[Richard R Richard]

  Si partimos del entronque \( 2^\left\{{2n}\right\} \), para formar la cadena ascendente, es obvio que toda cadena tiene su entronque.

Mmmmh, no sé a que te refieres, pero eso es lo que hacías al inicio del hilo, aquí y te lo mencioné:

  Has de considerar la cadena ascendente primaria formada por los números \( 2^q \) y los entronques en los números de la forma \( 2^{(2q)} \),  el inicio del entronque
...

Explícate con lo de las fracciones continuas...
Ya que puedes diseñar cadenas cíclicas del tamaño  y exponentes para $$(3/2)^x$$ que quieras y expresarlas en forma de fracciones, la resolución de las raíces  de los polinomios a los que te lleva necesariamente serán una fracción pero de denominador y exponentes tan grandes que al menos no he encontrado nada con la memoria suficiente que haga el cálculo para una pequeña porción del dominio de posibilidades, solo al tanteo. 

[mongar]

  Demostrar una propiedad cuando se consideran infinitos usando ordenadores es tarea imposible.

  Vamos a   expresar los entronques secundarios y vemos la formación de las fracciones continuas de orden  \( 2 \):  para los números de la forma :  \( 2 +3t \),  con  \( q = 0 + 3q_1 \).

      \( \displaystyle\frac{2^\left\{{9+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{5+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \).      para \( q = 1+3q_1 \):       \( \displaystyle\frac{2^\left\{{5+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{1+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \).

  para \( q = 1+3 q_1 \) :  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{7+6(q+a_1}\right\} - 2^\left\{{1+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \).

  Para los números de la forma:  \( 1 + 3t \); con  \( q = 0 + 3q_1  \):  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{7+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{3+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \).

  \( q = 1 + 3q_1 \).  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{9+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{5+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \)

 

  para \( q = 2 + 3q_1 \):  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{5+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{1+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \)


  para los números de la forma \( 0 + 3t \):  con \( q = 0 + 3q_1 \),  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{5+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{1+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \)

 
  para \( q = 1 + 3q_1 \):  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{7+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{3+6a_1}\right\} - 3}{3^2} \)

  \( q = 2 + 3q_1 \):  \( \displaystyle\frac{2^\left\{{\left\{{9+6(q+a_1)}\right\}}\right\}- 2^\left\{{\left\{{5+6a_1}\right\}}\right\} -3}{3^2} \)

  Cualquier número de la forma:\( 0+3t,  1+3t,  2+3t \), de entronques secundarios  se puede expresar mediante los valores de fracciones continuas de orden\( 2 \),  con solo hacer: \( \displaystyle\frac{2^\left\{{9+6(q+a_1)}\right\} - 2^\left\{{5+6a_1}\right\} - 3 - 2·3^2}{3^3} \) \( = t \) , en este caso para\( q = 0 + 3q \),  y \( 2 + 3t \) Esta operación se puede hace con todos los resultados. Saludos.
 

[mongar]

5
  Prosigamos, el número de entronques de orden \( q \) es: \( \displaystyle\frac{n(n^q -1 )}{n-1} \)
 2
 De los cuales que terminen en múltiplo de \( 3 \) es \( \displaystyle\frac{n(n^q-1)}{3(n-1)} \)

 los números de la forma \( 1 + 3t,  2 +3t \), el número de entronques de orden \( q \) es : \( \displaystyle\frac{2n(n^q - 1)}{3(n-1)} \)

 Todo número entero se puede expresar mediante fracciones continuas: veamos un ejemplo: expresemos el número \( 7 \): entronque \( 1 \): \( \displaystyle\frac{2^4 - 1}{3} \), entronque número \( 2 \), \( \displaystyle\frac{5· 2^3 - 1}{3} \),  \( 3 \), \( \displaystyle\frac{13·2^2-1}{3} \), \( 4 \), \( \displaystyle\frac{17·2 - 1}{3} \), \( 5 \), \( \displaystyle\frac{11·2 - 1}{3} \) = \( 7 \).

 el resultado de la fracción continua es : \( \displaystyle\frac{2^(11) - 2^7 - 3·2^4 - 3^2·2^2 - 3^3·2 -  3^4}{3^5} \) = 7

 Las cadenas se pueden hacer todo lo grandes que se quieran

 Estamos considerando el recíproco y

   nos referimos al final de la cadena que en el directo sería el inicio.

  siguiendo con el ejemplo de \( 7 \), el final o el inicio de cadena sería: \( \displaystyle\frac{7·2^(2 + 6q) - 1}{3} \)

 Para los números de la forma  \( 1 + 3t \): \( \displaystyle\frac{7·2^(4 +6q) - 1}{3} \)

  Para los números de la forma \( 2 + 3t \): \( \displaystyle\frac{7·2^(6 +6q) - 1}{3} \).

  las cadenas se pueden hacer tan largas como se quieran con solo darle valores a \( q \), lo suficientemente grandes.

