[ani_pascual]

Como anécdota y puro juego técnico: la notación del punto anterior, se puede usar para dar una variante del argumento del Teorema de Cantor para aplicarlo directamente a cualquier función \( f:G\to P(\Bbb N) \). Se considera el conjunto:

\( B=\{n\in \Bbb N|n\not\in f(h(n))\}\subset \Bbb N \)

 Es imposible que \( B\in Im(f) \) por que si así fuese existiría \( g\in G \) tal que \( f(g)=B \). Pero entonces llamando \( n=h^{-1}(g) \)  se tendría que:

- Si \( n\in B \) entonces \( n\not\in f(h(n))=f(g)=B \): contradicción.
- Si \( n\not\in B \) entonces \( n\in f(h(n))=f(g)=B \): contradicción.
 

Hola:
Pensando sobre esto, se me ocurrió otro razonamiento "similar", usando la biyección dada \( \mathbb{N}\stackrel{h}{\longrightarrow} G \), para probar que no puede existir una biyección \( G\stackrel{f}{\longrightarrow}{\cal P}(\mathbb{N}) \),  pero tengo alguna duda sobre su validez. La idea es definir el conjunto \( B=\{y\in G\,|\,y\notin f(y)\} \) y suponer que \( f(B)\in Im(f\circ h) \). En ese caso, \( \exists\,n\in\mathbb{N}\,|\,(f\circ h)(n)=f(B)\Longleftrightarrow f(h(n))=f(B) \). Así, si \( h(n)\in B \) entonces  \( f(h(n))\in f(B)=f(h(n)) \), que es una contradicción con la TC. Y si \( h(n)\notin B \) entonces \( h(n)\in f(h(n))=f(B)\Longrightarrow\exists\,y\in B\,|\,h(n)=f(y) \), lo cual también contradice la TC, pues \( h(n)\in G\subseteq \mathbb{Q} \) y \( f(y)\subseteq \mathbb{N} \) ¿Estaría bien el razonamiento?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
Pensando sobre esto, se me ocurrió otro razonamiento "similar", usando la biyección dada \( \mathbb{N}\stackrel{h}{\longrightarrow} G \), para probar que no puede existir una biyección \( G\stackrel{f}{\longrightarrow}{\cal P}(\mathbb{N}) \),  pero tengo alguna duda sobre su validez. La idea es definir el conjunto \( B=\{y\in G\,|\,y\notin f(y)\} \) y suponer que \( f(B)\in Im(f\circ h) \).

Pero es que \( f(B) \) no es un elemento de \( {\cal P}(\Bbb N) \), fíjate que cada \( f(b) \) para \( b\in B \) es un subconjunto de \( \Bbb N \) y por tanto \( f(B) \) es un conjunto de subconjuntos de \( \Bbb N \), es decir, \( f(B)\subset {\cal P}(\Bbb N) \) o equivalentemente \( f(B)\in {\cal P}({\cal P}(\Bbb N)) \).

Además \( G \) puede ser cualquier conjunto que no tiene que ver con los naturales mientras que \( f(y) \) es un subconjunto de naturales; así que en general se tendrá que \( y\not\in f(y) \) para todo \( y\in G \) y \( B=G \) independientemente de como definas \( f \).

-¿Qué nos dice del tamaño de un conjunto infinito el hecho de poderlo relacionar biyectivamente con otro conjunto infinito? Pienso que no nos dice realmente nada de él, propiamente, sino de la relación que se establezca.

Pero eso es otro tema. Que a ti que el hecho de que dos conjuntos se puedan relacionar o no biyectivamente no capture la idea del tamaño es ya algo subjetivo.

En el caso finito no es así, que se pueda establecer o no una relación biyectiva entre dos conjuntos depende única y exclusivamente de su tamaño, del número de elementos. Por eso no parece tan mala idea generalizarlo para conjuntos infinitos. Ahora si tu no lo interpretas así, perfecto. Dos observaciones al respecto:

1) Como ya te comenté de hecho en otros contextos hay otros criterios para comparar tamaños. Cuando uno introduce una medida (que es algo más que tener simplemente conjuntos) entonces uno compara el "tamaño" de un conjunto por su medida; de manera que el intervalo \( [0,2] \) tiene tamaño doble al del \( [0,1] \) pese a ser biyectivos.

