[jorgekarras]

Me gustaría que le echárais un vistazo a este artículo:

http://www.monografias.com/trabajos5/numelem/numelem.shtml


Creo que desvela todo (o casi todo) sobre las ternas pitagóricas.

Dado un número n, se puede generar un terna (X,Y,Z) que cumpla

X2+Y2=Z2

de la manera:

X= (2n+1)
Y= 2n(n+1)
Z = [2n(n+1)+1]

Si n es una fracción, cualquier número natural superior a 1 puede generar una terna en el conjunto de los racionales.

Resultando, entre otras relaciones, que siempre:

Z=Y+1

X2= Y +Z


Al autor le gustaría una mayor difusión, pero no sabe bien cómo.

[rubenrosas]

 Mira Jorgekarras,yo escribí en otra página de éste foro que el autor del libro "El
  Hombre que Calculaba" se refirió a los "algebristas" que según mi entender son
 los que escriben fórmulas inentendibles.En el frente de los colegios,como en la escuela de platón debería decir:"que aquí no entre ningún algebrista".Las fórmulas
 que aparecen en el tema que indicás parecen realizados por un "algebrista".
 Por lo pronto señaló que la fórmula que escribiste se refieren a las ternas que
 tienen el término mayor Z siguiente de otro (en números naturales).Ésta fórmula es muy antigua y se debe posiblemente a Platón (según Babini y Rey Pator).En números naturales no existe Y = Z+1 (pero sí en enteros negativos,pues dada una terna   
 existen otras iguales en valor absoluto,en total 2^3).Que no existe X^2 =Z+Y,
 aunque sí en X = x . x· (X = impar) existe  x^2 = Z + Y
  que los resultados están implícitos en la siguente expresión:
 1       4      9      16       25 ......
     3      5      7        9   ...
 A lo mejor es más interesante probar lo que llamo fórmulas encadenadas,que es propio de  ecuaciones de cierto grado y que permite su repetición al infinito:
 Probar que (fácil)  si A^2   - B^2  =  j (impar) al agregar dos al segundo miembro
 en el primero siempre resulta una diferencia de cuadrados.

[jorgekarras]

Hola, Rubensosas:

Te pediría una nueva lectura, de verdad.

Como sabes, yo no soy profesional en esto de las matemáticas. Al llegar las derivadas, me pierdo (y espero seguir así mucho tiempo) o me aburro.

Pero este artículo no es nada complicado. Es realmente muy sencillo, lo he entendido casi todo a la primera. Lamento discrepar contigo, pero no estamos ante un "algebrista".

De verdad, un poco de paciencia. El artículo es interesante y las ternas quedan todas explicadas.

Un saludo

[topo23]

Las ternas pitagoricas con fracciones siempre se pueden pensar como ternas en enteros (sacando dcm y multiplicando todo para un lado) y viceversa (es decir ambas son la misma cosa).

Las ternas con algun termino irracional, pues bien no parecen tan atractivas como las enteras, porque dados dos numeros cualesquiera siempre podes encontrar ternas que los contengan.

[topo23]

Mas aun, siempre vale que x=2uv, y=u^2-v^2, z=u^2+v^2 ==> x^2+y^2=z^2 en cualquier anillo conmutativo (es decir enteros, racionales, reales, complejos).

Lo importante de las ternas pitagoricas es que vale la vuelta (<==) en enteros.

Seguramente se puede pedir mucho menos que anillos conmutativo en algunos lugares, lo dificil siempre es probar cosas con lo otra flecha <==.

[rubenrosas]

 Mira Jorgekarras,acepto lo del artículo que mencionas como interesante quizá muy
 interesante,pero no transcendental.De cualquier forma me parecen complicadas
 las fórmulas E-1, E-2, ... o las d(1)n....Algunas cuestiones son de cajón: si Z,Y son
 consecutivos Z+Y= X^2,(E-8), X+Y+Z= X+X^2 =X(X+1) E-5, 2Y+1=Y+Z-1+1=X^2
 De todas formas en las primeras páginas se les pasa algo que permite de otra manera distinta a la que figura en página uno de obtener las ternas,que no sólo indica cómo obtenerlas si no que prueba que sólo ellas se pueden obtener para
 X^n + Y^n = Z^n , es decir sólo se obtienen para exponente dos,para 
  n=impar(en particular primo impar) no es posible pues las ternas pitagóricas utilizan
 propiedades exclusivas del exponente dos.Ésto lo he indicado en otra parte del foro,
y en algún momento lo voy a exponer seguramente,y ésto me parece algo trascendente a pesar de ser elemental(ver una reflexión sobre el teorema de Fermat)

[jorgekarras]

Hola, Rubenrosas:

Bueno, el término "trascendental" igual no ayuda a ser objetivo con el artículo, pero me alegro que te guste.

Yo creo que lo interesante del artículo, o lo que mí más me llama la atención, es que hasta ahora se consideraban dos tipos de ternas: primitivas y derivadas. Las derivadas eran aquellas primitivas donde se multiplican los términos por el mismo número.

