[Cristian C]

Hola, Carlos.

Creo que en la respuesta 6, en el enunciado del primer teorema que aparece, donde dice:

\( \omega \) no es raíz de ningún polinomio no nulo de grado menor que \( p-1 \)

habría que aclarar:

"\( \omega \) no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales de grado menor que \( p-1 \)"

Sigo la prueba con interés (y con un cuadernito lleno de garabatos!)

Saludos.

[Carlos Ivorra]

habría que aclarar:

"\( \omega \) no es raíz de ningún polinomio no nulo con coeficientes racionales de grado menor que \( p-1 \)"

Hecho. Gracias.

Sigo la prueba con interés (y con un cuadernito lleno de garabatos!)

Me alegro de que te guste.

[Cristian C]

Una observación sobre el mismo teorema, cuya prueba está en spolier. No es una errata ni mucho menos, solo he notado que mientras parece que pruebas una cosa, en realidad estás probando otra un poquito más fuerte.

En la prueba supones que existe un polinomio \( p(x) \) no nulo con coeficientes racionales que tiene a \( \omega \) por raiz y cuyo grado supones menor que \( p-1 \) y el mínimo posible.
Antes de empezar preparas ese polinomio \( f(x) \) para que tenga coeficientes enteros sin divisor común (\( \neq{1} \))

Entonces divides \( c_p(x)=f(x)q(x)+r(x) \), muestras rápidamente que debe ser \( r(x)=0 \) y obtienes

   \( c_p(x)=f(x)q(x) \)

Luego dices que \( q(x) \) no tiene por qué tener coeficientes enteros e inicias un procedimiento para reemplazarlo por otro que sí los tenga.
Lo que yo he notado (salvo error) es que el polinomio \( q(x) \) que obtienes al final del procedimiento es exactamente el mismo que tenías al principio. Esto es, has demostrado que si  \( c_p(x)=f(x)q(x) \) y los coeficientes de \( f(x) \) no tienen un divisor común no unitario, entonces \( q(x) \) debe tener también coeficientes enteros.

Veamos:

Supongamos que \( q(x) \) tiene coeficientes racionales, entonces calculamos el mínimo múltiplo común a los denominadores de sus coeficientes, digamos \( a \), y desarrollamos la suma de fracciones resultando

   \( c_p(x)=f(x).\displaystyle\frac{q'(x)}{a} \) y luego \( ac_p(x)=f(x)q'(x) \)

Donde \( q'(x) \) tiene coeficientes enteros y evidentemente

   \( \frac{q'(x)}{a}=q(x) \)

Luego inicias el procedimiento con cada \( r \) divisor primo de \( a \). Si \( r|a \) entonces debe dividir a todos los coeficientes de \( f(x) \) o a todos los de \( q'(x) \). Pero hemos tomado un \( f(x) \) que no tiene ningún divisor común a todos sus coeficientes, por lo tanto \( r \) divide a todos los coeficientes de \( q'(x) \) y tenemos

   \( \displaystyle\frac{a}{r}c_p(x)=f(x)\displaystyle\frac{q'(x)}{r} \)

donde \( \displaystyle\frac{q'(x)}{r} \) sigue teniendo coeficientes enteros.

Pero si repetimos el mismo procedimiento con todos los divisores primos de \( a \) obtenemos

   \( \displaystyle\frac{a}{a}c_p(x)=f(x)\displaystyle\frac{q'(x)}{a} \)

donde \( \displaystyle\frac{q'(x)}{a} \) sigue teniendo coeficientes enteros

Pero \( \displaystyle\frac{q'(x)}{a}=q(x) \)

el mismo que teníamos al principio. De modo que si \( c_p(x)=f(x)q(x) \) y \( f(x) \) tiene coeficientes enteros y ningún divisor común a todos ellos, entonces q(x) debe tener coeficientes enteros.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Entonces divides \( c_p(x)=f(x)q(x)+r(x) \), muestras rápidamente que debe ser \( r(x)=0 \) y obtienes

   \( c_p(x)=f(x)q(x) \)

Luego dices que \( q(x) \) no tiene por qué tener coeficientes enteros e inicias un procedimiento para reemplazarlo por otro que sí los tenga.
Lo que yo he notado (salvo error) es que el polinomio \( q(x) \) que obtienes al final del procedimiento es exactamente el mismo que tenías al principio. Esto es, has demostrado que si  \( c_p(x)=f(x)q(x) \) y los coeficientes de \( f(x) \) no tienen un divisor común no unitario, entonces \( q(x) \) debe tener también coeficientes enteros.

