[geómetracat]

No me quiero enredar mucho en estas discusiones, pero creo que es importante comentar que todos los principios que menciona RDC salvo el de "el todo es mayor que sus partes" (y el de transitividad que no sé muy bien a qué se refiere), es decir: no contradicción, explosión, tercio excluso e identidad, son principios que forman parte de la lógica clásica de primer orden que subyace a cualquier formalización de una teoría de conjuntos. Por tanto, los conjuntos infinitos en estas teorías cumplen igualmente todos esos principios, y de hecho son conjuntos igual de válidos que los conjuntos finitos, nada de conjuntos "irracionales" o "contradictorios" como se ha dicho por aquí (siempre que se trate con ellos en el marco de una teoría formal; la teoría ingenua que manejaba Cantor sí daba lugar a contradicciones manifiestas como la paradoja de Russell o la de Burali-Forti).

Otro tema distinto es qué dicen esos principios (en lógica clásica de primer orden), ya que RDC parece darles en ocasiones unas interpretaciones un tanto sui generis que se limitan a números naturales, y que luego pretende extrapolar a conjuntos infinitos.

[RDC]

Hola Luís

Hola

Def. 2: Del mismo modo, entiendo que aritméticamente el principio de identidad se expresa así:

\( x=x \), siendo \( x \) cualquier racional; y es la base de todo el algebra.

En tal sentido, es evidente que \( x+1=x \), es siempre una violación del principio de identidad. Y de hecho es una forma de expresar la contradicción \( x=-x \). Veámoslo:

No. Una violación del principio de identidad sería \( x\neq x \).

\( x+1=x \) significa que el resultado de operar \( x \) con \( 1 \) vuelve a ser \( x \).

Y eso es algo que puede ocurrir para algunas operaciones y algunos elementos y no para otros; pero no tienen nada que ver con el principio de identidad. Por ejemplo para la operación unión:

\( \{1,2\}\cup \{1\}=\{1,2\} \) (\( X\cup A=X \))

y no se está violando ningún principio.

No entiendo muy bien este comentario. ¿La unión entre dos conjuntos es la misma operación que la suma de dos números?¿Y la intersección entre dos conjuntos es la misma operación que la resta entre dos números?

Por mi parte, lo que pretendía apuntar es que si tomamos los números y las propiedades aritméticas de los números (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, etc), entonces la forma de expresar los principios lógicos clásicos quizás sería:

Principio de identidad:
Para cualquier racional, \( x=x \), con lo cual \( x-x=0 \)

Principio de no contradicción (y su violación conlleva el de explosión, como apuntaba ya sugata):

La operación \( x+1=x=x-1 \) no tiene solución en los racionales.

Nota: quizás en vez del 1 se puede tomar un numero racional cualquiera, \( y \), tal que \( y\neq 0 \). Por ejemplo, \( y \) puede ser un racional tan pequeño como queramos, sin que llegue a ser jamás 0.

Principio de transitividad:

\( x-y<x \), y \( x<x+y \), por tanto \( x-y<x+y \)

Es decir, dado dos racionales \( x,y \) es posible, siempre, discernir el número que hay antes de \( x \) con el que hay después de \( x \), tomando el número \( y \) como distancia.

Nota: Este principio da, precisamente, concreción y unicidad a un número, \( x \), pues impide que éste se confunda con sus "consecutivos" (en base a una distancia \( y \)). Por tanto, es el responsable de que para cada número, \( x \), siempre haya otro número diferente separado a una distancia \( \pm{y} \).

En este sentido, violar este principio implica que dos números consecutivos, en base a un \( y \), no se distingan y por tanto se tomen como el mismo número; tal y como se conciben los infinitesimales, por ejemplo, y con ellos se establece, sin embargo, la noción de continuidad.  Por tanto, este punto me parece interesante.


¿Por qué no tomar como principio de no contradicción a \( x=-x \)?

El viernes, al apuntar esta expresión, \( x\neq-x \) o bien \( x+x=0 \), para identificar el principio de no contradicción en la aritmética, me pareció entender, Luis, que lo "criticaste", precisamente, porque sí tiene una solución aritmética: cuando \( x=0 \). Y pienso que esa crítica fue totalmente acertada.

