[Richard R Richard]

   En la  cadena finita  \( 4, 2, 1 \), considera el recíproco: \( \displaystyle\frac{1·4 - 1}{3}  =  1 \),  \( \displaystyle\frac{1· 16 - 1}{3} = 5 \), en general; \( \color{blue}\displaystyle\frac{1·2^{(2q)} - 1}{3}\color{black} \) = número múltiplo de \( 3 \), es el inicio de la cadena en este caso \( 21 \), para \( q = 3 \).

  Has de considerar la cadena ascendente primaria formada por los números \( 2^q \) y los entronques en los números de la forma \( \color{blue}2^{(2q)}\color{black} \),  el inicio del entronque
 
  serían los números de la forma : \( 4^q + 4^{(q-1)} +4^{(q-2)} + ... + 4 + 1 \). Corregida , creo que quieres poner eso, solo te falta poner corchetes {} fuera de los paréntesis en la fórmula Latex

 Cuando algún número sea múltiplo de \( 3 \), se considera inicio de la cadena, Los demás están en el interior de secuencia o cadena. te darás cuenta que cada número es el origen de infinitas cadenas, basta con darle valores a \( q \) , que guardan entre sí ciertas relaciones que las utilizaremos para asegurar que no hay cadenas cerradas.

Hola pongamonos de acuerdo en algo,
Si hallamos una cadena circular habremos refutado la conjetura.
Cuando tu dices "entronque" yo estoy interpretando eso como "conectar la cadena con la cadena principal" ,es decir a cualquiera de los números de la forma $$2^x$$ , pero no sé si habrás ya caído en cuentas o llegado a la conclusión previamente que ningún número $$N$$ que pertenezca a una cadena circular puede pasar por ninguno de esos números, ( es decir no puede ser igual a ninguno de ellos) entonces todo número $$n$$ que entronque con cualquier cadena conocida hasta el momento, terminará en 1, ergo, no es parte de una cadena circular. ¿Es Así ?¿Estás de acuerdo?


Que conclusión se saca si estas de acuerdo, que todo mínimo de una cadena circular es de la forma $$3t+1$$ con $$t$$ par o $$3t+2$$ con $$t$$ impar,  si uno va probando de uno en uno ascendiendo, seguro que el primero que hallaremos será el mínimo de la cadena, por eso es el que mas atención atrae, pero mas allá de eso no tiene ninguna propiedad distinta al resto de los elementos de esa cadena.
Y el corolario sería que ningún otro elemento mayor de la cadena, puede ser un número que conecte con una rama que vaya a 1.   

[mongar]

  Continuando con el razonamiento, vamos a clasificar los entronques de la cadena primaria según que su ascendentes primeros sean : múltiplos de\( 3 \), en este caso tendremos \( 2^{6q} \),  \( 4^{2 + 3q} + 4^{1 + 3q} + ... + 4 + 1 \). Caso \( 1 \)

 \( 2^{4 + 6q} \),  \( 4(4 + 3q) + 4(3 + 3q) + ... + 4 + 1  \).  Números de la forma \( 2 + 3t \) Caso\( 2 \)

  \( 2^{8 + 6q} \),  \( 4^{3q + 3} + 4^{2 + 3q} + ... + 4 + 1 \). Números de la forma \( 1 + 3t \) Caso \( 3 \).

  Caso\( 1 \),  La cadena tiene su inicio en un número múltiplo de \( 3 \) y su entronque directo en la cadena principal y su fin en: \( 4, 2, 1 \), en este caso el problema está resuelto. Saludos y gracias por la corrección.
Mensaje corregido desde la administración.

Para poner \( 2^{8+6q} \) escribe 2^{8+6q} y NO 2^(8+6q)
 

[Richard R Richard]

  Ante todo darte las gracias por el interés que has mostrado al contestar, con argumentos matemáticos.

   En la  cadena finita  \( 4, 2, 1 \), considera el recíproco: \( \displaystyle\frac{1·4 - 1}{3}  =  1 \),  \( \displaystyle\frac{1· 16 - 1}{3} = 5 \), en general; \( \displaystyle\frac{1·2^{2q} - 1}{3} \) = número múltiplo de \( 3 \), es el inicio de la cadena en este caso \( 21 \), para \( q = 3 \).