Sí, claro. No he hablado en ningún momento de reemplazar. De hecho es inmediato: si tenemos que \( c_p(x)=f(x)q(x)=f(x)q'(x) \), entonces \( f(x)(q(x)-q'(x))=0 \) y, como \( f(x) \) no es el polinomio nulo, de ahí podemos concluir que \( q(x)-q'(x)=0 \).

Un mismo polinomio no puede tener dos cocientes distintos cuando se divide entre otros, uno con coeficientes enteros y otro con coeficientes no enteros. No sé si es eso lo que querías decir.

[Proyecto_dos]

Hola,


La conclusión del Caso I de la demostración me sigue sugiriendo cosas. Voy a dedicarle unos días a estas ideas antes de continuar con la siguiente entrega. Me conozco y sé que publicaré algo pronto.. como sé también que estará mal y que será producto de la precipitación etc. etc. Pero ¿y si doy con alguna "tecla" interesante? Yo siempre me lo creo y es algo que me quema en las manos; aunque a continuación siempre me acaben demostrando que no eran gigantes sino simples molinos. Como lo que manejo no son todavía enteros ciclotómicos; sino enteros usuales, supongo que lo mejor es ponerlo aparte en otro hilo -contando naturalmente con que llegue a algo definido-; pero esto es decisión de Carlos


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Como lo que manejo no son todavía enteros ciclotómicos; sino enteros usuales, supongo que lo mejor es ponerlo aparte en otro hilo -contando naturalmente con que llegue a algo definido-; pero esto es decisión de Carlos

Me parece razonable reservar este hilo para los comentarios que puedan ser de interés para otros lectores a la hora de entender el hilo principal.

[Cristian C]

Hola, Carlos.

Si tu \( q'(x) \) es igual a \( q(x) \) entonces no estamos hablando del mismo \( q'(x) \).
En realidad era una observación muy menor. Pero ya que estamos lanzados, continuo para revertir el malentendido.

El tema se inicia cuando, en el hilo de la prueba, dices:

Aquí debemos tener presente que, aunque el dividendo \( c_p(x) \) y el divisor \( f(x) \) tengan coeficientes enteros, el cociente \( q(x) \) no tiene por qué tenerlos. Pero multiplicando por el mínimo común múltiplo \( a>0 \) de los denominadores de los coeficientes de \( q(x) \) tenemos que \( ac_p(x)=f(x)aq(x) \). Cambiando \( q(x) \) por \( aq(x) \) queda:

\( ac_p(x)=f(x)q(x) \),
donde ahora sí que podemos asegurar que todos los polinomios de la relación anterior tienen coeficientes enteros.

Lo que yo entiendo que haces cuando dices "Cambiando \( q(x) \) por \( aq(x) \)" es reemplazar en la ecuación \( ac_p(x)=f(x)aq(x) \) al polinomio \( aq(x) \) por el polinomio \( q'(x)=aq(x) \)
Entonces mientras tu vuelves a anotar \( ac_p(x)=f(x)q(x) \), yo anoto \( ac_p(x)=f(x)q'(x) \)

Naturalmente, \( q(x) \) y \( q'(x) \) tienen el mismo grado y las mismas raíces, pero no son el mismo polinomio porque uno es \( a \) veces el otro.

Espero que con esta aclaración puedas seguir la observación que hice en mi entrada anterior.

Saludos.