2) Si dices que para ti el hecho de poder establecer una aplicación biyectiva entre dos conjuntos finitos no dice nada sobre su tamaño. ¿Se te ocurre alguna forma mejor para comparar "tamaño" de conjuntos infinitos?.

3) Y una vez más eso no tiene nada que ver con tus críticas anteriores al argumento de Cantor. No hablemos de tamaño si quieres, pero Cantor prueba que es imposible establecer una aplicación biyectiva entre \( \Bbb N \) en \( P(\Bbb N) \) y tu sigues erre que erre intentando encontrar un ejemplo que falsee este hecho. Pero es imposible que lo encuentres.

Saludos.

[RDC]

Se propone lo siguiente:

Por un lado el conjunto \( E:E=\left\{{\displaystyle\frac{2}{1},\displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{5}{3}, \displaystyle\frac{5}{4},\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{7}{6}, \displaystyle\frac{11}{7}, \displaystyle\frac{11}{8},\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{11}{10},\displaystyle\frac{13}{11},...}\right\}\subseteq{\Bbb Q} \), es decir, \( E=\left\{{x\in{\Bbb Q},p_i/n}\right\}\subseteq{\Bbb Q} \), donde \( n\in{\Bbb N},n<p_i \) y no existe ningún otro primo entre \( n \) y \( p_i \)

Por otro lado el conjunto \( V:V=\left\{{\displaystyle\frac{3}{2^4},\displaystyle\frac{3}{2^5}...,\displaystyle\frac{5}{2^6},\displaystyle\frac{3}{2^7}...,\displaystyle\frac{7}{2^8}},...\right\}\subseteq{\Bbb Q} \), es decir, \( V=\left\{{x\in{\Bbb Q},\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}}}\right\}\subseteq{\Bbb Q} \), con \( p_j>2,n\in{\Bbb N} \).

Y se da que:

\( E\cap{V}=\emptyset , E\cup{V}=T; card(T)=card(\Bbb Q) \)

Por tanto:

\( T=\left\{{\displaystyle\frac{2}{1},\displaystyle\frac{3}{2},\displaystyle\frac{5}{3}, \displaystyle\frac{5}{4},\displaystyle\frac{7}{5},\displaystyle\frac{7}{6}, \displaystyle\frac{11}{7}, \displaystyle\frac{11}{8},\displaystyle\frac{11}{9},\displaystyle\frac{11}{10},\displaystyle\frac{13}{11},...\displaystyle\frac{3}{2^4},\displaystyle\frac{3}{2^5},...,\displaystyle\frac{5}{2^6},\displaystyle\frac{5}{2^7},...\displaystyle\frac{7}{2^8}},...\right\}\subseteq{\Bbb Q} \)

Es decir:

\( T=\left\{{[x\in{\Bbb Q},p_i/n}],[x\in{\Bbb Q},\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}}]\right\}\subseteq{\Bbb Q} \); donde \( n\in{\Bbb N},n<p_i \) y no existe ningún otro primo entre \( n \) y \( p_i \); y con \( p_j>2 \).

Entonces, existe una función\(  f \) tal que:

\( f: T\longrightarrow{P(\Bbb N)} \)

Mientras establecemos que el conjunto \(  P(\Bbb N) \) se ordena del siguiente modo:

\(  P(\Bbb N)=\left\{{\emptyset},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\},\left\{{3}\right\},\left\{{1,3}\right\}\right\} \), es decir:

Spoiler

Dados dos subconjuntos de \( \Bbb N \) uno va antes que el otro dentro de \( P(\Bbb N) \) si:

Primero: su elemento más grande es menor que el mayor elemento del otro.

Segundo: en caso de que ambos subconjuntos tengan por el mayor elemento el mismo número, entonces va antes el subconjunto que tenga menos elementos.

Tercero: en caso que ambos subconjuntos tengan el mismo elemento mayor y el mismo número de elementos, entonces va antes el conjunto cuyo elemento menor sea menor que el del otro.

[cerrar]

Además podemos considerar que \(  P(\Bbb N)=A_1\cup{A_2}; A_1\cap{A_2}=\emptyset \), siendo \( A_1 \) un conjunto que contiene, en exclusivo, aquellos elementos de \(  P(\Bbb N) \) que contienen un número finito de elementos. Y \( A_2 \) contiene el resto de elementos de \(  P(\Bbb N) \). 