Con razón, ahora proponía que el principio de no contradicción en la aritmética se expresara bajo la idea de que no puede existir ningún racional\( x \), tal que \( x+y=x=x-y \), con \( y \) un racional coprimo de \( x \), o bien,\(  0<y\leq{1} \). Y mostré, en particular, como esta expresión lleva implícito que no puede existir ningún número distinto de 0 tal que \( x=-x \).

¿Por que establezco tal principio así?

Primero porque considero que los únicos números bien definidos, es decir que son concretos, transitivos y cumplen sin duda alguna los principios lógicos clásicos, son los naturales, enteros y racionales.

Por ello, establezco tal operación para el principio de no contradicción: ningún natural, entero ni racional la cumple siguiendo las normas aritméticas. ¿Me equivoco? Si así fuera, debería de cambiarse la expresión.

Spoiler

Por ejemplo:

Siendo \( a,b,y \) números coprimos entre sí cualquiera, entonces es necesario que:

\( a^2\pm{y}=2b^2 \), es decir: \( a^2-b^2=b^2\pm{y} \).

Y puede darse sin problema que \( c^2=b^2\pm{y} \), obteniendo, pues, una terna pitagórica \( (b,c,a): b^2+c^2=a^2 \).

Ahora bien:

Si \( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \) ello exige que:

\( a^2=2b^2 \). 

Y como hemos dicho que es necesario que \( a^2\pm{y}=2b^2 \), entonces tenemos que:

\( a^2=a^2\pm{y} \)  Pero es contradicción.

Con lo cual resulta imposible hallar un valor natural de \( a,b,y \) que cumpla tal operación, al ser una contradicción.

Ahora bien, a través del conjunto de las ternas pitagóricas del tipo \( (b,b+1,a) \), y que son infinitas, podemos usarlas para obtener desarrollos cada vez más extensos de \( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \). ¿Significa que nos vamos acercando al final y por ello, a su valor?

En cualquier caso, por ejemplo, tenemos la terna \( (119,120,169): 119^2+120^2=169^2 \)

\( \displaystyle\frac{169}{119}=1,4201...  \)(obtenemos 1 decimal)

Y la siguiente terna de este tipo, \( (696,697,985): 696^2+697^2=985^2 \)

\( \displaystyle\frac{985}{696}=1,4152...  \)(obtenemos 2 decimales)
...

Y la cuestión es: ¿si llevamos al infinito esta operación, que emplea semejante tipo de ternas pitagóricas, acaso vamos a disolver su inherente contradicción/imposibilidad y hallaremos un supuesto valor concreto, lógico y bien definido? ¿Afirmar eso no es un brindis al sol?

Son dudas de fondo que tengo, porque si al infinito esta operación nos diese un valor, entonces ¿cómo podría ser concreto? A fin de cuentas, surgiría de afirmar que \( a^2=a^2\pm{y} \), siendo este \( y \) un valor distinto de 0.

En tal sentido, cabe sospechar que el principio de transitividad no tendría mucho sentido para números irracionales, así \( \sqrt[2]{2} \), dado que se fundamentan sobre una contradicción aritmética y, por ello, en la necesidad de que se dé siempre una intransitividad y por consiguiente, "busca y necesita" que en algún momento exista un \( y\neq 0 \) para el cual un número \( x \) no se distinga ni de su anterior ni de su posterior, en base a tal \( y \).

[cerrar]

Ahora bien, no pretendía tomar esta operación de no contradecirse,(que ningún \( x, x+y=x=x-y \)), como una expresión general del principio de no contradicción. Si así lo pareció, pues me expliqué muy mal.

Entiendo que el principio de contradicción, como idea, sí es general para toda entidad concreta, determinada, finita y por ello lógica; sin embargo, entiendo que debe tomar diferentes expresiones según sean las operaciones y premisas implicadas para que se pueda aplicar con eficacia.

En este sentido, entiendo que en la teoría de conjuntos este principio debería de expresarse seguramente de otro modo diferente al de la aritmética, dado que las operaciones entre conjuntos, como la unión o la intersección, parecen tener un sentido diferente al de la suma, resta, etc de números. Y por lo que dice geométrecat, seguramente ya debe de existir tal expresión, ¿no?.

