Hola, una opinión de un curioso hobbista.
La conjetura queda refutada si existen una o mas cadenas o secuencias con el mismo inicio.
Eso evidentemente no es cierto ya que ya existe una cadena que empieza y termina en el mismo número, 1,2,4,1, así que...
deberías enunciar "la conjetura queda refutada si existen una o mas cadenas o secuencias con el mismo inicio distinto 1", además, al ser una cadena cerrada , no importa de donde empieces, la idea es que vuelvas a pasar por el mismo número en una serie finita de pasos...
La única forma de refutar entonces la conjetura es dar un número $$N$$, solo un número pertenciente a la cadena, el cual iterando la función un numero finito de veces obtengas nuevamente $$N$$.
La única forma de corroborar la conjetura es probar que no existe ese número $$N$$.
No veo en el hilo que hayas presentado ninguna de las dos cosas, solo algunos aciertos básicos para buscar posibles soluciones, pero ninguna demostración.
Te doy, si acaso importa otro punto de vista similar. En una cadena hay dos números más relevantes que otros , el mínimo y el máximo global de la cadena, (por supuesto puede haber mínimos locales, y máximos locales, mayores y menores relativamente a los minimos y maximos globales de la cadena). Yo los llamo de ese modo, puede que les hayan dado otro nombre.
Si todo elemento de la cadena cumple...
que si $$n$$ es par, el siguiente de la secuencia es $$n/2$$.
que si $$n$$ es impar, el siguiente de la secuencia es $$3n + 1$$.
Una cadena no puede tener dos ascensos $$3n+1$$ seguidos ya que si $$n$$ es par , se aplica $$n/2$$, y si es impar $$3n+1$$ resulta par por lo que el paso que sigue es dividir , entonces el ascenso será medible cada 2 iteraciones cuando resulte $$(3n+1)/2$$ impar, y será descendente en los que no suceda eso. En definitiva hay ascenso si $$n$$ de la cadena es mayor o menor al $$n_{i-2}$$ previo.
Todo $$3n+1$$ es por definición un $$n\equiv 1\mod 3$$
Luego todo $$(3n+1)/2$$ es por definición un $$n\equiv 2\mod 3$$
Como comparas saltos de a 2 siempre comparas numeros del mismo resto en una porcion de cadena ascendente.
Entonces en una cadena ascendente por definición (lo puedes verificar por aritmética modular) nunca tendrás numeros $$n$$ de la forma $$3t$$ , ya que $$n_{i+1}=3n_i+1\equiv 1 \mod 3$$ con $$n_i$$ impar y al dividrlo por 2 te queda siempre un $$2\mod 3$$. Luego los números $$3t$$ solo pueden ser mínimos locales o globales con $$t$$ impar . Eso no quiere decir que no haya números $$3t+1$$ (con t par) ni $$3t+2$$ (con t impar) que no puedan ser mínimos.
Entonces comenzar a analizar una cadena en sentido inverso como es decir dado un mínimo $$m=3t$$, $$m=(3t+1)$$o $$m=(3t+2)$$ puedes analizar ramas para cada $$2^q$$ con $$q \in \Bbb N$$ el tema es que no todo $$q$$ pertenece a una rama posible de ser una cadena cerrada.
Si $$m=3t$$ entonces $$n=(3t)2^q \equiv 0\mod 3 \ \forall q \in\Bbb N$$ luego no puede provenir un resultado de la función $$3n+1$$ ya que todos esos resultados son del tipo $$1\mod 3$$, así que ese $$n$$ no pertenece a una cadena cerrada.
Si $$n=(3t+1)2^q $$ pertenece a una cadena entonces $$q$$ tiene que ser par para resultar ser del tipo del tipo $$1\mod 3$$ si quieres presentarlo en fórmulas el último punto antes es descender en esa cadena cerrada tiene que ser de la forma $$n=(3t+1)2^{2k} $$
Del mismo modo si $$n=(3t+2)2^q $$ pertencece a una cadena entonces $$q$$ tiene que ser impar para resultar ser del tipo $$1\mod 3$$ y el último antes de descender es $$n=(3t+2)2^{2k+1}$$
Visto de esta forma en un posible ciclo
empezar una cadena en un $$n=3t+1$$ impar (t par), indica que la última operación será una división por 2 y la previa una división por 2.
empezar una cadena en un $$n=3t+1$$ par (t impar), indica que la última operación puede ser cualquiera de las dos posibles..
empezar una cadena en un $$n=3t+2$$ par (t par), indica que la última operación será una división por 2 y la previa puede ser cualquiera de las dos posibles.
empezar una cadena en un $$n=3t+2$$ impar (t impar), indica que la última operación sera una division por 2 y la previa puede ser cualquiera de las dos posibles.
empezar una cadena en un $$n=3t$$ par o impar (t par o impar respectivamente), indica que toda operación previa ha sido una division por 2, por eso no puede cerrar un ciclo. *1
Pero nada de esto te dice si deja o no de ser posible una cadena cerrada,(salvo se encuentre que para cada opción un argumento como *1) ni te da una forma algebraica definida ni tampoco general para resolver y verificar si es posible un resultado de $$n$$ dentro de los enteros, ni información sobre resto de la cadena.
Los resultados que te presenté son básicos para comenzar un análisis mínimamente serio.
Con cada cadena con sus ascensos y descensos se puede desarrollar en una ecuación polinómica , que de ser resuelta dando el valor de $$N$$ entero y distinto de 1 habrás refutado la conjetura de que todos los números enteros descienden a 1.
Cual sería la propuesta de demostración o prueba entonces?
Saludos