Entonces, la función \( f \) se define como:

A) Si \( x\in{E} \), entonces \( f(x)=a_1, a_1\in{ A_1} \), y es el elemento cuya posición dentro del conjunto  \( P(\Bbb N) \) corresponde a \( n \) (el denominador de \( x \)).

Por ejemplo:

Spoiler

\( f(\displaystyle\frac{7}{5})=\left\{{3}\right\} \), dado que el elemento \( \left\{{3}\right\} \) ocupa el 5º lugar dentro del conjunto \( P(\Bbb N) \).

[cerrar]

Esta primera premisa de la función \( f \) nos garantiza una biyección entre los elementos de \( E \) y los de \( A_1 \). 

Ahora falta mirar si \( f \) puede establecer una biyección entre \( V \) y \( A_2 \).

B) Sabemos que cada número natural \( n \) pertenece a infinitos subconjuntos de \( \Bbb N \) que contienen infinitos elementos. Es decir, cada \( n \) pertenece a infinitos elementos de \( A_2 \), con lo cual allí tenemos infinitos elementos que contienen el 1, otros tanto que contienen el 2, otros tanto que contienen el 3, etc. Visto así  podemos hacer lo siguiente:

Si \( x\in{V} \), entonces \( x=\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}} \).

Además, hay que tener presente que los elementos de \( A_2 \), a diferencia de los elementos de \( A_1 \), no se pueden ordenar dentro de \( P(\Bbb N) \) mediante los 3 preceptos estipulados. Sólo con uno de ellos:

Se pueden ordenar según sea su elemento menor. Así por ejemplo, \( \Bbb N \) o el conjunto de los impares, tienen el 1 como elemento menor; el conjunto de los pares tiene el 2 como menor; el conjunto de los múltiplos de 7 tiene el 7 como elemento menor, etc.

Además, ya sabemos que en \( A_2 \) habrá infinitos elementos \( a_2 \) que contienen el 1, infinitos más que contienen el 2, infinitos más que contienen el 3, y así con todo número natural.

Por tanto, a través de estos dos requisitos podemos establecer la siguiente correspondencia:

Spoiler

Si \( a_2 \) contiene el \( 1 \) como elemento menor, entonces se emparejará con un \( x \) cuyo

\( p_j=3 \).

Si \( a_2 \) contiene el \( 2 \) como elemento menor, entonces se emparejará con un \( x \) cuyo

\( p_j=5 \).

Si \( a_2 \) contiene el \( 3 \) como elemento menor, entonces se emparejará con un \( x \) cuyo

\( p_j=7 \).

Si \( a_2 \) contiene el \( 4 \) como elemento menor, entonces se emparejará con un \( x \) cuyo

\( p_j=11 \).

...

[cerrar]

Por tanto, \( V \) contendrá infinitos subconjuntos \( C_{p_j}: C_{p_j}=\left\{{x\in{V}},x=\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}}\right\} \), con \( n\in{\Bbb N} \).

Por ejemplo:

Spoiler

\( C_3 \) será el aquel conjunto que contiene todos los elementos de \( V \) tales que \( x=\displaystyle\frac{3}{2^{3+n}} \); con lo cual se emparejarán con todos los elementos de \( A_2 \) cuyo elemento menor sea el 1. Como por ejemplo \( \Bbbn \), o el conjunto de los impares, etc.

\( C_5 \) será el aquel conjunto que contiene todos los elementos de \( V \) tales que \( x=\displaystyle\frac{5}{2^{5+n}} \); con lo cual se emparejarán con todos los elementos de \( A_2 \) cuyo elemento menor sea el 2. Como por ejemplo el conjunto de los números primos, o el conjunto de los pares, etc.

\( C_7 \) será el aquel conjunto que contiene todos los elementos de \( V \) tales que \( x=\displaystyle\frac{7}{2^{7+n}} \); con lo cual se emparejarán con todos los elementos de \( A_2 \) cuyo elemento menor sea el 3. Como por ejemplo el conjunto de los múltiplos de 3, o el conjunto de todos los pares que no tienen el 2 pero sí tienen el 3, etc.

