[Proyecto_dos]

Hola,

Por otra parte, entiendo ahora que estás pensando en \( \eta\equiv{(1)\,(-u\,v^{-1})}\,(mód\,p) \), con un paréntesis adicional necesario para que no parezca una resta lo que pretendes que sea un producto.

Pretendía ser un producto sí, disculpas

Nadie afirma que empezar por el principio y terminar por el final sea el orden más adecuado para asimilar una demostración. No es raro que en muchos libros se pospongan las demostraciones de los pasos más técnicos para facilitar la comprensión, por ejemplo.

Es cierto. En cuanto pueda me pongo con esa parte intermedia de la demostración


Un saludo,




Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)

Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
UTF p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal



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[Proyecto_dos]

Hola,

Comento ya la última parte de la demostración que me quedaba por analizar y que va desde el penúltimo Spoiler al último.

En principio creo haberla entendido. Mucha aritmética "creativa" pero aritmética al fin y al cabo. La parte más difícil es la que comento a continuación.

Como todo entero ciclotómico divide a su Norma, pues entonces un  \( \bar{b_0} \)  tal que:  \( \bar{b_0}=\displaystyle\frac{N(b_o)}{b_0} \)  será un entero ciclotómico. Ahora lo esencial es demostrar que  \( \pi\not\mid N(b_0) \) ;  pues entonces  \( \pi\not\mid\zeta'^{\,p} \) ;  condición necesaria para que puede llamar  \( \pmb{\zeta'}=N(b_0) \)  sin perder la generalidad que necesito para forzar un descenso infinito.

Ahora viene lo complicado. Sabemos que  \( \pi\not\mid b_0 \)  porque  \( b_0 \)  es factor de  \( c_0 \)  y  \( \pi\not\mid c_0 \)  porque  \( \xi+\nu=\pi^{p(m-1)+1}\,m\,c_0 \)  y sabemos que  \( \xi+\nu \)  es divisible exactamente  \( \pi^{p(m-1)+1} \)  veces.

Como  \( p \)  divide a  \( \pi \)  y  \( \pi\not\mid b_0 \)  entonces  \( p\not\mid b_0 \) . Sabemos que todo entero ciclotómico divide exactamente a un único primo entero, que será la base elevado a una potencia que represente su Norma. Si  \( p\not\mid b_0 \)  entonces este  \( p \)  no será la base del primo natural que represente su Norma; esto es:  \( p\not\mid N(b_0) \) ;  pero como  \( \pi \)  divide a su vez a  \( p \) ,  entonces asimismo  \( \pi\not\mid N(b_0) \) ,  que es lo que estábamos buscando.

¿Es esto lo que has querido decir?


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Como  \( p \)  divide a  \( \pi \)  y  \( \pi\not\mid b_0 \)  entonces  \( p\not\mid b_0 \) . Sabemos que todo entero ciclotómico divide exactamente a un único primo entero, que será la base elevado a una potencia que represente su Norma. Si  \( p\not\mid b_0 \)  entonces este  \( p \)  no será la base del primo natural que represente su Norma; esto es:  \( p\not\mid N(b_0) \) ;  pero como  \( \pi \)  divide a su vez a  \( p \) ,  entonces asimismo  \( \pi\not\mid N(b_0) \) ,  que es lo que estábamos buscando.

¿Es esto lo que has querido decir?

Sí. En todo caso, tal vez habría que afinar un poco más el último paso: Si \( \pi\mid N(b_0) \), entonces, por ser primo, divide a uno de los primos enteros usuales que componen \( N(b_0) \), pero entonces dicho primo tiene que ser \( p \), porque \( \pi \) sólo divide al primo \( p \), luego tendríamos que \( p\mid N(b_0) \) y ya sabemos que no es así.

De todos modos, en lugar de demostrarlo cada vez, conviene que recuerdes que, en general, cualquier primo ciclotómico \( \pi \) divide a un único primo usual \( p \), y entonces, si \( m \) es cualquier entero usual, se cumple \( \pi\mid m \) si y sólo si \( p\mid m \), precisamente por el argumento anterior.

[Proyecto_dos]

Hola,


Analizando globalmente la demostración -ahora que ya puedo-; me sigue pareciendo casi más potente la solución del Caso I que la del Caso II. En el sentido en que no es nada evidente o trivial el deducir que si  \( x^p+y^p=z^p \) ;  entonces:  \( p\mid z \) .

