\omega^3+\omega^4 \) son unidades fundamentales. ¿Por qué razón no lo es también \( \epsilon_3=\omega^2+\omega^5 \)?
Observo en mi calculadora que \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=1 \), luego, \( \epsilon_3=\epsilon_1^{-1}\epsilon_2^{-1} \), entonces cada vez que podamos escribir una unidad ciclotómica como \( \alpha=\pm{\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t\epsilon_3^u} \) podremos escribir:
\( \alpha=\pm{\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t\epsilon_1^{-u}\epsilon_2^{-u}}=\pm{\omega^m\epsilon_1^{s-u}\epsilon_2^{t-u}} \)
Lo que hace desaparecer a \( \epsilon_3 \). Pero (y aquí está la pregunta) este procedimiento me sirve para hacer desaparecer a una de las tres \( \epsilon_i \), pero no define cuál de las 3.
Como \( \epsilon_1\epsilon_2\epsilon_3=1 \), yo podría hacer \( \epsilon_1=\epsilon_2^{-1}\epsilon_3^{-1} \) y luego escribir
\( \alpha=\pm{\omega^m\epsilon_1^s\epsilon_2^t\epsilon_3^u}=\pm{\omega^m\epsilon_2^{-s}\epsilon_3^{-s}\epsilon_2^t\epsilon_3^u}=\pm{\omega^m\epsilon_2^{t-s}\epsilon_3^{u-s}} \), haciendo desaparecer ahora a \( \epsilon_1 \)
Entonces me pregunto ¿por qué razón nos quedamos con \( \epsilon_1 \) y \( \epsilon_2 \), y descartamos \( \epsilon_3 \) en lugar de quedarnos con dos cualesquiera y descartar la tercera?