  Has de considerar la cadena ascendente primaria formada por los números \( 2^q \) y los entronques en los números de la forma \( 2^(2q) \),

Se hace un poco difícil seguirte , los números de la forma $$2^k$$ son de la cadena principal, y en particular cuando $$k$$ es par es decir los números de la forma $$2^{2q}$$ entonces al restarles 1 son múltiplos de 3 luego los $$x=\dfrac{2^{2q}-1}{3}$$ son los que pertenecen a una cadena que desemboque en el tronco , ej 1,5,21,255..., pero solo con $$q=1$$ una cadena $$2^{2q-1}$$ desemboca en el tronco ya que al restar 1 no es múltiplo de 3,  ejemplos 1,7,31,127...pues son todos $$1\mod3$$ y requieres que sean $$0/mod3$$ para ser divisibles y esto es lógico ya que los 2^k son o bien $$1\mod3$$ o $$2\mod3$$ y de ellos solo los $$1\mod 3$$ al restarle 1 son múltiplos de 3 o $$0\mod3$$   

el inicio del entronque
 
  serían los números de la forma : \( 4^q + 4^{q-1} +4^{q-2} + ... + 4 + 1 \).

No se bien que quieres decir en todo  caso serían de la forma $$\sum\limits_{i=0}^{q-1} 4^i$$ ,es decir $$[1,5,21,85....]$$ colectan par el tronco principal

Cuando algún número sea múltiplo de \( 3 \), se considera inicio de la cadena, Los demás están en el interior de secuencia o cadena. te darás cuenta que cada número es el origen de infinitas cadenas, basta con darle valores a \( q \) , que guardan entre sí ciertas relaciones que las utilizaremos para asegurar que no hay cadenas cerradas.

  Como ya le dije al señor Fuentes prefiero ir paso a paso,. Saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

Eso no es cierto solo con cierto matiz, fíjate que si $$3k$$ es un múltiplo de tres lo puedes tomar como inicio de cadena , ascendente si es impar, descendente si es par, pero ya con este último dato verá que desciendes a otro múltiplo de 3, es decir , que todo múltiplo de 3 puede ser inicio de cadena pero todos forman parte de una cadena (pero no la inician) de los números $$2^j3^k$$ que tambien son múltiplos de 3, y por descenso llegaran a $$3^k$$

  Continuando con el razonamiento, vamos a clasificar los entronques de la cadena primaria según que su ascendentes primeros sean : múltiplos de\( 3 \), en este caso tendremos \( 2^{6q} \),  \( 4^{2 + 3q} + 4^{1 + 3q} + ... + 4 + 1 \). Caso \( 1 \)

 \( 2^{4 + 6q} \),  \( 4(4 + 3q) + 4(3 + 3q) + ... + 4 + 1  \).  Números de la forma \( 2 + 3t \) Caso\( 2 \)

  \( 2^{8 + 6q} \),  \( 4^{3q + 3} + 4^{2 + 3q} + ... + 4 + 1 \). Números de la forma \( 1 + 3t \) Caso \( 3 \).

  Caso\( 1 \),  La cadena tiene su inicio en un número múltiplo de \( 3 \) y su entronque directo en la cadena principal y su fin en: \( 4, 2, 1 \), en este caso el problema está resuelto. Saludos y gracias por la corrección.
Mensaje corregido desde la administración.
Para poner \( 2^{8+6q} \) escribe 2^{8+6q} y NO 2^(8+6q)
 

Vista mi aclaración anterior , me parece debes refinar el sumatorio .
nunca de un $$2^k$$ restando 1 obtendrás un  $$2+3t$$ de una rama ascendente

• Los números $$1+3t$$  puedes obtenerlos por descenso de un  $$2^{2q}(1+3t)$$ (exponente del 2 par y  con t impar ó exponente del 2 impar y  con t par  )
• Los números $$2+3t$$  puedes obtenerlos por descenso de un  $$2^{2q+1}(1+3t)$$ (exponente del 2 impar y con t par ó exponente del 2 par y  con t impar )
• Los números $$1+3t$$  puedes obtenerlos por ascenso de   $$t$$
• Los números $$2+3t$$  nunca puedes obtenerlos por ascenso.