[cerrar]

CONCLUSIÓN:

dado un elemento cualquiera \( a_2\in{A_2} \), por definición de \( f \) siempre lo vamos a tener que emparejar con algún elemento \( x, x\in{C_{p_j}}, C_{p_j}\subseteq{V} \), según sea su elemento menor. Porque todo \( a_2\in{A_2} \) tiene un elemento menor \( n \), con lo cual es necesario por definición que sea la imagen de un \( x, x\in{C_{p_j}}, C_{p_j}\subseteq{V} \); en caso contrario entraríamos en una contradicción.

[ani_pascual]

Pero es que \( f(B) \) no es un elemento de \( {\cal P}(\Bbb N) \), fíjate que cada \( f(b) \) para \( b\in B \) es un subconjunto de \( \Bbb N \) y por tanto \( f(B) \) es un conjunto de subconjuntos de \( \Bbb N \), es decir, \( f(B)\subset {\cal P}(\Bbb N) \) o equivalentemente \( f(B)\in {\cal P}({\cal P}(\Bbb N)) \).

Además \( G \) puede ser cualquier conjunto que no tiene que ver con los naturales mientras que \( f(y) \) es un subconjunto de naturales; así que en general se tendrá que \( y\not\in f(y) \) para todo \( y\in G \) y \( B=G \) independientemente de como definas \( f \).

Hola:
¡Es cierto, no sé en qué estaba pensando! A veces, uno se enreda con la simbología y pierde la noción de los conceptos 
Gracias por la explicación
Saludos

[feriva]

Hola, RDC, buenos días.

El tipo de cosas que haces me recuerda a las que hacía yo para discutir esto cuando empecé a saber de ello.

Tú eres libre de corresponder los números con las leyes que quieras, pero eso no quita que haya otras formas, y la de Cantor es otra forma; simplemente se trata de eso.

Por ejemplo:

El conjunto de los \( 2^{n} \) es infinito (para “n” tan grande como se quiera) puedo “gastar el conjunto \( \mathbb{N} \) (para “n” tan grande como en el anterior) biyectándolo: \( 2^{n}\rightarrow n \). Es así porque todos los \( 2^{n} \) son distintos entre ellos por una parte; y todos los “n” son distintos entre ellos por otra. No importa que números que están “n” estén también en \( 2^{n} \), importa que sean distintos cada uno por su lado; de esta forma hay la misma cantidad para un “n” tan grande como se quiera.

Ahora bien, igualmente puedo considerar el conjunto \( 3^{n} \), con todos sus elementos distintos de \( 2^{n} \) y puedo biyectarlo con “otro” conjunto \( \mathbb{N} \). Y lo mismo puedo considerar con todos los primos, la unión de sus potencias serán conjuntos con elementos todos distintos que necesitarán “muchos” conjuntos \( \mathbb{N} \) para poder ser biyectados. Desde este punto de vista parece que el conjunto de los \( p^{n} \) será infinitamente mayor que \( \mathbb{N} \).

Pero Cantor no se refiere a eso:

Dado el conjunto \( 2^{n} \), para un “n” tan grande como se quiera, se puede biyectar con el conjunto {1,2,3,...,n};

Dado el conjunto \( 3^{n} \), para un “n” tan grande como se quiera, se puede biyectar con el conjunto {(n+1),(n+2)...,2n}

y así sucesivamente.

La unión de {1,2,3,...,n} con {(n+1),(n+2)...,2n}y sucesivos será el conjunto \( \{1,2,3,...,n^{2}\} \), donde, si “n” es un natural tan grande como se quiera, ese conjunto no es otra cosa que un conjunto de naturales y \( N\rightarrow P^{n} \) es una aplicación biyectiva.

Del mismo modo, \( \{1,2,3,...,n^{m}\} \) con “n” y “m” tan grandes como se quiera es un conjunto de naturales. Así que ahí nos cabe casi todo lo que queramos meter; tus conjuntos y- mucho más; pero todos tienen el mismo cardinal según la idea de Cantor, porque él llama a eso conjuntos numerables; todos se pueden numerar (o, si quieres, todos se pueden ir numerando). Quédate con que el nombre del cardinal es “numerable”; que quiere decir que son conjuntos tan grandes como se quiera, la elección es nuestra de alguna manera.