Un saludo

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo muy bien este comentario. ¿La unión entre dos conjuntos es la misma operación que la suma de dos números?¿Y la intersección entre dos conjuntos es la misma operación que la resta entre dos números?

Pues es para hacerte ver que le estas poniendo nombre de propiedades lógicas clásicas a propiedades de la suma, que NADA tienen que ver con las propiedades lógicas y su significado. El problema de esto es que luego caes en tus propios juegos de palabras: dices cosas como que el hecho de que una suma infinita admita \( S+1=S \) (una vez definido como se opera con infinitos) hace que el principio de no contradicción no funcione para conjuntos infinitos; y con eso quieres invalidar el argumento de Cantor por que en un momento dado se razona por reducción al absurdo aludiendo a una contradicción (en la que por cierto no interviene suma alguna).

Entonces es como si decides llamar paloma a los caballos para más tarde usar ese nombre para defender que los caballos vuelan.

Por mi parte, lo que pretendía apuntar es que si tomamos los números y las propiedades aritméticas de los números (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, etc), entonces la forma de expresar los principios lógicos clásicos quizás sería:

Principio de identidad:
Para cualquier racional, \( x=x \), con lo cual \( x-x=0 \)

Principio de no contradicción (y su violación conlleva el de explosión, como apuntaba ya sugata):

La operación \( x+1=x=x-1 \) no tiene solución en los racionales.

Nota: quizás en vez del 1 se puede tomar un numero racional cualquiera, \( y \), tal que \( y\neq 0 \). Por ejemplo, \( y \) puede ser un racional tan pequeño como queramos, sin que llegue a ser jamás 0.

Esto no tiene NADA que ver con el significado de los principios lógicos que citas.

Principio de transitividad:

\( x-y<x \), y \( x<x+y \), por tanto \( x-y<x+y \)

Es decir, dado dos racionales \( x,y \) es posible, siempre, discernir el número que hay antes de \( x \) con el que hay después de \( x \), tomando el número \( y \) como distancia.

Transitividad en ese contexto es que:

- SI \( x-y<x \) y \( x<x+y \) entonces \( x-y<z+y \).

La interpretación que haces es surrealista. En primer lugar si hablas de racionales, no hay un número "antes" que \( x \), ya que entre cualquier para de números racionales existe otro.

Nota: Este principio da, precisamente, concreción y unicidad a un número, \( x \), pues impide que éste se confunda con sus "consecutivos" (en base a una distancia \( y \)). Por tanto, es el responsable de que para cada número, \( x \), siempre haya otro número diferente separado a una distancia \( \pm{y} \).

En este sentido, violar este principio implica que dos números consecutivos, en base a un \( y \), no se distingan y por tanto se tomen como el mismo número; tal y como se conciben los infinitesimales, por ejemplo, y con ellos se establece, sin embargo, la noción de continuidad.  Por tanto, este punto me parece interesante.
 

 Como te he dicho en los racionales (y con el orden usual) no hay dos números consecutivos.

¿Por qué no tomar como principio de no contradicción a \( x=-x \)?

¿O \( x=5x \) ó \( x=sin(x) \)? ¡Viva la creatividad! 

El viernes, al apuntar esta expresión, \( x\neq-x \) o bien \( x+x=0 \), para identificar el principio de no contradicción en la aritmética, me pareció entender, Luis, que lo "criticaste", precisamente, porque sí tiene una solución aritmética: cuando \( x=0 \). Y pienso que esa crítica fue totalmente acertada.

Es más que eso; simplemente el principio de no contradicción no es eso. Coloquialmente el principio de no contradicción simplemente afirma que una cosa y su contraria no pueden ser ciertas al mismo tiempo. Pero tu lo asimilas al hecho de que una ecuación tenga o no solución.

Con razón, ahora proponía que el principio de no contradicción en la aritmética se expresara bajo la idea de que no puede existir ningún racional\( x \), tal que \( x+y=x=x-y \), con \( y \) un racional coprimo de \( x \), o bien,\(  0<y\leq{1} \). Y mostré, en particular, como esta expresión lleva implícito que no puede existir ningún número distinto de 0 tal que \( x=-x \).