 Esta claro que el ejemplo de \( 7 \), se puede extender a cualquier número. Saludos.

[mongar]

 Veamos el problema directo: Consideramos los números de la forma \(  0+ 3t,  1 + 3t,  2 + 3t \),  los números \(  0 +3t  \), no forman parte del interior de la cadena:

  \( \displaystyle\frac{3t + 1}{2^a} = 3^· \), imposible, entonces los números múltiplos de \( 3 \), son el inicio de la cadena.

  Establecemos una relación de equivalencia, decimos que dos cadenas están relacionadas si y solo si se puede establecer las igualdades: caso 1) \( \displaystyle\frac{3(3t_1+1) +1}{2^a} \) = \( \displaystyle\frac{3(3t_2 + 1) + 1}{2^b} \).

  \( t_2 = 2^{b-a} t_1 + \displaystyle\frac{4(2^{b-a} - 1)}{9} \).

 Caso 2)  \(  t_2 = 2^{b-a}t_1 + \displaystyle\frac{4(2^{b-a} - 7)}{9} \).

  Caso3) \(  t_2 = 2^{b-a}t_1 +\displaystyle\frac{7(2^{b-a} - 1)}{9}  \).

  A partir del elemento común las cadenas coinciden.

  Las cadenas quedan estructuradas en clases de equivalencia, lo que nos permite identificar a los números de escape.

  \(  t_1 = \displaystyle\frac{2^{8+6q} - 4}{9} \).

  \( t_2 = \displaystyle\frac{2^{4 +6q}-7}{9} \). Para alguna aclaración si la consideráis necesaria, estoy a vuestra disposición. Saludos.

[Richard R Richard]

Hola, leyéndote entiendo que tratas de generalizar o probar que todo natural será alcanzado en alguna cadena que entronque con la principal o cualquier secundaria.
La cantidad ramas secundarias , terciarias, ... n-arias que existen es infinita, no creo las puedas englobar todas con un exponente , dos o $$n$$ exponentes con $$n$$ finito, justamente porque la cantidad ramas es infinita  se cree que todo $$N \in \Bbb N$$ es alcanzado por una rama que lleva al tronco principal tarde o temprano.
Intentar debatir con otro punto de vista que se aparta de la forma en como encaras el intento de prueba, será infructífero para ambos, pero mi consejo es que no te centres en demostrar que ramas existen, sino en ver si existe la posibilidad de que un $$N$$ pertenezca a una cadenao rama que no entronque nunca, si demuestras que eso no pasa, entonces Collatz es cierta.

 como yo lo atacaría

Por otro lado el N que puede ser parte de una cadena, que es un ciclo cumple con ser raíz de una ecuación polinómica,  no es polinomio único, sino una familia de ellos también infinita, de los que se necesita solo un caso exitoso (es decir que exista la raíz 'entera') para  haber falsado Collatz. 


Como ejemplo esta el Ciclo 1,2,4,1 que responde a un polinomio   $$3N+1=2^kN$$ donde resulta $$N=1$$ con $$k=2$$ como única solución entera para ambos.


Cualquier otra de las construcciones polinómicas que se han probado como ser la de 2 ascenso-descenso seguidos    $$3((3N+1)/2)+1=2^{k_2}N\ quad \to \quad N=\dfrac{5}{2^{k_2+1}-9}$$  , no tiene solución entera mayor a cero para ningún valor de $$k_2$$ entero conocido.


Probar que ningún polinomio más puede tener una raíz entera será probar Collatz verdadera.


Lograr $$x$$ ascensos seguidos  que luego caigan por el tronco principal es mas dificultoso  que lograrlo lo mismo en una rama cualquiera,
ejemplo un número que ascienda y descienda solo 10 veces seguidas para luego terminar descendiendo a 1 , el mas pequeño tiene mas de 5900 cifras (no lo pongo para no ocupar espacio), pero
Un número que ascienda y descienda 34 veces seguidas antes de caer dos veces seguidas solo tiene  11 cifras  el mas chico que encontré es el $$34359738367$$  que es un $$3t+1$$ de $$t$$ par , entonces es mínimo local porque no puede venir de un ascenso.