Si atendemos a los números como tales, saliéndonos de los conjuntos, uno puede elegir un cierto número natural tan grande como quiera, pero nunca de valor infinito, nunca de infinitas cifras. Sin embargo, es imposible elegir un número irracional con tantas cifras como uno quiera, todos tienen directamente infinitas cifras. Esto quiere decir que si tomamos los números naturales (éste 345, éste 56, éste 7783... “todos”) y los “pegamos” formando una cadena, ésta nunca será más larga que la cadena formada por las cifras de un número irracional; será igual de “larga”, tendrá infinitas en ambos casos. Y será el mismo tipo de infinito, un infinito donde ya no podemos decir en ningún caso “tan grande como queramos”; es una cadena tan larga como a ella le da la gana.

Intuitivamente, la idea que subyace en el teorema de cantor es parecida a ésa.

Por eso, en los racionales puedes decir: “todos los racionales que se pueden formar con las distintas fracciones construidas con {1,2}; donde n=2 es el n tan grande como yo quiero. Y se tienen estas fracciones \( \dfrac{1}{1},\dfrac{2}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{2}{1}, \), que nos dan tres racionales (que den menos no es problema, será un conjunto numerable en todo caso).

Y ahora tú me puedes decir, “pero es que entre medias de 1/2 y 1 cabe 2/3, por ejemplo”.

Pues no pasa nada, porque ahora digo: “sean todos los racionales que se pueden formar con las distintas fracciones construidas con {1,2,3}”. Y así tengo “todos” los racionales; los tengo todos potencialmente hablando, porque no existe una “cantidad última” de ellos.

Más o menos ése es el planteamiento de Cantor. Si tú planteas otra cosa, pues es otra cosa; no digo que esté mal ni bien, es otra cosa.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Por tanto, \( V \) contendrá infinitos subconjuntos \( C_{p_j}: C_{p_j}=\left\{{x\in{V}},x=\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}}\right\} \), con \( n\in{\Bbb N} \).

Por ejemplo:

\( C_3 \) será el aquel conjunto que contiene todos los elementos de \( V \) tales que \( x=\displaystyle\frac{3}{2^{3+n}} \); con lo cual se emparejarán con todos los elementos de \( A_2 \) cuyo elemento menor sea el 1. Como por ejemplo \( \Bbb N \), o el conjunto de los impares, etc.

Es imposible que con \( C_3 \) puedas cubrir todos los subconjuntos de \( \Bbb N \) cuyo menor elemento sea \( 1 \). La demostración de esa imposibilidad volvería a ser una variante del argumento de Cantor o una consecuencia de su teorema; no la voy a detallar, porque en cualquier caso tu haces esa afirmación gratuitamente, sin justificación alguna. ¿Exactamente como asignas a cada elemento de la forma \( \displaystyle\frac{3}{2^{3+n}} \) un subconjunto infinito de \( \Bbb N \) cuyo menor elemento sea \( 1 \)  sin que te quede ninguno sin cubrir?

Para eso directamente podrías afirmar que a cada elemento de \( \Bbb N \) le asignas un subconjunto de \( P(\Bbb N) \) cubriendo todos y ala... porque lo digo yo y listo.

Usando las palabras de restituto "te estás haciendo trampas al solitario" estás admitiendo la existencia de conjuntos infinito y el manejo usual de los mismos y pretendes negar el Teorema de Cantor. Imposible.

Tú eres libre de corresponder los números con las leyes que quieras, pero eso no quita que haya otras formas, y la de Cantor es otra forma; simplemente se trata de eso.

En general esa frase y todo tu último mensaje feriva, me parece extremadamente ambiguo y difuso.

En cuanto a la frase Cantor y en el tema que nos ocupa, Cantor no "corresponde" nada sino que demuestra que entre dos ciertos conjuntos es imposible corresponder (biyectivamente) de cualquier manera.

Después todo lo que dices que se supone que encierra la idea de Cantor, me parece tan general, que si dijeses que encierra la idea de RDC me parecería que pudiera encajar también. Y es porque afirmas cosas sobre conjuntos finitos e infinitos que en si mismo no son falsas, pero no veo muy bien que tienen que ver con las cosas concretas que se han ido argumentando aquí.

Saludos.

CORREGIDO

[feriva]

Tú eres libre de corresponder los números con las leyes que quieras, pero eso no quita que haya otras formas, y la de Cantor es otra forma; simplemente se trata de eso.

En general esa frase y todo tu último mensaje feriva, me parece extremadamente ambiguo y difuso.