¿Mostré? No dudo que lo mostrases; pero vamos de eso no hay duda la única solución en los números reales y con la operación suma usual de \( x=-x \) es \( x=0 \).

Por ello, establezco tal operación para el principio de no contradicción: ningún natural, entero ni racional la cumple siguiendo las normas aritméticas. ¿Me equivoco? Si así fuera, debería de cambiarse la expresión.

No se que quieres decir exactamente. Es todo repetitivo. El único número racional que cumple \( x=-x \) es el cero. Pero por ejemplo ningún número real positivo cumple \( x=-x \).

¿y...?

Del Spoiler, ufff me cuesta decir algo. Sinceramente no sé a que viene. Comento un detalle:

Si \( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \) ello exige que:

\( a^2=2b^2 \). 

Y como hemos dicho que es necesario que \( a^2\pm{y}=2b^2 \), entonces tenemos que:

\( a^2=a^2\pm{y} \)  Pero es contradicción.

¿Qué contradicción?. 

Ahora bien, no pretendía tomar esta operación de no contradecirse,(que ningún \( x, x+y=x=x-y \)), como una expresión general del principio de no contradicción. Si así lo pareció, pues me expliqué muy mal.

 Vuelvo a lo mismo: al final tu puedes poner los nombres que te de la gana a lo que te de la gana. Pero lo que consigues es un batiburrillo donde mezclas tus significados particulares con los significados estándar que lleva a cosas sin sentido.

Como resumen y con todo respeto: desde hace varios mensajes me está costando mucho dar un sentido coherente a tus mensajes; trato de contestar porque no me gusta dejar una conversación a medias. Pero en realidad estás dando vueltas sobre lo mismo. Sobre cosas que para mi simplemente no hay por donde cogerlas. Así que, salvo quizá contestar a alguna réplica que hagas sobre este mensaje, lo dejo aquí. Suerte.

Saludos.

[feriva]

Principio de identidad:
Para cualquier racional, \( x=x \), con lo cual \( x-x=0 \)

Si se tiene una expresión, por ejemplo, \( f(x)=x^{2}+7 \), o la que sea, y otra expresión distinta \( g(x)=log(x) \) o la que sea, y se nos propone la igualdad \( f(x)=g(x) \), entonces operamos cancelando cosas, y tal y cual, y si terminamos llegando a una igualdad \( h(x)=h(x) \) decimos que hemos llegado a una identidad. Si ocurre eso, y en caso de que no nos hallamos equivocado por el camino en algún paso intermedio, significa que la igualdad de partida \( f(x)=g(x) \) es cierta (para el dominio que sea, un conjunto X dado, que no tiene por qué ser siempre infinito ni los racionales ni nada "fijo").

Ahora bien, yo no sé (o no sabía) qué se entiende por principio de identidad. Lo he mirado en internet y Wikipedia usa la palabra "filosofía"; a partir de lo cual se me ocurre comentar algo.

Entre los años 50 y 70 (por poner un periodo amplio, dado que no sé con exactitud) los alumnos que elegían el bachillerato de letras no tenían ninguna asignatura de matemáticas, ni especiales ni no especiales; sólo estudiaban latín, griego, historia... Y en filosofía veían la cuestión de los silogismos y demás, y sabían eso de la “tabla de verdad” que dice, entre otras cosas, que si verdadero lleva a verdadero la implicación es cierta. Pero es muy probable que una parte de ellos no supiera qué signifcaba tal cuestión en el plano práctico (que no quiere decir que tenga que servir para inventar un aparato tecnológico, ni nada físico, necesariamente).

Si existen \( f(x);g(x) \), entonces \( f(x)\underset{Verdadero}{=}g(x) \) si \( f(x)=h(x) \) y \( g(x)=h(x) \). Y esto es práctico, lo usamos todos, todos los días. El nombre “principio de identidad”, no es más que un nombre.

Por ejemplo, una cosa sencilla de álgebra básica:

\( x=(1+2) \)

\( y=(1+2-3) \).

