[Richard R Richard]

PD: Lo de tu ciclo en $$5n+1$$ no lo entiendo... Si vos tenes la cantidad exacta de números impares que tiene ese ciclo en $$5n+1$$ yo podría confirmarte si se trata o no de un ciclo. pero en serio no entiendo lo que tenés.

Tengo una única secuencia de caracteres Q y W  que se pueden aplicar a un número inicial $$n_0$$, que ni en la variante 3 ni en la variante 5, llegan a 1, en mas de 1400000  caracteres, que son mas de 2000000 de iteraciones ya que una Q tiene  una iteración de ascenso  una de descenso obligatorio incluida.En la variante 3 el número inicial $$n_0$$ tiene  exactamente 427329 cifras decimales, y nunca cae a cero, quizá caiga luego de x iteraciones adicionales mas, si la conjetura  funciona  como cierta, pero no es un ciclo.Pero en la variante 5 , aplicada a $$n_0=7$$ que sigue los mismos ascensos y descensos en orden, vuelves a obtener 7 ,em esa cantidad de iteraciones, osea es un ciclo.tengo 611369 Q y  808186 W , por las dudas chequea con una Q o W mas , no recuerdo si se incluye la ultima iteración en el ciclo.Entiendo +/- o -/+ lo del mapa reducido, me chirrea  que si dejo de lado la cantidad de divisiones, algo de lo que intuya  , quizá no sea cierto.

Tire una analogía  entre  cadenas QW  de  Collatz 3n+1 y su variante 5n+1
 En collatz QW es ciclo 1421   con Q voy  de 1 a 2 y con W de 2 a 1  pero en la variante  el minimo es el 11 


y al  reves


mientras en 5n+1


QQWWW es un ciclo para el 1.... en Collatz el n minimo es el 3
QQQWWWW es otro ciclo el 13...su analogo en Collatz es el n mimimo 23
QQWWQWW es otro ciclo para el 17 ... n_{min}=51

Lo que en una variante es un ciclo en la otra no lo es, y las fracciones continuas son las mismas (en modelado y contrucción), solo varía el impar de la variante es decir el 3 o 5

[danizafa]

PD: Lo de tu ciclo en $$5n+1$$ no lo entiendo... Si vos tenes la cantidad exacta de números impares que tiene ese ciclo en $$5n+1$$ yo podría confirmarte si se trata o no de un ciclo. pero en serio no entiendo lo que tenés.

Tengo una única secuencia de caracteres Q y W  que se pueden aplicar a un número inicial $$n_0$$, que ni en la variante 3 ni en la variante 5, llegan a 1, en mas de 1600000  caracteres, que son mas de 2000000 de iteraciones ya que una Q tiene  una iteración de ascenso  una de descenso obligatorio incluida.

En la variante 3 el número inicial $$n_0$$ tiene  exactamente 427329 cifras decimales, y nunca cae a cero, quizá caiga luego de x iteraciones adicionales mas, si la conjetura  funciona  como cierta, pero no es un ciclo.
Pero en la variante 5 , aplicada a $$n_0=7$$ que sigue los mismos ascensos y descensos en orden, vuelves a obtener 7 ,em esa cantidad de iteraciones, osea es un ciclo.




Entiendo +/- o -/+ lo del mapa reducido, me chirrea  que si dejo de lado la cantidad de divisiones, algo de lo que intuya  , quizá no sea cierto.

Claro, pero vos tenes guardados caracteres Q y W.
Cuando vos hablas de iteraciones, tomás pares e impares. Yo por iteración entiendo $$impar \to impar$$, por eso reduzco mucho los pasos.. si vos a

\[\frac{2^{136279842}-1}{3}\] le aplicas tu lógica, tenes $$136279843$$ iteraciones, mientras que yo solo registro $$1$$ iteración para llegar a 1.