[Carlos Ivorra]

Si tu \( q'(x) \) es igual a \( q(x) \) entonces no estamos hablando del mismo \( q'(x) \).
En realidad era una observación muy menor. Pero ya que estamos lanzados, continuo para revertir el malentendido.

Sí, sí, no dudes en insistir todo lo que haga falta. Pero insisto en lo que decía. Ciertamente, el \( q'(x) \) del que hablaba yo no es el que considerabas tú en tu argumento. Voy a tratar de ceñirme más a tu notación:

Tenemos \( c_p(x)=f(x)q(x) \), donde, a priori, \( q(x) \) no tiene por qué tener coeficientes enteros. Entonces llamamos \( a \) al mínimo común múltiplo de los denominadors de sus coeficientes y tenemos que \( ac_p(x)=f(x)aq(x) \), que es lo mismo que \( ac_p(x)=f(x)q'(x) \), donde \( q'(x)=aq(x) \).

Pero al final llegamos a que \( c_p(x)=f(x)q''(x) \) (en el hilo pone \( q(x) \), pero aquí conviene distinguir todo lo posible). Lo que tú estás observando es que \( q''(x) \) sale de dividir \( q'(x) \) entre los distintos primos que dividen a \( a \), y que por consiguiente al final llegamos al \( q(x) \) inicial, y lo que yo te decía es que eso lo puedes afirmar directamente, porque si \( f(x)q(x)=f(x)q''(x) \), necesariamente, con independencia de cómo se haya llegado a \( q''(x) \), tiene que ser \( q(x)=q''(x) \).

Naturalmente, \( q(x) \) y \( q'(x) \) tienen el mismo grado y las mismas raíces, pero no son el mismo polinomio porque uno es \( a \) veces el otro.

En efecto, \( q(x)\neq q'(x) \)  y de \( q'(x) \) obtenemos \( q''(x) \), pero \( q''(x) \) sí que coincide con \( q(x) \), lo cual puede comprobarse como tú has hecho, atendiendo a la forma en que lo hemos obtenido, pero también a priori, por el hecho de que \( f(x)q(x)=f(x)q''(x) \) implica necesariamente, sin necesidad de ninguna información sobre de dónde han salido esos polinomios, que \( q(x)=q''(x) \).

[Cristian C]

Aclarado. Gracias, Carlos. Sigo adelante.

[Cristian C]

En la respuesta #7, hacia el final de la prueba, donde dice

\( \displaystyle M(\omega^k\alpha-\gamma)\leq 5(\frac14+\frac14+\frac14+\frac1{25})=\frac{79}{20} \)

debe decir

\( \displaystyle M(\omega^k\alpha- \)\( \gamma ' \)\( )\leq 5(\frac14+\frac14+\frac14+\frac1{25})=\frac{79}{20} \)

Cuando aplicamos el principio de la división euclídea a enteros, el orden nos guía; cuando lo aplicamos a polinomios, nos orienta el grado. Pero aquí, en la división euclídea de enteros ciclotómicos estamos literalmente ciegos, porque lo que nos debería orientar, que es el tamaño de la norma del resto respecto del divisor, no ofrece la menor ayuda intuitiva.

Si uno realizara la división de \( \omega^2+2 \) sobre \( \omega+2 \) utilizando el simple algoritmo de la división, obtendría \( \omega^2+2=(\omega+2)(\omega-2)+6 \), pero la norma de \( 6 \) es mucho mayor que la de \( \omega+2 \), y sin embargo parece mucho más simple que \( \omega^2+2=(\omega+2)(-\omega^3-\omega)+(\omega^3+\omega^2+\omega+1) \), donde la norma del resto es menor que la del divisor (el resto puede escribirse como \( -\omega^4 \), cuya norma es 1).

La versión "correcta" (con la norma del resto menor que la del divisor) también cumple con el algoritmo de la división, pero claro, una vez que sabemos  por qué dividir y con qué resto parar. Me pregunto si existirá algún criterio para usar el algoritmo de la división y llegar al resultado correcto, conociendo la norma del divisor.