Pongo un ejemplo (podría poner otros):

Dado:  \( \xi+\omega^i\upsilon= (\pi)\mathfrak m \mathfrak c_i \)

Como  \( \mathfrak m \)  representa el máximo común divisor de  \( \xi\,\,\wedge\,\,\upsilon \) ;  no pierdo generalidad si entiendo que es 1.  \( \mathfrak c_i \)  entonces, coprimo con  \( \pi \) ,  no puede ser a su vez 1; porque si no  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)  y sabemos que no lo es.

Supongamos sin perder generalidad que:  \( \pi+\mathfrak c_i\,\,<\,\,\pi\,\mathfrak c_i \) ,  al no ser ni  \( \pi \)  ni  \( \mathfrak c_i \)  unidades. Existirán entonces unos enteros ciclotómicos  \( \alpha_i \)  tales que:  \( \pi+\mathfrak c_i+\alpha_i=\pi\,\mathfrak c_i \)

Luego:

\( \xi+\omega^i\upsilon=\pi+\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Si divido entre  \( \pi \) :

\( \displaystyle\frac{\xi+\omega^i\upsilon}{\pi}=1+\displaystyle\frac{\mathfrak c_i+\alpha_i}{\pi} \)

Como  \( \pi \)  divide a  \( \xi+\omega^i\upsilon \) ;  entonces  \( \pi \)  debe dividir a  \( \mathfrak c_i+\alpha_i \) .

Si divido ahora entre  \( p \) ,  tendré:

\( \beta=\displaystyle\frac{1}{p}+\gamma \) ,  para  \( \beta\,\,\wedge\,\,\gamma \)  enteros ciclotómicos tales que:  \( \beta=p\mid\pi\mid\xi+\omega^i\upsilon\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\gamma=p\mid\pi\mid\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Pero entonces  \( \beta \)  no puede ser un entero ciclotómico.


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Analizando globalmente la demostración -ahora que ya puedo-; me sigue pareciendo casi más potente la solución del Caso I que la del Caso II. En el sentido en que no es nada evidente o trivial el deducir que si  \( x^p+y^p=z^p \) ;  entonces:  \( p\mid z \) .

El caso I se suele tratar antes porque es el más fácil. Pero podría haber puesto primero el caso II, y entonces habrías dicho que no es nada evidente o trivial el deducir que si \( x^p+y^p=z^p \) ; \( p\nmid z \) .

Pongo un ejemplo (podría poner otros):

Dado:  \( \xi+\omega^i\upsilon= (\pi)\mathfrak m \mathfrak c_i \)

Como  \( \mathfrak m \)  representa el máximo común divisor de  \( \xi\,\,\wedge\,\,\upsilon \) ;  no pierdo generalidad si entiendo que es 1.  \( \mathfrak c_i \)  entonces, coprimo con  \( \pi \) ,  no puede ser a su vez 1; porque si no  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)  y sabemos que no lo es.

Supongamos sin perder generalidad que:  \( \pi+\mathfrak c_i\,\,<\,\,\pi\,\mathfrak c_i \) ,

¿Y eso cómo hay que entenderlo? Recuerda que los enteros ciclotómicos no están ordenados.

al no ser ni  \( \pi \)  ni  \( \mathfrak c_i \)  unidades.

¿Por qué \( \mathfrak c_i \) no puede ser una unidad?

Existirán entonces unos enteros ciclotómicos  \( \alpha_i \)  tales que:  \( \pi+\mathfrak c_i+\alpha_i=\pi\,\mathfrak c_i \)

Esos siempre existen, pues basta tomar \( \alpha_i=\pi\,\mathfrak c_i-\pi-\mathfrak c_i \), pero si estás pensando en que eso se deduce de la relación de orden inexistente, no es así. Dos enteros ciclotómicos siempre se pueden restar, pero pareces estar pensando en que los \( \alpha_1 \) sean "positivos", en un sentido inexistente.

Luego:

\( \xi+\omega^i\upsilon=\pi+\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Si divido entre  \( \pi \) :

\( \displaystyle\frac{\xi+\omega^i\upsilon}{\pi}=1+\displaystyle\frac{\mathfrak c_i+\alpha_i}{\pi} \)

Como  \( \pi \)  divide a  \( \xi+\omega^i\upsilon \) ;  entonces  \( \pi \)  debe dividir a  \( \mathfrak c_i+\alpha_i \) .