\( x=x+y\Rightarrow \)

\( (1+2)=(1+2)+(1+2-3)\Rightarrow \)

sacando factor común (1+2) a la derecha

\( (1+2)=2(1+2)-3\Rightarrow \)

restando (1+2) a ambos lados

\( 0=(1+2)-3\Rightarrow \)

y sumando 3 a ambos lados

\( 3=3 \)

llegamos a una identidad, luego \( x=x+y \) es cierta.


Esto mismo, con el infinito, como dices... no tiene mucha sustancia. La cuestión es que Cantor considera que el cardinal infinito de N es único, no hay dos cardinales distintos. Parte de ahí, y nadie puede decirle que considerar eso esté mal, lo que sí puede ser es que otros consideren otra definición de “cardinal” la cual no conlleve esa unicidad; pero simplemente se estaría usando la palabra de otra manera.

Y al considerar esa unicidad, sucede lo que cimentaba el otro día. El conjunto P(N) tiene dentro, como parte, al conjunto-elemento N, que es único. Si hubiera otros conjuntos-elementos de cardinal infinito, pero distintos, dentro de P(N), el cardinal de N no sería único.
¿Cómo se puede arreglar? No lo sé bien, yo esto no lo he estudiado a fondo, pero intuitivamente se me ocurre que una manera podría ser decir que sí existen elementos de P(N) que, pese a ser distintos, tienen el mismo cardinal que N; debido a que a ellos pertenecerían subelementos que no serían números naturales (y así los conjuntos-elementos serían distintos por una razón cualitativa, no cuantitativa). Esto desembocaría en que P(N) no fuera el conjunto de todos los conjuntos que se pueden formar con los elementos de N, puesto que a algunos elementos-conjuntos pertenecerían esos intrusos. Sin embargo, tampoco sería un impedimento para que existiera como otro tipo de conjunto, que estaría aparte de los conjuntos normales.

¿Por qué, usando sólo naturales, se podrían generan esos conjuntos-elementos con subelementos intrusos no naturales, de dónde saldrían estos últimos?

Filosofando:

Se me ocurre un experimento mental:

Un hombre entre cuatro paredes tiene un rotulador especial; no se acaba la tinta nunca y ésta no engrosa absolutamente nada la superficie que pinta. Supongamos también que la tinta es verde.

El hombre ha pasado infinitos días en la habitación y cada día ha dibujado una rayita en las paredes; ya no se distingue ninguna raya, pues las paredes, el suelo, el techo y todo, se ven completamente verdes.

Otra persona, que sabe que el hombre lleva infinitos días dibujando rayas, entra en la habitación y ve el continuo color verde sin distinguir nada; como el hombre del rotulador, pero éste sabe más o menos dónde ha pintado la rayita, aunque no se vea dónde.

Para el hombre del rotulador, ese infinito es numerable, pues ha ido dibujando raya por raya, aunque ya no sepa ni cuántas hay debajo de la última que pinta. Pero... ¿es el mismo tipo de infinito para el visitante?

Saludos.

[RDC]

Hola Luís

Hola

No entiendo muy bien este comentario. ¿La unión entre dos conjuntos es la misma operación que la suma de dos números?¿Y la intersección entre dos conjuntos es la misma operación que la resta entre dos números?

Pues es para hacerte ver que le estas poniendo nombre de propiedades lógicas clásicas a propiedades de la suma, que NADA tienen que ver con las propiedades lógicas y su significado. El problema de esto es que luego caes en tus propios juegos de palabras: dices cosas como que el hecho de que una suma infinita admita \( S+1=S \) (una vez definido como se opera con infinitos) hace que el principio de no contradicción no funcione para conjuntos infinitos; y con eso quieres invalidar el argumento de Cantor por que en un momento dado se razona por reducción al absurdo aludiendo a una contradicción (en la que por cierto no interviene suma alguna).

Entonces es como si decides llamar paloma a los caballos para más tarde usar ese nombre para defender que los caballos vuelan.

Por mi parte, lo que pretendía apuntar es que si tomamos los números y las propiedades aritméticas de los números (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, etc), entonces la forma de expresar los principios lógicos clásicos quizás sería:

La analogía que haces no me parece pertinente, Luís. Aunque es verdad, podría estar jugando a este truco.

