No sabía aquí se podían poner las soluciones a los problemas. Va mi intento con el problema 1 de la entrada#9
Problema 1 Sea \( p \) un primo tal que los enteros ciclotómicos de orden \( p \) tengan factorización única. Sean \( \alpha \), \( \beta \), \( \gamma \) enteros ciclotómicos no nulos tales que \( \alpha\beta=\gamma^k \) (con \( k\geq{2} \)) y supongamos que \( \alpha \), \( \beta \) son primos entre sí, es decir, que no hay ningún primo ciclotómico que los divida a ambos. Probar que existen unidades ciclotómicas \( \epsilon \), \( \delta \) y enteros ciclotómicos \( \alpha' \), \( \beta' \) tales que \( \alpha=\epsilon\alpha'^k \), \( \beta=\delta\beta'^k \).
Supongamos que \( \alpha \) (o \( \beta \)) es una unidad, luego, \( \alpha=\alpha 1^k \), y basta tomar la unidad \( \epsilon=\alpha \) y \( \alpha'=1 \) para cumplir con \( \alpha=\epsilon\alpha'^k \). Por otro lado, si \( \alpha \) es una unidad entonces \( \alpha^{-1} \) también lo es, y tenemos \( \alpha\beta=\gamma^k\longrightarrow{\beta=\alpha^{-1}\gamma^k} \) de modo que con tomar la unidad \( \delta=\alpha^{-1} \) y \( \beta'=\gamma \) ya tenemos \( \beta=\delta\beta'^k \)
Supongamos que ni \( \alpha \) ni \( \beta \) son unidades, entonces tampoco lo es \( \gamma \), y cada uno de los tres se puede escribir de una única forma como una unidad por un producto de primos no asociados, entonces \( \alpha\beta=\gamma^k \) se escribe como
\( \epsilon_\alpha\alpha_1\ldots\alpha_n\epsilon_\beta\beta_1\ldots\beta_m=\epsilon_\gamma^k\gamma_1^k\ldots\gamma_s^k \).
Observemos primero que ningún \( \alpha_i \) puede estar asociado con ningún \( \beta_j \) porque si lo estuvieran, entonces \( \alpha_i|\beta_j \) y luego \( \alpha_i|\beta \) pero como también \( \alpha_i|\alpha \), existiría un primo \( \alpha_i \) que divide a ambos, con lo cual \( \alpha \) y \( \beta \) no serían primos entre sí. Podemos considerar entonces que ningún \( \alpha_i \) está asociado con ningún \( \beta_j \)
Como las factorizaciones son únicas, \( \gamma_1 \) debe estar asociado con un único factor de \( \alpha\beta \). Supongamos sin perdida de generalidad que está asociado con algún \( \alpha_i \) podemos reordenar los índices para que sea \( \alpha_1 \), de manera que \( \gamma_1=\epsilon_{\alpha_1}\alpha_1 \), donde \( \epsilon_{\alpha_1} \) es una unidad. Reemplazando en la ecuación nos queda entonces
\( \alpha\beta=\epsilon_\alpha\alpha_1\ldots\alpha_n\epsilon_\beta\beta_1\ldots\beta_m=\epsilon_\gamma^k\epsilon_{\alpha_1}^k\alpha_1^k\gamma_2^k\ldots\gamma_s^k \)
Ahora podemos repetir el proceso con todos los \( \gamma_i \) que estén asociados a factores de \( \alpha \) hasta agotar estos últimos. Si reordenamos los índices de \( \gamma \), obtenemos entonces
\( \alpha\beta=\epsilon_\alpha\alpha_1\ldots\alpha_n\epsilon_\beta\beta_1\ldots\beta_m=\epsilon_\gamma^k\epsilon_{\alpha_1}^k\alpha_1^k\ldots\epsilon_{\alpha_r}^k\alpha_r^k\gamma_{rk+1}^k\ldots\gamma_s^k \)
donde \( r \) es la cantidad de factores primos distintos que aparecen en la factorización de \( \alpha \) y los \( \epsilon_{\alpha_i} \) son unidades.
Reordenando factores y haciendo \( \epsilon_\alpha=\epsilon_{\alpha_1}\ldots\epsilon_{\alpha_r} \) obtenemos
\( \alpha\beta=\epsilon_\alpha\alpha_1\ldots\alpha_n\epsilon_\beta\beta_1\ldots\beta_m=\epsilon_\gamma^k\epsilon_{\alpha}^k(\alpha_1\ldots\alpha_r)^k\gamma_{rk+1}^k\ldots\gamma_s^k \)
Como hemos agotado todos los \( \alpha_i \), debe ser \( \alpha=\epsilon_\alpha(\alpha_1\ldots\alpha_r)^k \) y el resto de los \( \gamma_i \) deben estar asociados a los \( \beta_i \). Repitiendo todo el proceso llegamos a
\( \alpha\beta=\epsilon_\gamma^k\epsilon_{\alpha}^k(\alpha_1\ldots\alpha_r)^k\epsilon_{\beta}^k(\beta_1\ldots\beta_t)^k \)
Donde \( t \) es la cantidad de \( \gamma_i \) restantes y por lo tanto, la cantidad de factores distintos de \( \beta \) y donde \( \beta=\epsilon_\beta(\beta_1\ldots\beta_t)^k \)
Ahora hacemos \( \alpha'=\alpha_1\ldots\alpha_r \) y \( \beta'=\beta_1\ldots\beta_t \) de donde
\( \alpha'^k=(\alpha_1\ldots\alpha_r)^k \) y \( \beta'^k=(\beta_1\ldots\beta_t)^k \)
y premultiplicando ambos por \( \epsilon_\alpha \) y \( \epsilon_\beta \) respectivamente obtenemos
\( \epsilon_\alpha\alpha'^k=\epsilon_\alpha(\alpha_1\ldots\alpha_r)^k=\alpha \)
\( \epsilon_\beta\beta'^k=\epsilon_\beta(\beta_1\ldots\beta_t)^k=\beta \)
Lo que concluye la prueba.
Espero que no esté muy confuso.
Saludos.