Si divido ahora entre  \( p \) ,  tendré:

\( \beta=\displaystyle\frac{1}{p}+\gamma \) ,  para  \( \beta\,\,\wedge\,\,\gamma \)  enteros ciclotómicos tales que:  \( \beta=p\mid\pi\mid\xi+\omega^i\upsilon\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\gamma=p\mid\pi\mid\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Aquí me pierdo.

[Proyecto_dos]

Hola,

Pongo un ejemplo (podría poner otros):

Dado:  \( \xi+\omega^i\upsilon= (\pi)\mathfrak m \mathfrak c_i \)

Como  \( \mathfrak m \)  representa el máximo común divisor de  \( \xi\,\,\wedge\,\,\upsilon \) ;  no pierdo generalidad si entiendo que es 1.  \( \mathfrak c_i \)  entonces, coprimo con  \( \pi \) ,  no puede ser a su vez 1; porque si no  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)  y sabemos que no lo es.

Supongamos sin perder generalidad que:  \( \pi+\mathfrak c_i\,\,<\,\,\pi\,\mathfrak c_i \) ,

¿Y eso cómo hay que entenderlo? Recuerda que los enteros ciclotómicos no están ordenados.

Hay que entenderlo como que puede ser mayor o menor, pero es una de las 2 cosas. Luego no pierdo generalidad si digo que \( \pi+\mathfrak c_i \)  es menor y le sumo  \( \alpha_i \) ;  como tampoco perdería generalidad si supusiera que es mayor y le restara  \( \alpha_i \)

al no ser ni  \( \pi \)  ni  \( \mathfrak c_i \)  unidades.

¿Por qué \( \mathfrak c_i \) no puede ser una unidad?

Sabemos que  \( \pi=\omega-1 \) ;  no puede ser:  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)

Luego:

\( \xi+\omega^i\upsilon=\pi+\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Si divido entre  \( \pi \) :

\( \displaystyle\frac{\xi+\omega^i\upsilon}{\pi}=1+\displaystyle\frac{\mathfrak c_i+\alpha_i}{\pi} \)

Como  \( \pi \)  divide a  \( \xi+\omega^i\upsilon \) ;  entonces  \( \pi \)  debe dividir a  \( \mathfrak c_i+\alpha_i \) .

Si divido ahora entre  \( p \) ,  tendré:

\( \beta=\displaystyle\frac{1}{p}+\gamma \) ,  para  \( \beta\,\,\wedge\,\,\gamma \)  enteros ciclotómicos tales que:  \( \beta=p\mid\pi\mid\xi+\omega^i\upsilon\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\gamma=p\mid\pi\mid\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Aquí me pierdo.

Francamente Carlos, no sé en que te pierdes cuando lo que hago simplemente es dividir.   \( p \)  divide a  \( \pi \)  y si yo sumo el racional  \( \displaystyle\frac{1}{p} \)  a  \( \gamma \)  entonces el resultado ya no puede ser un entero ciclotómico porque su  \( a_0 \)  será un racional no entero. ¿No eres tú el que me invitó en su día a que entrara en el mundo de los enteros ciclotómicos porque compartían gran parte de la aritmética y álgebra de los enteros usuales? Eso hago


Un saludo,



AÑADIDO, 4 de septiembre:


En realidad el argumento aritmético que empleo -el truco- se puede aplicar también a una situación en la que sólo participen enteros usuales; lo que ocurre es que presumo que no es correcto. Por ejemplo:


Dado:  \( x^p+y^p=z^p \) ,  para  \( p\,>\,2 \) ;  entonces:

\( x^p+y^p=z\cdot{z^{p-1}} \)


Como:  \( z+z^{p-1}\,<\,z\cdot{z^{p-1}} \) ;  existirá un entero  \( a \)  tal que:

\( z+z^{p-1}+a=z\cdot{z^{p-1}} \)


Luego:

\( x^p+y^p=z+z^{p-1}+a \)


Si divido entre  \( z \) :

\( z^{p-1}=1+z^{p-2}+\displaystyle\frac{a}{z} \)

, -y-   \( z \)  debe dividir a  \( a \) .


Si divido ahora entre  \( p \) :

\( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\,(p\mid\displaystyle\frac{a}{z}) \)


Y como partimos (CASO I) de que  \( p \)  divide a  \( z \) , llegaríamos pues a una contradicción.