Lo que intento mostrar es que no hay solución racional posible para esta expresión:

\( x+1=x=x-1 \), o su equivalente \( x+y=x=x-y \), cuando \( y\neq0 \)

Y me pregunto: ¿Por qué no hay solución racional posible?
Ciertamente, una respuesta puede ser: -porque no hay solución racional y ya está. ¿Para qué darle vueltas?

Vale, sin embargo, intento divagar un poco. Y mi respuesta es: porque para cualquier racional esta operación genera una contradicción.

Spoiler

Que en la lógica clásica el principio de no contradicción diga "que no se puede afirmar a la vez una proposición y su contraria" sólo es el enunciado de la idea de no contradicción adaptado a silogismos. De hecho,  siglos más tarde al desarrollar los lenguajes formales, como la lógica proposicional de primer grado por ejemplo, se modificó una pizca qué se entiende por contradicción cuando se definió que lo contrario de una proposición es todo aquello que no hace referencia a la propia definición.

En tal sentido, en tales lenguajes lo contrario de "hace sol" no es exclusivamente "no hace sol", sino que se amplía a afirmaciones tipo "llueve", "nieva", "es de noche", "está nublado", etc.

Spoiler

Como curiosidad freaky, diría que esto se saca de Platón: en el Sofista critica el razonamiento de Parménides según el cual la negación del ser es, simplemente, su contrario: el No ser. Ello nos llevaba a sostener que sólo existe el ser, porque lo que no es, pues no es porque por definición de contrario no puede ser. Y si solo puede ser el ser, entonces la multiplicidad, el cambio, el mundo físico, no puede ser y por ello, no existe en realidad. Hecho que resulta empíricamente absurdo, es decir contradice nuestra vida diaria.

Platón lo reformula y dice que lo  opuesto al Ser no es el No Ser sin más, sino todo lo que no es propiamente ser. O dicho de otra manera, lo que es otra cosa diferente al ser. Y con ello se ve capaz de justificar nuestra vida diaria.

Así pues, explica que lo contrario del Bien, no es necesariamente el mal, su opuesto directo, sino otra cosa diferente que el Bien, entre las cuales puede estar también el mal obviamente... O que lo contrario del saber, no tiene porque ser directamente la ignorancia, sino algo diferente al saber, etc.
 

[cerrar]

Así pues, pensaba que lo contrario de 4 no sólo tiene que ser el -4, sino que lo puede ser cualquier valor que no sea propiamente el 4. Con lo cual afirmar que 4=-4 sería tan contradictorio y absurdo como afirmar que 4=3=3+1=2=3-1

[cerrar]

Dicho esto, mi idea era ver si dada una operación (ecuación), ésta tiene solución en los racionales, puesto que son los únicos valores unitarios y concisos, por medibles y contables en un número finito de pasos.

Y una de las formas aritméticas que carece de solución racional es \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \). Pero además, es la expresión del principio de continuidad, el cual parece ser una violación del principio de transitividad.

En base a ello entiendo que la sucesión de números racionales no genera jamás un continuo, porque siempre es transitiva: todo número racional $$x$$ se distingue y separa de otro por una distancia arbitraria \( y \).

Para que la sucesión de racionales fuera continua debería de ser posible hallar un racional $$x$$ tal que \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \). Y eso es imposible. A no ser que "llevemos tal operación al infinito" a través de en series infinitas, o de raíz de 2 por ejemplo.

En tal caso, aparecen "números irracionales", los cuales parecen dejar de seguir una transitividad pura y dura, y muestran un cierto grado de continuidad. Pues a diferencia de los racionales, éstos no parecen ser números unitarios, concisos y lógicos. Aunque nos hemos acostumbrado a imaginarlos idealmente así. Sin embargo, son muchas las evidencias que van contra tal imaginería. Por ejemplo:

Nos resulta imposible medir raíz de 2, o colocarlo con cierta precisión arbitraria $$y$$ entre dos racionales cualquiera, y con ello saber la distancia precisa que hay entre raíz de 2 y cualquier racional; pues no hay distancia concreta al no ser un número concreto y racional.