Reitero ponerse a analizar los entronques no te dirá nada sobre las cadenas circulares, pues estas nunca entroncan  y está claro que no pueden contener múltiplos de 3 porque estos solo pueden provenir de descenso de cadena lineal o inicio de cadena de una cadena lineal, pero nunca de una cerrada ya que estas cadenas cuentan con ascenso y descensos, pero en ascenso son todos miembros $$1+3t$$  al dividir por 2 descendiendo vuelves a obtener solo miembros $$1+3t$$ o $$2+3t$$,  luego ningún $$3t$$ es parte de una cadena cerrada.

Entonces o demuestras que los entronques son inevitables, (confirmas Collatz), o que toda cadena tiene un múltiplo de 3 (confirmas Collatz) o demuestras que si existen cadenas cerradas solo de miembros $$1+3t$$ o $$2+3t$$ (refutas Collatz) si es con un ejemplo, mejor.

[mongar]

\( \displaystyle\frac{2^0 2^\left\{{2a}\right\}2^\left\{{2n - 2a}\right\} -1}{3} \), entroonques primarios,  de esta manera podemos refeír cualquier entronque primario : \( \displaystyle\frac{2^\left\{{2n} \right\} - 1}{3} \), a la expresión ante dicha., aunque es obvio me parece por no perder continuidad referirme a \( 1 = 2^0 \). entonces temos para los entronques primario los números de la forma :\( \displaystyle\frac{2^0 2^\left\{{2n}\right\}- 1}{3} \), Ahora si los clasificamos segun respondan a \( 1 ++ 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{2 + 6q}\right\} - 1}{3} \). Números de la forma \( 2 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{4 + 6q}\right\} - 1}{3} \). números de la forma\( 0 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{6 + 6q}\right\} - 1}{3} \).  Estos a su vez generan los entronques secundarios, estos a los terciarios... para poder transcribir en latex las fómulas de las fraciones continuas necesito ayuda.  Las fracciones en mi opinión resuelven la conjetura Saludos

[Richard R Richard]

Ahora si los clasificamos segun respondan a \( 1 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{2 + 6q}\right\} - 1}{3} \).
Números de la forma \( 2 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{4 + 6q}\right\} - 1}{3} \).
números de la forma \( 0 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^\left\{{6 + 6q}\right\} - 1}{3} \).

A)Números de la forma \( 1 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^{(2 + 6q)} - 1}{3} \) llegas por descenso de un \( 2 + 3t \), como  \( 2\cdot\displaystyle\frac{ \left(2^{(2 + 6q)}\right) - 1}{3} \) y este solo viene por descenso de un  \( 1 + 3t \) de la forma  \( 2^{2k}\cdot\displaystyle\frac{\left( 2^{(2 + 6q)}\right) - 1}{3} \)
B)Números de la forma \( 2 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^{(4 + 6q)} - 1}{3} \) llegas por descenso de un \( 1 + 3t \),como \( 2\cdot\displaystyle\frac{\left( 2^{(4 + 6q)}\right) - 1}{3} \)  y este solo viene por descenso de un  \( 1 + 3t \) de la forma  \( 2^{2k+1}\cdot\displaystyle\frac{\left( 2^{(2 + 6q)}\right) - 1}{3} \) 
C) números de la forma \( 0 + 3t \),   \( \displaystyle\frac{2^{(6 + 6q)} - 1}{3} \) llegas por descenso de un \( 0 + 3t \),como  \( 2^k\cdot\displaystyle\frac{\left( 2^{(6 + 6q)}\right) - 1}{3} \)

Luego toda cadena en ascenso pasa por los tipo A  \( 1 + 3t \) , y solo en un descenso puede llegar a uno con $$t$$ par
solo pasas por los tipo B \( 2 + 3t \) durante los descensos , solo los t impares pueden ser un mínimo local.
y los de la forma \( 0 + 3t \) solo pueden descender hasta resultar impares $$3t$$ de allí  al ascender pasan a un $$3(t+1)+1$$ par, que descenderá pero ya nunca mas la cadena tocará un  \( 0 + 3t \) por lo que no será una cadena cíclica.   