[Carlos Ivorra]

¿Y eso cómo hay que entenderlo? Recuerda que los enteros ciclotómicos no están ordenados.

Hay que entenderlo como que puede ser mayor o menor, pero es una de las 2 cosas.

¿Pero qué quiere decir mayor o menor? ¿Cuál es mayor \( 27+3\omega \) o \( 3+27\omega \)? Insisto en que no hay ninguna relación de orden definida sobre los enteros ciclotómicos. Si quieres hablar de que uno es mayor que otro, primero tendrás que aclarar a qué te refieres con ello.

Luego no pierdo generalidad si digo que \( \pi+\mathfrak c_i \)  es menor y le sumo  \( \alpha_i \) ;  como tampoco perdería generalidad si supusiera que es mayor y le restara  \( \alpha_i \)

Eso no tiene sentido si no explicas a qué te refieres con "mayor" y "menor", y por otro lado, si tienes dos enteros ciclotómicos cualesquiera \( \beta \) y \( \gamma \), no necesitas ninguna relación de orden entre ellos para escribir \( \beta = \gamma+\alpha \) o \( \beta=\gamma-\alpha \). Esto siempre puedes hacerlo, tomando \( \alpha = \beta-\gamma \) en el primer caso y \( \alpha = \gamma-\beta \) en el segundo.

al no ser ni  \( \pi \)  ni  \( \mathfrak c_i \)  unidades.

¿Por qué \( \mathfrak c_i \) no puede ser una unidad?

Sabemos que  \( \pi=\omega-1 \) ;  no puede ser:  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)

Considera \( p=5 \), \( \xi=-\omega-\omega^2-\omega^3 \), \( \upsilon=-1-\omega \), \( \mathfrak c=-1-\omega+\omega^3 \). Entonces

\( \xi+\omega^2\upsilon = \pi \mathfrak c \), pero \( \mathfrak c \) es una unidad (tiene norma 1).

No sé si estás confundiendo ser una unidad con ser igual a 1.

\( \beta=\displaystyle\frac{1}{p}+\gamma \) ,  para  \( \beta\,\,\wedge\,\,\gamma \)  enteros ciclotómicos tales que:  \( \beta=p\mid\pi\mid\xi+\omega^i\upsilon\,\,\,\,\wedge\,\,\,\,\gamma=p\mid\pi\mid\mathfrak c_i+\alpha_i \)

Aquí me pierdo.

Francamente Carlos, no sé en que te pierdes cuando lo que hago simplemente es dividir.   \( p \)  divide a  \( \pi \)  y si yo sumo el racional  \( \displaystyle\frac{1}{p} \)  a  \( \gamma \)  entonces el resultado ya no puede ser un entero ciclotómico porque su  \( a_0 \)  será un racional no entero.

Cuando digo "aquí me pierdo" me refiero a la línea inmediatamente anterior, donde escribes cosas como que \( p\mid \pi \) (lo cual es falso, es al revés) y que \( \beta=p \), \( \gamma=p \) y \( \beta=\frac1p+\gamma \), lo cual es imposible, porque, como \( \beta=\gamma \), implica que \( 1/p=0 \). ¿No es motivo suficiente para que me pierda?

¿No eres tú el que me invitó en su día a que entrara en el mundo de los enteros ciclotómicos porque compartían gran parte de la aritmética y álgebra de los enteros usuales? Eso hago

¿Y eso qué tiene que ver con que escribas algo que no es cierto y no entienda qué te ha llevado a escribirlo?

AÑADIDO, 4 de septiembre:


En realidad el argumento aritmético que empleo -el truco- se puede aplicar también a una situación en la que sólo participen enteros usuales; lo que ocurre es que presumo que no es correcto. Por ejemplo:


Dado:  \( x^p+y^p=z^p \) ,  para  \( p\,>\,2 \) ;  entonces:

\( x^p+y^p=z\cdot{z^{p-1}} \)


Como:  \( z+z^{p-1}\,<\,z\cdot{z^{p-1}} \) ;  existirá un entero  \( a \)  tal que:

\( z+z^{p-1}+a=z\cdot{z^{p-1}} \)


Luego:

\( x^p+y^p=z+z^{p-1}+a \)


Si divido entre  \( z \) :

\( z^{p-1}=1+z^{p-2}+\displaystyle\frac{a}{z} \)

, -y-   \( z \)  debe dividir a  \( a \) .