(6,8,10) es una derivada de (3,4,5). El interés se centraba, pues, en las primitivas.

Si lo que se propone aquí es cierto, hay un "escalón" aún más de base: las originales, donde Z=Y+1, esto es, donde el cateto mayor (par o impar) es una unidad inferior a la hipotenusa (el resto de las relaciones son igualmente interesantes).

Lo singular de las "originales" es que todas las ternas naturales  tiene dentro una "original", donde el factor multiplicador puede ser un número natural n o racional p/q. Luego, incluso una terna primitiva podría ser una "derivada" de una original.

Más aún: de cualquier número natural se puede formar una terna "original" con una única fórmula (y no con una fórmula que sólo explicaba algunas, como hasta ahora).


Derivado de eso, las implicaciones pueden ser las que tú quieras, así como los usos en los que puede utilizar. Entiendo que altera un poco el concepto que tenemos de las relaciones entre los números.
Y a mí me sorprende, por ejemplo, descubrir que (3,4,5) no es la misma terna que (4,3,5), aunque lo parezca. O me sigue intrigando porqué un triángulo con dos catetos iguales no cumple lo mismo que el resto.

Sobre Fermat, creo que todos sospechamos que la explicación de Andrew Willes es demasiado alambicada, y que debe haber una más sencilla. ¡Incluso después de "muerto" te hace comer el coco, el condenado! Fermat también está aquí, en el problema. Su manera de "encontrar" primos y ternas era situar todos los naturales en base 4 (congruencias, binomios, artimética modular..., llámalo como quieras). Los catetos pares y las hipotenusas aparecían en y sólo en una de las columnas. Y otra de las 4 columnas nunca formaba catetos.

Yo sospecho que de esa manera era capaz de plantear muchas de sus diabluras, aunque no tengo claro si realmente demostró o no su famosa última conjetura. Sería cuestión de intentarlo usando sus mismas armas.

Pero yo ya tengo bastante con la de Goldbach (de la, por cierto, os contaré algo en breve).


Un saludo y espero que le interese aún a más gente.


PS: ¿Alguien puede explicarle al autor cómo publicar el artículo? Vive en Colombia y no está en el "círculo". Tenéis su e-mail al final del artículo.

[rubenrosas]

 Mira Jorgekarras,hace mucho que miro las cuestiones de las ternas,22 años 
 aproximadamente,pero antes había leído sobre el problema de Fermat,en un libro de
 Felix Klein por ejemplo,en ésa época no sabía si tal problema había sido solucionado,
 no existía internet además.Años después aparfece Wiles con su solución,pero 
 como  dices parece ser muy alambicada.Rey Pastor afirmaba que podía ser por 
 descenso infinito que era un método propio de Fermat.Yo dí mi versión de éso en
 la página "premisas falsas,,,,",no sé si la viste ,pero también dí una versión para el
 exponente tres que es aplicable a cualquier exponente primo,y está en el foro,tengo otra  quizá mejor

[rubenrosas]

 Sigo Jorgekarras(se cortó el mensaje) pero de cualquier forma con la cuestión de
 las ternas decía que hay una forma de obtenerlas en dónde se revela que el método
 sólo es válido para el exponente dos,y ésta podría ser otra forma en que Fermat dió
 su solución.En otra parte del foro hace ya tiempo explicaba que un número compuesto puede dar orígen a varias ternas,y además daba el número de éstas,también se puede comenzar con un número par pero no deben ser
 X o bien Y de la forma 2j(j= impar) pero no veo por qué 3.4.5 es distinto de 4,3,5
 Según lo que vos decís las originales son las que yo mencionaba como las que correspondían a la fórmula de Platón .En mis indagaciones iniciales existen ecuaciones que permiten que éstas se reproduzcan al infinito,las de las ternas,las de
Pell, etc. Por medio de ésas ecuaciones se pueden obtener las ternas que se reproducen en forma arbolar(como las ramas de un árbol) y las tengo por ahí,en mi
 archivo desordenado y en algún momento las voy a exhumar.Creo que ahí aparecen
 las que llamás originales,pero si a partir de un número se trata de obtener todas las
 ternas posibles siempre existirán las que ustedes llaman originales.Saludos

[rubenrosas]

 Se me ocurren algunos problemas en las ternas pitagóricas:
 Encontrar todas las ternas que tienen sus dos términos menores consecutivos (éste
 problema es conocido y se resuelve aplicando la ecuación de Pell)
 Propuestas mías:
 Encontrar todas las ternas en números naturales tal que X,Y,Z son números
  consecutivos
 Encontrar tosas las ternes en donde el término medio equidista de los extemos.
 Dar un ejemplo de una terna con Z múltiplo de tres,Zmúltiplo de cinco,
 Z múltiplo de siete.Siempre hablando de ternas primitivas

 En una página que se menciona para leer sobre las ternas,se indica en forma
 indirecta lo siguiente:Si a un cuadrado impar se resta uno se tiene 8.1+8.2+8.3....
 pregunto ¿cómo demostrar ésta descomposición?.Se ve que hablo de justificar la
  descomposición, no la demostración en sí que puede ser fácil.