Sigue sin aportar algo mas a lo previamente dicho.

[mongar]

  \( \displaystyle\frac{2^0 2^{2a 2^{2n - 2a}}}{3} \), esta expresión justifica que refiramos cualquier entronque primario a \( \displaystyle\frac{2^n - 1}{3} \).

  Entronques secundarios: para los números de la forma  \( 1 + 3t \),    \( \displaystyle\frac{2^{4+6q+a_1}- 2^{2+6a_1}  - 3}{3^2} \)

    con \( q = 0 + 3t \)

  Entronques secundarios para los números de la forma \( 2 + 3t \),  \( \displaystyle\frac{2^{5+6q+2t} - 2^{1+2t} - 3}{3^2} \), obtenemos todos los números de la forma \( 0+3t,  1+3t,  2+3t \), si restringimos alos números : \( 2 + 3t \), entonces para \( q = 0 \)

  \( \displaystyle\frac{2^{9+6a_1} - 2^{5+6a_1}- 3}{3^2} \).

  Para \( q = 1 \) : \( \displaystyle\frac{2^{11+6a_1} - 2^{1+6a_1} - 3}{3^2} \)

  Para \( q = 2 \) :  \( \displaystyle\frac{2^{19+6a_1} - 2^{3+a_1} - 3}{3^2} \),  la recurrencia es : \( q = 0+3q_0,  q 0 1 + 3q_1,  q= 2 + 3q_2 \).

  Los entronques terciarios..., n-arios se obtienen mediante fracciones continuas.

  Que las fracciones continuas no repiten valor ni pueden ser cíclicas. Saludos.
Mensaje corregido desde la administración.

[Richard R Richard]

  Los entronques terciarios..., n-arios se obtienen mediante fracciones continuas.

Pues claro, es lo primero que dije en el hilo, cualquier número que lleve a un entronque  terminará en 1 y no puede ser parte de una cadena cíclica, pero eso no significa que no pueda haber números que no entronquen y realmente sean un ciclo.
Si quieres demostrar que no hay ciclos, debes demostrar que todo número entronca.

[mongar]

  Para que estés al tanto y no sea lo primero que dijiste: Se ha de establecer la clausura de las fracciones continuas, después se ha de demostrar que cualquier número se puede expresar mediante fracciones continuas, queda como consecuencia la imposibilidad de ser el resultado de una fracción continua y a su vez ese número que pertenezca  a una cadena cíclica. Saludos.

[Richard R Richard]

  Para que estés al tanto y no sea lo primero que dijiste: Se ha de establecer la clausura de las fracciones continuas, después se ha de demostrar que cualquier número se puede expresar mediante fracciones continuas, queda como consecuencia la imposibilidad de ser el resultado de una fracción continua y a su vez ese número que pertenezca  a una cadena cíclica. Saludos.

Hola, solo te dije que cualquier cadena que entronque a cualquier $$2^n$$ no es cíclica.
Luego si quieres demostrar  que la conjetura  es cierta entonces debes demostrar que toda cadena  debe entroncar. El relatar como podría  demostrarse, con clausura ,fracciones continuas o con el método  que sea, no es en sí demostración, pero ya veremos  a que te lleva.

Saludos.

[mongar]

 Una cadena no es cíclica si se puede expresar mediante fracciones continuas, no porque el entronque sea un número de la forma :\( 2^\left\{{2n}\right\} \).

  Si partimos del entronque \( 2^\left\{{2n}\right\} \), para formar la cadena ascendente, es obvio que toda cadena tiene su entronque.

  El relato de como se demuestra la conjetura lo he hecho para que sepáis el hilo a seguir y así evitar elucubraciones vanas.

  La expresión : \( \displaystyle\frac{2^{2n }-2^{2n-2}-3 . 2^{2n-4}-3^2 2^{2n-6}-\ldots- 3^{n-1}}{3^n} \), es una clausura de las fracciones continuas.  Saludos.