Si divido ahora entre  \( p \) :

\( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\,(p\mid\displaystyle\frac{a}{z}) \)


Y como partimos (CASO I) de que  \( p \)  divide a  \( z \) , llegaríamos pues a una contradicción.

El Caso I es que \( p\nmid x, y, z \), no sé si quieres decir Caso II o que \( p\nmid z \). En cualquier caso, no veo a qué contradicción llegas. Supongo que en la última fórmula el último sumando es \( a/(pz) \).

[Proyecto_dos]

Hola,

¿Pero qué quiere decir mayor o menor? ¿Cuál es mayor \( 27+3\omega \) o \( 3+27\omega \)? Insisto en que no hay ninguna relación de orden definida sobre los enteros ciclotómicos. Si quieres hablar de que uno es mayor que otro, primero tendrás que aclarar a qué te refieres con ello.

. . .

Eso no tiene sentido si no explicas a qué te refieres con "mayor" y "menor", y por otro lado, si tienes dos enteros ciclotómicos cualesquiera \( \beta \) y \( \gamma \), no necesitas ninguna relación de orden entre ellos para escribir \( \beta = \gamma+\alpha \) o \( \beta=\gamma-\alpha \). Esto siempre puedes hacerlo, tomando \( \alpha = \beta-\gamma \) en el primer caso y \( \alpha = \gamma-\beta \) en el segundo.

Ok, está mal expresado. Debería haber introducido la suma de  \( \alpha \)  sin apelar a la comparación entre ciclotómicos. Gracias por señalarlo. Así es como se va aprendiendo a utilizar los enteros ciclotómicos con sus peculiaridades aritméticas.

¿Por qué \( \mathfrak c_i \) no puede ser una unidad?

Sabemos que  \( \pi=\omega-1 \) ;  no puede ser:  \( \pi=\xi+\omega^i\upsilon \)

Considera \( p=5 \), \( \xi=-\omega-\omega^2-\omega^3 \), \( \upsilon=-1-\omega \), \( \mathfrak c=-1-\omega+\omega^3 \). Entonces

\( \xi+\omega^2\upsilon = \pi \mathfrak c \), pero \( \mathfrak c \) es una unidad (tiene norma 1).

No sé si estás confundiendo ser una unidad con ser igual a 1.

Ok, otra "peculiaridad" de los enteros ciclotómicos. En vez de verlos como son estaba traduciéndolos en Normas

Aquí me pierdo.

Francamente Carlos, no sé en que te pierdes cuando lo que hago simplemente es dividir.   \( p \)  divide a  \( \pi \)  y si yo sumo el racional  \( \displaystyle\frac{1}{p} \)  a  \( \gamma \)  entonces el resultado ya no puede ser un entero ciclotómico porque su  \( a_0 \)  será un racional no entero.

Cuando digo "aquí me pierdo" me refiero a la línea inmediatamente anterior, donde escribes cosas como que \( p\mid \pi \) (lo cual es falso, es al revés) y que \( \beta=p \), \( \gamma=p \) y \( \beta=\frac1p+\gamma \), lo cual es imposible, porque, como \( \beta=\gamma \), implica que \( 1/p=0 \). ¿No es motivo suficiente para que me pierda?

Este es otro error sí. Había pensado que  \( p\mid \pi \)  sin tener en cuenta  \( \epsilon_0 \)

¿No eres tú el que me invitó en su día a que entrara en el mundo de los enteros ciclotómicos porque compartían gran parte de la aritmética y álgebra de los enteros usuales? Eso hago

¿Y eso qué tiene que ver con que escribas algo que no es cierto y no entienda qué te ha llevado a escribirlo?

Me pasé un poco sí. Me acuerdo en estas ocaciones de el_manco, la vara que le dí en tantas ocasiones   

AÑADIDO, 4 de septiembre:


En realidad el argumento aritmético que empleo -el truco- se puede aplicar también a una situación en la que sólo participen enteros usuales; lo que ocurre es que presumo que no es correcto. Por ejemplo:


Dado:  \( x^p+y^p=z^p \) ,  para  \( p\,>\,2 \) ;  entonces:

\( x^p+y^p=z\cdot{z^{p-1}} \)


Como:  \( z+z^{p-1}\,<\,z\cdot{z^{p-1}} \) ;  existirá un entero  \( a \)  tal que:

\( z+z^{p-1}+a=z\cdot{z^{p-1}} \)


Luego:

\( x^p+y^p=z+z^{p-1}+a \)


Si divido entre  \( z \) :

\( z^{p-1}=1+z^{p-2}+\displaystyle\frac{a}{z} \)

, -y-   \( z \)  debe dividir a  \( a \) .