Lo del mapa reducido es lo mismo que estás haciendo ahora con

$$Q=\frac{3n+1}{2}$$

pero en lugar de contar las siguientes divisiones como W por cada una, simplemente haces

$$Q=\frac{3n+1}{2^k}$$

$$k$$ es la cantidad de veces que podés dividir $$3n+1$$ entre 2. Con un ejemplo es fácil

$$\frac{3(17)+1}{4}=13$$

en este caso $$k=2$$. Pero para no estar aclarando cuanto es $$k$$, se escribe $$k=\nu_2(3n+1)$$ donde $$\nu_2(x)$$ se define como el mayor exponente de 2 que divide a $$x$$.

$$\nu_2(3n+1)=k \Leftrightarrow 2^k\mid (3n+1)$$ y $$2^{k+1} \not\mid (3n+1)$$.

es lo mismo que

$$3n+1=2^k q, \quad q \, impar$$, entonces $$\nu_2(3n+1)=k$$.

En criollo, la cantidad máxima de veces que podes dividir a $$3n+1$$.

[Richard R Richard]

$$3n+1=2^k q, \quad q \, impar$$, entonces $$\nu_2(3n+1)=k$$.

Ok, entiendo, no es difícil de entender, en mi analogía  decir que k es el máximo exponente de división por 2, requiere aceptar que cuando sigue una Q  en la secuencia si o si  estas evaluando en un impar y si es W si o si  es un par, es decir respetar la legalidad de las iteraciones de la función.


la equivalencia  entre tu secuencia ejemplo y la mia  $$Q^{10}W^4Q^8W^2$$, así  cada exponente sobre una W es $$k-1$$    osea $$1^x \equiv Q^{x+1}$$  y $$" z " \equiv W^{z-1}$$


El resto todo de acuerdo.

[danizafa]

$$3n+1=2^k q, \quad q \, impar$$, entonces $$\nu_2(3n+1)=k$$.

Ok, entiendo, no es difícil de entender, en mi analogía  decir que k es el máximo exponente de división por 2, requiere aceptar que cuando sigue una Q  en la secuencia si o si  estas evaluando en un impar y si es W si o si  es un par, es decir respetar la legalidad de las iteraciones de la función.


la equivalencia  entre tu secuencia ejemplo y la mia  $$Q^{10}W^4Q^8W^2$$, así  cada exponente sobre una W es $$k-1$$    osea $$1^x \equiv Q^{x+1}$$  y $$" z " \equiv W^{z-1}$$

 
No, solo puse esa secuencia para poder decirle al programa lo que quiero.. O sea solo para el script escribo asi... la base es k y lo que sale como exponente es la cantidad de veces que quiero que lo haga.. Como yo puse la captura, expliqué lo que significaba, nada más... pero no anotaría asi una secuencia , al menos por ahora, vos viste despues lo que hace la costumbre.

[Richard R Richard]

Si de acuerdo era una propuesta sobre la  forma de llegar de una a otra...


Lo importante: cualquier número alcanzado por cualquier secuencia derivada de aplicar fórmulas o secuencias sobre números enteros finitos, resultan en un número de inicio y final finito, por lo que debe continuarse Collatz o bien hasta 1 , o bien verificar que progresivamente los número de cifras ascienden  o que en algún momento repite un número. Es decir no prueba nada. 


 

[danizafa]

Si de acuerdo era una propuesta sobre la  forma de llegar de una a otra...

Ahh si, no hay ningun problema! Es que yo no se construirla, por eso armé el programa... cosas, como:

1) Dependiendo de la paridad de $$k$$ sé a que columna pertenece la imagen (con columna quiero decir $$6t+1$$ o $$6t+5$$)
2) Dependiendo de la columna modular actual, $$t$$ se transforma distinto (en cada iteración). hay 4 transformaciones que puede tener.

$$t^{(1)}=\frac{3t-1}{2^k} \quad ; \quad t^{(2)}=\frac{3t+1}{2^k} \quad ; \quad t^{(3)}=\frac{3t}{2^k} \quad ;  \quad t^{(4)}=\frac{3t+2}{2^k}$$

$$6t+1, k \text{ impar}\to 6t^{(1)}+5 \quad ; \quad 6t+1, k \text{ par}\to 6t^{(3)}+1 \quad ; \quad 6t+5, k \text{ impar}\to 6t^{(2)}+5 \quad ; \quad 6t+5, k \text{ par}\to 6t^{(4)}+1$$

Primero sabia encontrar cadenas consecutivas con igual $$k$$, ejemplo cadenas crecientes por $$x$$ cantidad de pasos, que luego empezaban a decrecer. Luego, concatenar bloques requiere ver las congruencias en $$t$$ para ver cual sería el $$k$$ que generan. Esto sale todo por congruencias en $$t$$.