Y un número que ascienda y descienda 33 veces antes de caer dos veces seguidas solo tiene  11 cifras  el mas chico que encontré es el $$51539607551$$  que es un $$3t+2$$ de $$t$$ impar y es un mínimo local.
No hay limite a seguir buscando cadenas de ascenso-descenso seguidas o no (las combinaciones son infinitas) donde  N vaya aumentando, para luego caer, solo es coincidencia que pase por el mismo número  de inicio.
Acoto nuevamente que un $$3t$$ no puede formar un ciclo (por eso son irrelevantes para probar la conjetura) ya que no puede provenir de ninguna cadena de ascenso,  porque aún viniendo de descenso vendría de un número  $$2^q3t$$ que es a la vez $$3t$$ pero un ascenso siempre genera un $$3t+1$$ y no un $$3t$$. Si los $$3t+1$$ y $$3t+2$$,  tan directamente se descartaran la conjetura si estaría resuelta.


Esos tipos de números que pertenecen a cadenas que en algún momento ascienden bastante y en otro momento descienden son los que podrían cerrar una cadena y ser raíz de algún polinomio si al descender pasan por el número que dio inicio a la cadena .


Por simple obviedad ninguno de esos ejemplos cierra una cadena, pero te hace ver que ni el número de cifras ,ni la cercanía al entronque principal no hace mas fácil ni difícil encontrar números que sean solución al polinomio, pues si es solución tendrá el número de cifras que deba tener.


Si hace años que había desarrollado una formula general (mas bien chapuza) algo como $$N=\dfrac{\text{Sumatorio que depende de la forma del ciclo}(m_i,n)}{2^{k+n}-3^{n}}$$  donde $$n$$ es el número de veces que asciende  y $$k$$  un valor variable que tiene cierto limite cuando no se verifica que $$N>1$$  y el sumatorio depende de $$m_i$$ que son coeficientes que surgen naturalmente al desarrollar el ciclo como una ecuación polinómica  por lo general son de la forma $$3^r/2^t$$ cociente de potencias de 3 y de 2...


Esto equivale a hallar una raíz de una función de varias variable s $$f(N,n,m_i,k)=0$$ donde N sea entero,... había intentado curvas de nivel, pero el número de variables $$m_i$$ es tan basto como se quiera (lo mismo que te sucede con las ramas) al hacer mas complejo el ciclo, llevandome de nuevo al punto de partida donde las posibilidades son infinitas y solo depende de acertar , en caso de que exista una combinación de valores en la que resulte $$N$$ entero, para demostrar que existe otro ciclo aparte de 1241 y $$N$$ pertenece a ese ciclo.

[cerrar]

Saludos
 

[mongar]

 
 La relación de equivalencia que he establecido, nos clasifica las cadenas en clases de equivalencia de su estudio se deduce que las clases de equivalencia solo pueden tener unos números de  escape  \(  ... 16, 8, 4, 2, 1 \).  Porque las ramas son infinitas, se determinan para agruparlas las clases de equivalencia. El punto de vista solo puede ser el que he expuesto. Lee con detenimiento tanto el Recíproco como el Directo y expresa con claridad cual es tu discrepancia. Saludos
 

.

[Richard R Richard]

 La relación de equivalencia que he establecido, nos clasifica las cadenas en clases de equivalencia de su estudio se deduce que las clases de equivalencia solo pueden tener unos números de  escape  \(  ... 16, 8, 4, 2, 1 \).  Porque las ramas son infinitas, se determinan para agruparlas las clases de equivalencia. El punto de vista solo puede ser el que he expuesto. Lee con detenimiento tanto el Recíproco como el Directo y expresa con claridad cual es tu discrepancia. Saludos