Si divido ahora entre  \( p \) :

\( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\,(p\mid\displaystyle\frac{a}{z}) \)


Y como partimos (CASO I) de que  \( p \)  divide a  \( z \) , llegaríamos pues a una contradicción.

El Caso I es que \( p\nmid x, y, z \), no sé si quieres decir Caso II o que \( p\nmid z \). En cualquier caso, no veo a qué contradicción llegas. Supongo que en la última fórmula el último sumando es \( a/(pz) \).

Me refiero a que puedo suponer sin perder generalidad que  \( \pmb{p\mid z} \) .  Repasando lo puesto ahora me doy cuenta de mi error: que  \( z \)  divida a  \( a \)  y que  \( p \)  divida a  \( z \)  no significa que posteriormente (una vez dividida  \( a \)  entre  \( z \) ), entonces  \( p \)  divida a  \( a \) .  Pero aunque parezca increíble no había encontrado este error y claro, andaba un poco alucinando.

Una pregunta sobre esto último, si me haces el favor. Creo que de esta argucia aritmética algo se puede sacar:

Yo llego a que:  \( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\,(p\mid\displaystyle\frac{a}{z}) \)

Como  \( p \)  divide tanto a  \( z^{p-1} \)  como a  \( z^{p-2} \) ,  entonces  \( p \)  no puede dividir a la  \( a \)  dividida por  \( z \) -éste fue mi error-. Como  \( p \)  es factor de  \( z \)  -y-  \( z \)  divide a  \( a \) ; entonces resulta inmediato que  \( p^2 \)  no divide a  \( a \) .

Pero como yo tengo a su vez que:  \( z^{p-1}=1+z^{p-2}+\displaystyle\frac{a}{z} \) ;  entonces:  \( a=z^p-z-z^{p-1} \) ;  y si ahora divido entre  \( p^2 \)  tendría que:  \( \displaystyle\frac{a+z}{p^2}=\displaystyle\frac{z^p-z^{p-1}}{p^2} \) .  Como  \( p^2 \)  divide a  \( z^p-z^{p-1} \)  -y-  \( p^2 \)  no divide a  \( a \) ; entonces por fuerza  \( p^2 \)  no divide a  \( z \)  y podríamos sacar como conclusión ésta: Que  \( \pmb{p^2} \)  no divide a  \( \pmb{z} \) .


Además esto tiene que ver con el CASO II. OJO hablo en lo que sigue de manera poco "formal"; es solamente para el que lo crea entender y le pueda sugerir ideas.  En el CASO II llegamos a la siguiente conclusión que va a entrar en contradicción:  \( \pi \)  divide  \( pm\geq{p+1} \)  veces a  \( \epsilon\pi^{pm}\zeta^p \) , ¿ok?  Si  \( m \)  fuera igual a 1, entonces:  \( p=p+1 \) ,  cosa que no puede ser. Luego  \( m \)  es mayor que 1. Pongamos que  \( m=2 \) ;  entonces:  \( 2p>p+1 \) .  Fijarse: para  \( m \)  mayor que 1 -suponiendo que  \( m \)  sea entero- entonces:  \( pm>{p+1} \)  siempre. Luego en realidad ésa es la premisa de la que partimos y ésa es la premisa que vamos a concluir que da lugar a contradicción y que por lo tanto es falsa. Luego si  \( pm \)  no es mayor que  \( p+1 \)  es porque a lo mejor es igual. Es decir:  \( pm=p+1 \)  y por consiguiente:  \( m=1+\frac{1}{p} \) . Que es a dónde yo quería llegar. Mi intuición lo que me dice es que  \( m \)  no es entera (suponiendo todo lo supuesto hasta ese momento) y que su valor está en algún lugar entre 1 y 2, concretamente en:  \( 1+\frac{1}{p} \) ;  que es quizás lo que en realidad nos está queriendo decir la solución del CASO II..