En cuanto a la frase Cantor y en el tema que nos ocupa, Cantor no "corresponde" nada sino que demuestra que entre dos ciertos conjuntos es imposible corresponder (biyectivamente) de cualquier manera.

Después todo lo que dices que se supone que encierra la idea de Cantor, me parece tan general, que si dijeses que encierra la idea de RDC me parecería que pudiera encajar también. Y es porque afirmas cosas sobre conjuntos finitos e infinitos que en si mismo no son falsas, pero no veo muy bien que tienen que ver con las cosas concretas que se han ido argumentando aquí.

Saludos.

Sí es verdad, no es nada concreto ni tampoco es constetación a nada. Para serte sincero, de su último mensaje sólo me fijé un poco en el principio, apenas sólo observé que seguía discutiendo el teorema y me pareció que tenía (o tiene) una visión parecida a la que yo tuve respecto de esto hace años (por alguno de sus anteriores mensajes también me lo pareció).

Muchas gracias, Luis.

[RDC]

Hola Luís, buenas tardes:

Hola

Por tanto, \( V \) contendrá infinitos subconjuntos \( C_{p_j}: C_{p_j}=\left\{{x\in{V}},x=\displaystyle\frac{p_j}{2^{p_j+n}}\right\} \), con \( n\in{\Bbb N} \).

Por ejemplo:

\( C_3 \) será el aquel conjunto que contiene todos los elementos de \( V \) tales que \( x=\displaystyle\frac{3}{2^{3+n}} \); con lo cual se emparejarán con todos los elementos de \( A_2 \) cuyo elemento menor sea el 1. Como por ejemplo \( \Bbb N \), o el conjunto de los impares, etc.

Es imposible que con \( C_3 \) puedas cubrir todos los subconjuntos de \( \Bbb N \) cuyo menor elemento sea \( 1 \). La demostración de esa imposibilidad volvería a ser una variante del argumento de Cantor o una consecuencia de su teorema; no la voy a detallar, porque en cualquier caso tu haces esa afirmación gratuitamente, sin justificación alguna. ¿Exactamente como asignas a cada elemento de la forma \( \displaystyle\frac{3}{2^{3+n}} \) un subconjunto infinito de \( \Bbb N \) sin que te quede ninguno sin cubrir?

Para eso directamente podrías afirmar que a cada elemento de \( \Bbb N \) le asignas un subconjunto de \( P(\Bbb N) \) cubriendo todos y ala... porque lo digo yo y listo.

Usando las palabras de restituto "te estás haciendo trampas al solitario" estás admitiendo la existencia de conjuntos infinito y el manejo usual de los mismos y pretendes negar el Teorema de Cantor. Imposible.

El problema que le veo a lo que pretendo mostrar, es que los elementos del subconjunto \( A_2 \), que son los subconjuntos de \( \Bbb N \) que contienen infinitos elementos, no pueden colocarse en una secuencia ordenada, como si se puede hacer siempre con los subconjuntos finitos de \( \Bbb N \).

Es decir, en conjuntos finitos parece posible marcar unas normas generales para secuenciarlos ordenadamente: \( \left\{{\emptyset},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\}\right\} \), y determinar quien va primero, segundo, tercero, etc. La secuencia anterior es la que escogí, pero se podrían establecer otras si quisiéramos.

Sin embargo esto no parece que se pueda hacer en conjuntos de infinitos elementos. ¿Me equivoco? Por ejemplo, se puede establecer que el conjunto de los naturales sea el primero en la serie de elementos de \( A_2 \), pero y luego, ¿qué norma ponemos para determinar cual será el segundo elemento?

Pienso que este punto parece imposibilitar que podamos saber qué componentes tienen exactamente "todos" los elementos de \( A_2 \). Y por ello imposibilita saber cuántos hay, y como son exactamente, aunque podamos definir muchos de ellos. 

Si se pudiera pautar una secuencia clara y ordenada de todos los elementos de \( A_2 \) no creo que hubiese problemas para establecer una \( f \) específica según la cual fuera posible emparejar cada elemento de \( A_2 \) con un \( x \). Que en el fondo es lo que me pides, Luís.

Sin embargo, de lo poco que sabemos de estos elementos de \( A_2 \) es que cada uno de ellos está formado por una cadena de términos inacabables, cada uno de los cuales puede adquirir cualquier valor natural.

