Continuo con la difusión de las ternas originales, origen de este foro y citadas en varias ocasiones por Jorge Carrasco y Rubén Rosas.
Si tres números X, Y, Z son enteros diferentes de cero que satisfacen \( $X^2 + Y^2 = Z^2 $
\)
Dichas ternas se calculan por medio de las siguientes formulas:
\( $x = \left( {\frac{{2p}}
{q} + 1} \right),\,\,\,\,y = \frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right),\,\,\,\,z = \left[ {\frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right) + 1} \right]$
\) (p, q) primos relativos
\( $\left( {\frac{{2p}}
{q} + 1} \right)^2 + \left[ {\frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right)} \right]^2 = \left[ {\frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right) + 1} \right]^2 $
\)
Estas ternas tienen, para mí, la asombrosa propiedad de estar fundamentadas en los números triangulares, de la siguiente forma.
\( $x = \left( {\frac{{2p}}
{q} + 1} \right) = \sqrt {8T + 1} ,\,\,\,y = \frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right) = 4T,\,\,\,z = \frac{{2p}}
{q}\left( {\frac{p}
{q} + 1} \right) + 1 = 4T + 1$
\)
\( $x^2 + y^2 = z^2 = \left( {8T + 1} \right) + \left( {4T} \right)^2 = \left( {4T + 1} \right)^2 $
\)
Esto me sugiere que les amerita sobradamente el nombre de originales que les asigné.
Las ternas tradicionalmente llamadas primitivas son derivadas de estas originales.
Las ternas originales satisfacen, entre otras, las siguientes propiedades.
\( $\left( {z - y = 1} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {z = \frac{{x^2 + 1}}
{2}} \right),\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {x^2 = y + z} \right),$
\)
\( $\left[ {x\left( {x + 1} \right) = x + y + z} \right] \to \,\left[ {\,\frac{{\left( {x + y + z} \right)}}
{2} = T} \right]$
\)
En la fila inferior se muestra una sucesión de números T. Para obtenerlos basta sumar al
T precedente el número a la derecha en la sucesión de naturales en la fila superior.
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153
Si q =1 las formulas se reducen a \( $x = \left( {2n + 1} \right),\,\,y = 2n\left( {n + 1} \right),\,\,\,z = \left[ {2n\left( {n + 1} \right) + 1} \right]$
\)
que satisfacen: \( $x^2 + y^2 = z^2 = \left( {2n + 1} \right)^2 + \left[ {2n\left( {n + 1} \right)} \right]^2 = \left[ {2n\left( {n + 1} \right) + 1} \right]^2 $
\)
Siendo n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, es decir cualquier número natural.
Los tres términos (x, y, z) son enteros, conformando x la sucesión: 3, 5, 7, 9, 11, 13,…, es decir todos los enteros impares mayores que 1.
Las siguientes son ternas originales precedidas de sus correspondientes (n, T):
[(1, 1), (3, 4, 5)], [(2, 3), (5, 12, 13)], [(3, 6), (7, 24, 25)], [(4, 10), (9, 40, 41)],
[(5, 15), (11, 60, 61)], [(6, 21), (13, 84, 85)], [(7, 28), (15, 112, 113)], etc.
Si q = 2 en p/q se originan ternas en las cuales X =2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…, es decir cualquier natural par.
p/q T X Y Z a b c
1/2 3/8 2 3/2 5/2 4 3 5
3/2 15/8 4 15/2 17/2 8 15 17
5/2 35/8 6 35/2 37/2 12 35 37
7/2 63/8 8 63/2 65/2 16 63 65
Los anteriores números T fraccionarios no corresponden a la definición clásica de tales números, algo que geométricamente supera los limites de mi intelecto, pero de todas maneras originan ternas pitagóricas originales ya que al reemplazar T en \( $x = \sqrt {8T + 1} $
\)
La cantidad subradical es siempre un entero cuadrado perfecto.
Existe una terna pitagórica X, Y, Z, donde los valores de X son iguales a 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, es decir cualquier número natural mayor que 1, y satisfacen \( $X^2 + Y^2 = Z^2 $
\)
Mis muy limitados conocimientos me impiden percibir que implicaciones tiene esto en la posibilidad de \( $X^n + Y^n = Z^n $
\) para n > 2.
De todas formas me parece una buena base para intentar una solución sencilla y digerible para la mayoría de aficionados como yo.