Hola, es que no discrepo contigo , solo veo que la cantidad de números de escape son infinitos entonces hay infinitas clases de equivalencia con infinitos elementos cada una.
No sé como eso te puede servir para demostrar la veracidad o falsedad de la conjetura.
Igualmente no todas las cadenas descienden al tronco principal directamente, tu hablas de primarias, secundarias,  pienso son infinitas, es decir por dar un ejemplo ilustrativo algunas se elevan y caen, luego se elevan y vuelven a caer   luego de $$n$$ eventos similares y no exactamente iguales  en algún momento llegan al tronco etc.. en fin puedes escoger ese modelo de subidas y bajadas que quieras y lo puedes modelar con un  polinomio y hallar los números que pertenecen a esa cadena... pero eso no dice nada de una cadena que puedas hacer lo mismo y nunca llegar al tronco... pues en vez de ir al tronco vuelve a pasar por los mismos números...también esos ciclos se pueden modelar con polinomios y probar si hay una solución 'entera',  hay infinitos de ellos, el tema es que no puedes probarlos todos, mi idea ronda en probar de alguna manera, la imposibilidad de hallar soluciones enteras para cualquiera de esos polinomios, pero bueno, eso es material para los matemáticos y ha superado a un hobbista como yo.

Pd  me has hecho pensar en esto 

solo pueden tener unos números de  escape  \(  ... 16, 8, 4, 2, 1 \)

Solo puedes salir en $$1,4,16,64,$$  etc es decir en los $$2^{2n}$$,  ninguna cadena entronca por un $$2^{2n-1}$$ porque son  $$2mod 3$$ salvo empiece por ese número o ya venga descendiendo por el tronco en cuyo caso no entroncó allí.


Edito agrego:
Tu estas pensando que con todas estas salidas cubres todos los naturales, pero creo que eso no alcanza para probar. Y yo pienso que habiendo infinitos polinomios alguno debe tener solución natural, el tema por saber cual es, entonces distintos objetivos mientras  uno trata de probar y el otro trata de falsar la conjetura

[mongar]

  En primer lugar agradecer tu interés por la exposición.

 Voy a intentar contestar punto por punto a tus sugerencias, los números de escape son infinitos, veamos : sabemos que  \(  t_2 = \displaystyle\frac{2^n_2 - 7}{9} \).

 \( t_1 = \displaystyle\frac{2^n_1 - 4}{9} \).

 Ahora aplicamos la relación de equivalencia y obtenemos :\(  n_1 + b = n_2 + a \), lo que indica que todas las cadenas se pueden referir a un mismo entronque.

 Carece de importancia teniendo en cuenta la relación de equivalencia, si una cadena tiene parte finita ascendente, infinita no puede ser dado que todas tienen su origen en un múltiplo de tres determinado, conocido el número impar de partida.

  No es necesario la utilización de polinomios, ¿osculadores ?

 No existen ciclos en las cadenas ni cadenas cíclicas, en el recíproco se utilizan fracciones continuas, lo que hace imposible su existencia. Saludos.

 Por lo demás no todo es oro lo que reluce, hay matemáticos de copiar cortar y pegar ( los menos ) que son como las patatas a la importancia.

 

 

[danizafa]

Hola!
No se si lo que querés llamar cadenas relacionadas vendrían a ser números que colapsan a un mismo número. Pero podés calcular números que se reducen al mismo impar con la siguiente fórmula cerrada:

\[
n_s = 4^sn_0 + \frac{4^s-1}{3} : s\ge 0
\]

que satisface la recurrencia afín:

\[
n_{s+1} = 4n_s+1
\]

Si trabajas con el mapa reducido

\[
T(n) = \frac{3n+1}{2^{\nu_2(3n+1)}}
\]

todos los números que obtienes con la fórmula que te puse arriba terminan en el mismo impar.

El mapa reducido excluye de la dinámica a los múltiplos de 3, pero siempre pueden ser el valor inicial.

Cuando decís: "múltiplo de 3, fin de la cadena" no entiendo bien a que te referís.

Corregime si me equivoco pero la cadena está formada por números que colapsan al mismo número, como puse arriba, verdad? Además porque vi un ejemplo $$1,5,21$$ y le marcabas como fin.

Si es asi, mirá lo que pasa:

$$1,5,21,85,341,1365,\dots$$

La cadena no se corta... Todos esos números caen a $$1$$.

Pero podés ver cuales caen a $$5$$ por ejemplo:

$$3,13,53,213,853,3413,\dots$$

Y así con todos los números. Lo que si nunca vas a encontrar es una cadena que caiga en un múltiplo de $$3$$, porque al aplicar $$3n+1$$ el resultado es  $$\equiv 1 \pmod 3$$.

[Richard R Richard]

  En primer lugar agradecer tu interés por la exposición.