En fin, lo seguiré pensando, que ahora no tengo mucho tiempo

Un saludo

 



[/quote]

[Luis Fuentes]

Hola

Sin embargo esto no parece que se pueda hacer en conjuntos de infinitos elementos. ¿Me equivoco? Por ejemplo, se puede establecer que el conjunto de los naturales sea el primero en la serie de elementos de \( A_2 \), pero y luego, ¿qué norma ponemos para determinar cual será el segundo elemento?

Si, por ahí van los tiros.

Pienso que este punto parece imposibilitar que podamos saber qué componentes tienen exactamente "todos" los elementos de \( A_2 \). Y por ello imposibilita saber cuántos hay, y como son exactamente, aunque podamos definir muchos de ellos. 

Si se pudiera pautar una secuencia clara y ordenada de todos los elementos de \( A_2 \) no creo que hubiese problemas para establecer una \( f \) específica según la cual fuera posible emparejar cada elemento de \( A_2 \) con un \( x \). Que en el fondo es lo que me pides, Luís.

Si; ese es la mitad el problema, ser capaz de poner en una "lista ordenada" (lo entrecomillo porque el concepto puede ser más sutil de lo que parece) los elementos de \( A_2 \). Pero aun así el segundo problema sería probar que una vez hecho eso se cubren todos los elementos de \( A_2 \). Te pongo un ejemplo del problema que puede surgir (aunque en el caso del ejemplo es solventable).

Considera el conjunto de números naturales, pero lo voy a ordenar de una manera diferente a como hacemos habitualmente. Digo:

- Cualquier número par es menor que cualquier número impar.
- Los pares entre si y los impares entre si están ordenados en la forma habitual.

Entonces el listado de números naturales ordenados con ese orden sería:

\(  2,4,6,8,10,\ldots,1,3,5,7,\ldots \)

Fíjate que yo soy capaz de decir cual el el "siguiente" de cualquier número.

Bien; ahora si yo pretendo usar ese orden para restablecer una aplicación de los naturales en ese conjunto sería, simplemente llevando cada natural al número que está en la posición que indica:

- Llevo el 1 al 2.
- Llevo al 2 al 4.
- Llevo al 3 al 6.

y así sucesivamente, supongo que te darás cuenta que dejo los impares sin cubrir.

Saludos.

[feriva]

El problema que le veo a lo que pretendo mostrar, es que los elementos del subconjunto \( A_2 \), que son los subconjuntos de \( \Bbb N \) que contienen infinitos elementos, no pueden colocarse en una secuencia ordenada, como si se puede hacer siempre con los subconjuntos finitos de \( \Bbb N \).

Es decir, en conjuntos finitos parece posible marcar unas normas generales para secuenciarlos ordenadamente: \( \left\{{\emptyset},\left\{{1}\right\},\left\{{2}\right\},\left\{{1,2}\right\}\right\} \), y determinar quien va primero, segundo, tercero, etc. La secuencia anterior es la que escogí, pero se podrían establecer otras si quisiéramos.

Sin embargo esto no parece que se pueda hacer en conjuntos de infinitos elementos. ¿Me equivoco? Por ejemplo, se puede establecer que el conjunto de los naturales sea el primero en la serie de elementos de \( A_2 \), pero y luego, ¿qué norma ponemos para determinar cual será el segundo elemento?

Todo ese lío que intentas quizá es más fácil de ver si lo piensas también con ayuda del argumento de la diagonal propiamente dicho, con números en una matriz \( n\times n \). Al considerar una matriz \( n\times n \) para un “n” tan grande como se quiera, el número “B” que no está en la matriz \( n\times n \) sí que cabe en una matriz \( (n+1)\times(n+1) \) añadiendo un cero al final, una cifra no significativa (y es el mismo número ral). De hecho, cabrá en una matriz \( (n+k)\times(n+k) \) añadiendo “k” ceros al final. De esta manera, esos números no se quedan fuera nunca y la aplicación es biyectiva; van a ser los racionales.
Pero si la matriz tiene dimensiones \( card(\mathbb{N})\times card(\mathbb{N}) \), ya no es tan grande como se quiera, los lados son infinitamente largos; no se les puede sumar 1 ó k, por lo que el conjunto B no se puede corresponder biunívocamente con ningún elemento del conjunto N.

Saludos.