Basicamente sigue esto:

$$3n+1=3(6t+r)+1=6T+4$$ con $$r\in \{1,3,5\}$$

$$T$$ te fija el valor de $$t$$ por congruencias, asi:

$$T \equiv 1 \pmod2 \to k=1$$
$$T \equiv 0 \pmod4 \to k=2$$
$$T \equiv 6 \pmod8 \to k=3$$
$$T \equiv 2 \pmod{16} \to k=4$$
$$\dots$$

Y bueno, tuve que poner esto en un programa, para no necesitar tantos calculos y que t sea transformado y buscado por el programa. Por eso yo necesito $$t$$. Lo interesante es que queda una progresión aritmética en $$t$$. EN la imagen muestra cuál es una progresión por ejemplo. Pero ahí era más básico solo calculaba secuencias continuas con el mismo $$k$$, llamado "run"

Lo importante: cualquier número alcanzado por cualquier secuencia derivada de aplicar fórmulas o secuencias sobre números enteros finitos, resultan en un número de inicio y final finito, por lo que debe continuarse Collatz o bien hasta 1 , o bien verificar que progresivamente los número de cifras ascienden  o que en algún momento repite un número. Es decir no prueba nada. 


 

Amén

[mongar]

 Me alegro que por fin hayas leído mi propuesta, lo deduzco por tu contestación aunque a mi parecer te falta introducir el concepto de relación de equivalencia entre cadenas.

 La congruencia que propones no es sino una reflejo de la que he expresado, el número o elemento final de tu cadena se obtiene con la misma expresión  que he propuesto, y  el inicio  utilizando el recíproco hasta que el número resultante sea múltiplo de \( 3 \) o  no sea divisible por \( 3 \), que de otra parte nos sirve para afirmar que cualquier número impar se puede expresar como el resultado de una fracción continua partiendo de \( \displaystyle\frac{2^(2q) - 1}{3} \). Aplicando el directo siempre llegamos a \( 4,2,1 \)
 
 Que de esta forma  que he propuesto podemos establecer una relación de equivalencia entre las distintas cadenas ascendentes y así analizar solo una.

 Que Collatz dijo que si partimos de un número impar y aplicamos reiteradamente su fórmula llegamos siempre a \(  4, 2, 1 \), pero si partimos del inicio obtenido la cadena la podemos hacer tan larga como se quiera.

 Considerando como subconjunto de las cadenas de Collatz  este tipo de cadenas ascendentes y aplicando su condición obtenemos un nuevo término impar y mayor, luego pertenece al subconjunto. ¿ es una clausura ?. A si tu congruencia es mejor, es tú  apreciación que ya esta contestada . Saludos.

 

[danizafa]

 Me alegro que por fin hayas leído mi propuesta, lo deduzco por tu contestación aunque a mi parecer te falta introducir el concepto de relación de equivalencia entre cadenas.

 La congruencia que propones no es sino una reflejo de la que he expresado, el número o elemento final de tu cadena se obtiene con la misma expresión  que he propuesto, y  el inicio  utilizando el recíproco hasta que el número resultante sea múltiplo de \( 3 \) o  no sea divisible por \( 3 \), que de otra parte nos sirve para afirmar que cualquier número impar se puede expresar como el resultado de una fracción continua partiendo de \( \displaystyle\frac{2^(2q) - 1}{3} \). Aplicando el directo siempre llegamos a \( 4,2,1 \)
 
 Que de esta forma  que he propuesto podemos establecer una relación de equivalencia entre las distintas cadenas ascendentes y así analizar solo una.

 Que Collatz dijo que si partimos de un número impar y aplicamos reiteradamente su fórmula llegamos siempre a \(  4, 2, 1 \), pero si partimos del inicio obtenido la cadena la podemos hacer tan larga como se quiera.

 Considerando como subconjunto de las cadenas de Collatz  este tipo de cadenas ascendentes y aplicando su condición obtenemos un nuevo término impar y mayor, luego pertenece al subconjunto. ¿ es una clausura ?. A si tu congruencia es mejor, es tú  apreciación que ya esta contestada . Saludos.

