Primero me disculpo por mi "solución" del problema 4 de unidades ciclotómicas, que DESCUIDO.
Ya he escrito una "nueva" solución, espero que, ahora que he copiado y entendido bien la demostración para p=5, este correcta.
http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=89110.msg361394#msg361394
Hola ingmarov. Espero que ya estés recuperado de tu gripe.
Te hago algunas observaciones sobre la prueba:
Cuando razonas que es imposible que \( 7|(\epsilon_1^{c_1}\epsilon_2^{c_2})^7 \), dices que ello se debe a que \( 7 \) es divisible entre \( \omega-1 \), que no es una unidad. El argumento es correcto, pero no hace falta afinar tanto: basta notar que 7 no es una unidad porque no tiene norma 1. Los únicos divisores de las unidades son unidades, luego un múltiplo de 7 no puede ser una unidad.
No entiendo bien la estructura del párrafo que empieza por "análogamente a lo estudiado para..." y el siguiente. Cuando dices "decimos que..." parece que estés definiendo lo que es ser congruente, pero la definición sería que \( \alpha = 7\beta +k \), para cierto entero ciclotómico \( \beta \), y la cuestión es que eso equivale a las congruencias que indicas sobre los coeficientes de \( \alpha \).
Cuando luego aplicas el criterio, lo haces a números que no están necesariamente en forma reducida (no las potencias que has calculado en el spoiler previo, que sí que lo están, sino a los posibles productos por potencias de \( \omega \), que ya no tienen por qué estarlo), y por eso es relevante que el criterio vale aunque el número no esté en forma reducida. Por ello en el párrafo siguiente no puedes suponer que \( \alpha \) está en forma reducida. Si no lo está, lo que concluyes de la igualdad que planteas es que los coeficientes de los dos miembros se diferencian en un mismo entero usual \( l \) (ésa es la condición para que dos enteros ciclotómicos no en forma reducida sean iguales), es decir, que \( a_i = 7b_i+l \), salvo para \( i=0 \), por lo que todos los \( a_i \) menos el correspondiente a \( i=0 \) son congruentes con \( l \) módulo 7, luego todos son congruentes entre sí, como había que probar.