Un saludo,

[Carlos Ivorra]

Este es otro error sí. Había pensado que  \( p\mid \pi \)  sin tener en cuenta  \( \epsilon_0 \)

Lo que no has tenido en cuenta es el exponente. Se cumple que \( p=\epsilon \pi^{p-1} \). Aunque no estuviera \( \epsilon \) (las unidades son irrelevantes para la divisibilidad), seguiría sin cumplirse que \( p\mid \pi \), por el mismo motivo que \( 3^4\nmid 3 \).

Me refiero a que puedo suponer sin perder generalidad que  \( \pmb{p\mid z} \) . 

Ya, pero lo que te decía es que no veo ninguna contradicción que te permita concluir eso.

Repasando lo puesto ahora me doy cuenta de mi error: que  \( z \)  divida a  \( a \)  y que  \( p \)  divida a  \( z \)  no significa que posteriormente (una vez dividida  \( a \)  entre  \( z \) ), entonces  \( p \)  divida a  \( a \) .  Pero aunque parezca increíble no había encontrado este error y claro, andaba un poco alucinando.

Una pregunta sobre esto último, si me haces el favor. Creo que de esta argucia aritmética algo se puede sacar:

Yo llego a que:  \( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\,(p\mid\displaystyle\frac{a}{z}) \)

¿Pero qué quiere decir ese último término? Sería

\( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\displaystyle\frac{a}{pz}) \)

Como  \( p \)  divide tanto a  \( z^{p-1} \)  como a  \( z^{p-2} \) ,  entonces  \( p \)  no puede dividir a la  \( a \)  dividida por  \( z \) -éste fue mi error-. Como  \( p \)  es factor de  \( z \)  -y-  \( z \)  divide a  \( a \) ; entonces resulta inmediato que  \( p^2 \)  no divide a  \( a \) .

¿Por qué no? Que \( p^2 \) divida a \( a \) es equivalente a que \( p^2 \) divida a \( z \).

Pero como yo tengo a su vez que:  \( z^{p-1}=1+z^{p-2}+\displaystyle\frac{a}{z} \) ;  entonces:  \( a=z^p-z-z^{p-1} \) ;  y si ahora divido entre  \( p^2 \)  tendría que:  \( \displaystyle\frac{a+z}{p^2}=\displaystyle\frac{z^p-z^{p-1}}{p^2} \) .  Como  \( p^2 \)  divide a  \( z^p-z^{p-1} \)  -y-  \( p^2 \)  no divide a  \( a \) ; entonces por fuerza  \( p^2 \)  no divide a  \( z \)  y podríamos sacar como conclusión ésta: Que  \( \pmb{p^2} \)  no divide a  \( \pmb{z} \) .

Claro. Si supones que \( p^2 \) no divide a \( a \), llegas a que tampoco divide a \( z \), pero nada excluye a priori que \( p^2 \) pueda dividir a ambos.

[Proyecto_dos]

Hola,

Lo que no has tenido en cuenta es el exponente. Se cumple que \( p=\epsilon \pi^{p-1} \). Aunque no estuviera \( \epsilon \) (las unidades son irrelevantes para la divisibilidad), seguiría sin cumplirse que \( p\mid \pi \), por el mismo motivo que \( 3^4\nmid 3 \).

Ok

Me refiero a que puedo suponer sin perder generalidad que  \( \pmb{p\mid z} \) . 

Ya, pero lo que te decía es que no veo ninguna contradicción que te permita concluir eso.

Creo que hay un malentendido aquí. Yo no busco concluir eso. Parto de eso porque hay un Caso I de una demostración sobre  \( x^p+y^p=z^p \)  que lo prueba

¿Pero qué quiere decir ese último término? Sería

\( \displaystyle\frac{z^{p-1}}{p}\,=\,\displaystyle\frac{1}{p}\,+\,\displaystyle\frac{z^{p-2}}{p}\,+\,\displaystyle\frac{a}{pz}) \)

Sí

¿Por qué no? Que \( p^2 \) divida a \( a \) es equivalente a que \( p^2 \) divida a \( z \).

He caído en un argumento circular; típico de cuando se actúa de manera precipitada. Disculpas


Bueno pues le doy un par de días más alguna vuelta a la demostración completa -espero que con más acierto- y si no encuentro nada más que aportar pues me empiezo a estudiar la última entrega


Un saludo,