Hola, he marcado con negrita dos partes de tu último mensaje.

Para nada es un reflejo de tu propuesta, llegamos al mismo resultado, SI. Pero es justo lo que tú has pedido, si podíamos construir un método que haga lo que el tuyo. Richard R. Richard tiene un método que lo hace, que es distinto al tuyo y también es distinto al mío. No podés decir que son reflejos, los tres llegamos al mismo resultado con caminos y métodos diferentes.

Si lo tuyo fuera una prueba o refutación a la conjetura tendriamos 3 pruebas de lo mismo, pero ninguno la tiene.

La segunda marca, que es la que tú no comprendes, se refiere a la diferencia entre la cojetura y lo que estás concluyendo, la conjetura supone que elegido un número iteras la función infinitas veces y que en algún momento la secuencia llega a 1, tu dices que puedes crear cadenas tan largas como se quiera, pero no puedes crear una cadena que infinitamente iterada no llegue a 1.

No he dicho que mi congruencia sea mejor, he dicho que es más sencillo de contruir y además me da todos los inicios que siguen el mismo patrón. La diferencia con tu método, es que tú solo puedes construir cadenas con un patrón de crecimiento, pero yo incluso puedo usar patrones que intercalen tantos pasos de crecimiento, otros de decrecimiento, vuelta crecimiento, y esto mismo puede hacer Richard, tú no lo puedes hacer con tu método.

en los exponentes no debes usar paréntesis (), usa llaves {} para que el exponente quede bien escrito.

Saludos

[Richard R Richard]

La segunda marca, que es la que tú no comprendes, se refiere a la diferencia entre la conjetura y lo que estás concluyendo, la conjetura supone que elegido un número iteras la función infinitas veces y que en algún momento la secuencia llega a 1, tu dices que puedes crear cadenas tan largas como se quiera, pero no puedes crear una cadena que infinitamente iterada no llegue a 1.

Estimado mongar, cuando usaba la palabra indefinido, y tu decias que la confundía con infinito, en realidad trataba de expresar lo mismo que te marca Danizafa en ese párrafo, no puedes iterar infinitas veces(físicamente imposible) y tampoco puedes usar el infinito dentro de tu función creadora de números pertenecientes a cualquier serie de Collatz, porque infinito no es un número, entonces hablé de longitud de cadena indefinida, para hacerla tan extensa  o grande como quiera, pero sin un número definido para asignarle, aún así ese número sigue siendo finito , no se habrá alcanzado el infinito, y por tanto a ese número se le  puede seguir aplicando la función de Collatz, y nuevamente puedes obtener los tres resultados posibles , caer a 1, repetir un número, o bien ir a infinito, pero en este último caso tendrás que usar otra cosa para demostrarlo. 


Habrás descrito una forma de definir un número de inicio y de final para una  órbita que se extiende por pasado un número de iteraciones tan grande como quieras, pero aún no has alcanzado el infinito, es decir no has probado nada, si el número final  demuestras que es inicio de una cadena que va hasta el infinito por algún otro medio, entonces el número inicial tambien está en esa órbita.


Sobre tus clases de equivalencia  tengo para decir que si  observas también la variante 5 ,  que tiene clases primarias como $$(2^{2q}-1)/5$$ creo que en menos entronques,  existen relaciones de equivalencia n-arias, que terminan por describir un ciclo, pero en Collatz la misma morfología ,familia, clase   no hace un ciclo, por eso el análisis por si solo, no veo como puede servir de demostración, puedes seguir  ampliando las equivalencias , a nuevas clases , pero cada clase que pruebes es solo un ejemplo de los infinitos que debes probar, aunque cada familia, clase o como  quiéranos llamarle a ese ejemplo, y que abarque a su vez infinitos números para $$q$$ , en definitiva, no es el método que debes usar para probar, esto te lo dije en uno de mismo primeros mensajes de otro modo, pero de ahí no has salido.

[Granmurillo]

  serían los números de la forma : \( 4^q + 4^{q-1} +4^{q-2} + ... + 4 + 1 \).

Eso se llama suma de potencias de 2 más 1. Eso tiene una demostración formal y es parte de las demostraciones parciales de la conjetura.