 Voy a intentar contestar punto por punto a tus sugerencias, los números de escape son infinitos, veamos : sabemos que  \(  t_2 = \displaystyle\frac{2^{n_2} - 7}{9} \).

 \( t_1 = \displaystyle\frac{2^{n_1} - 4}{9} \).

 Ahora aplicamos la relación de equivalencia y obtenemos :\(  n_1 + b = n_2 + a \), lo que indica que todas las cadenas se pueden referir a un mismo entronque.

 Hola mongar revisa tus fórmulas en latex, no se entienden , yo  las he modificado con lo que creo querías exponer, pero no estoy seguro... siempre luego de ^ usa un par de corchetes { } para encerrar el exponente de lo que quieras presentar elevado a una potencia.

Carece de importancia teniendo en cuenta la relación de equivalencia, si una cadena tiene parte finita ascendente, infinita no puede ser dado que todas tienen su origen en un múltiplo de tres determinado, conocido el número impar de partida.

Si una cadena nace en un múltiplo de 3 , si es par desciende , pero sigue siendo múltiplo de 3, sigue descendiendo hasta un $$3t$$ con $$t$$ impar, de allí sube hasta un $$3t+1$$  que siempre es $$1mod3$$ y par ,
a partir de ahí hay opciones ,

• Si entroncó con el 1mod3 desciende por el tronco principal el siguiente número es $$2mod3$$, y se alternan hasta el 1
• Si desciende naturalmente por la cadena el siguiente número es $$\pm1mod3$$ pero nunca un múltiplo de 3 o  lo que es lo mismo $$0mod 3$$.
• Si una cadena nace en un 3t es una cadena no cíclica pues no se puede ascender hasta un numero 3t para volver a pasar por él.

Así que si tu hipótesis es que todas las cadenas empiezan en un múltiplo de 3 entonces es claro que no habrá ciclos y desde luego la conjetura es cierta, pero como demuestras que tu hipótesis es cierta siempre, esto es que toda cadena empieza en un $$3t$$,...¿ Por qué no en un $$3t+1$$ o $$3t+2$$?

  No es necesario la utilización de polinomios, ¿osculadores ?

No se si es necesario , a mi me resulta útil y entendible, yo le llamo polinomio por la forma en que se van construyendo, en realidad en un  deasrrollo y simplificacion de una ecuación que representa toda la cadena. 

Supon una cadena primaria y que empieza en un 3t par , entonces, primero desciende a un $$n$$ veces hasta un $$3t$$ impar, luego multiplicas por $$3$$ sumas uno,  y como era una cadena primaria ahora debe entroncar  así que ha resultado ser un $$2^{2^q}$$  así haces un polinomio    $$(3t)2^n+1=2^{2^q}$$ y variando los distintos valores de $$n$$ y $$q$$ puedes hallar todos los $$N=3t$$ que entroncaran de esa forma..


Pero alternativamente ,  si buscas un ciclo partiendo del menor de los números, primero tienes que suponer que hay muchas partes de la cadena  donde se produce un ascenso neto es decir una porción $$\dfrac{3t+1}{2}$$   a veces los descensos serán mas largos y diversos, pero en definitiva sube hasta cierto punto y luego desciende hasta el número que partió.


Puedes modelar la ecuación $$\dfrac{3^qN}{2^q}+\sum \dfrac{3^k}{2^j}+1=2^xN$$  cada diseño de ciclo define los exponentes $$q,k,j $$ y $$ x$$  las diferentes combinaciones de k y j definen lo que antes llamé $$m_i$$ .. verás que se puede despejar $$N$$  y calcularlo para cada combinación de valores... la idea es que alguna  resulte en un $$N$$ entero .. si consigues mas  aparte de la solución cíclica conocida 1241 , entonces habrás falsado la conjetura, y si demuestras por alguna extraña propiedad (escurridiza para mi) que ningún polinomio de los así formados  resuelve el valor de N como entero positivo, entonces la conjetura será verdadera.   

No existen ciclos en las cadenas ni cadenas cíclicas, en el recíproco se utilizan fracciones continuas, lo que hace imposible su existencia. Saludos.

Que no se halle ningún ciclo, no quiere decir que no existan, y de hecho existe uno el 1241,  para que no existan más que ese entonces debes demostrar esa imposibilidad.

Te sigo atento , si puedes explícame con algún ejemplo sencillo que es eso de las fracciones continuas dentro de este contexto.