Por ejemplo, imaginamos que \( \sqrt[ 2]{2} \) está en algún lugar MAS ALLÁ de los racionales entre \( \displaystyle\frac{17}{12} \) y \( \displaystyle\frac{41}{29} \). Y si bien sabemos la distancia exacta que separa \( \displaystyle\frac{17}{12} \) de \( \displaystyle\frac{41}{29} \), \( \displaystyle\frac{1}{348} \), resulta imposible saber la distancia entre \( \sqrt[ 2]{2} \) y \( \displaystyle\frac{17}{12} \) o entre  \( \sqrt[ 2]{2} \) y \( \displaystyle\frac{41}{29} \)

Principio de transitividad:

\( x-y<x \), y \( x<x+y \), por tanto \( x-y<x+y \)

Es decir, dado dos racionales \( x,y \) es posible, siempre, discernir el número que hay antes de \( x \) con el que hay después de \( x \), tomando el número \( y \) como distancia.

Transitividad en ese contexto es que:

- SI \( x-y<x \) y \( x<x+y \) entonces \( x-y<z+y \).

La interpretación que haces es surrealista. En primer lugar si hablas de racionales, no hay un número "antes" que \( x \), ya que entre cualquier para de números racionales existe otro.

No la veo surrealista, quizás me he explicado mal.

Entre racionales dada una distancia arbitrariamente grande o pequeña, $$y$$, siempre encontramos otro racional diferente. Este es le principio de transitividad: para cualquier racional hay siempre una distancia concreta y precisa con otro racional.  Esto es lo que, me parece a mi, da unicidad a los racionales y hace que sea imposible hallar una continuidad empleando racionales, por más pequeña sea la distancia que los separa.

Ahora bien, con los irracionales parece que, en cierto modo, sí se podría hallar algún tipo de continuidad; en la medida que para ellos la ecuación \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \), tiene sentido y solución.

Por ejemplo, como hemos visto la ecuación \( x=x\pm{y} \) nunca va a tener solución en los racionales por ser una contradicción. Ahora bien, siendo $$x$$ un número cuadrado y $$y$$ un entero tal que $$\pm{y}=x-2b^2$$, siendo $$b$$ un natural tal que $$x=b^2+(b+1)^2$$, entonces, y sólo entonces, esta ecuación tiene solución irracional cuando $$x,b,y$$ son números "naturales" infinitamente grandes. Y es entonces, con tales valores infinitamente grandes para $$x,b,y$$ obtenemos:

\( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{\sqrt[ 2]{x}}{b} \)

Por tanto, la suposición de la existencia de irracionales, como raíz de 2, implica la suposición de que existen números supranaturales, o suprarracionales. Pero esto es sólo una forma de interpretarlo. Podríamos considerar que raíz de 2 es, simplemente, una operación si bien precisa sin un valor concreto, de la que podemos desarrollar diferentes formas equivalentes; y ya está.

En este sentido, sucede lo mismo con considerar que con los números naturales podemos generar subconjuntos de infinitos elementos, como el conjunto de todos los naturales, o el conjunto de todos los pares. Imaginar la existencia de tales conjuntos, me parece parejo a imaginar la existencia de número irracionales.

El conjunto de todos los naturales, por ejemplo, es un llevar al infinito esta iteración de subconjuntos finitos:

\( \left\{{1}\right\} \)
\( \left\{{1,2}\right\} \)
\( \left\{{1,2,3}\right\} \)
\( \left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

\( \left\{{1,2,3,4,...}\right\} \), este es el conjunto de todos los naturales.

La cardinalidad de cada uno de estos subconjuntos viene dada por su último elemento.

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todos los naturales? ¿Si tal conjunto carece de último elemento como va a carecer de una cardinalidad? Sin embargo, hemos decidido considerar que el último elemento es indeterminado y por eso se toma que su cardinal es infinito (valor indeterminado).

Así pues, esta es la contradicción en los conjuntos: el conjunto de todos los naturales no puede tener un número concreto y determinado de elementos porque no hay un último natural, precisamente porque para cada natural $$x, x+1\neq x$$. Y como no existe un último natural, entonces pueden haber tantos naturales como queramos; hecho que nos lleva al infinito, donde la expresión $$x+1\neq x$$ deja de ser una contradicción y la transitividad de los naturales desaparece.

Por tanto el cardinal del conjunto de todos los naturales debe de ser una solución a la ecuación $$x+1= x$$. Y eso sólo es posible tomando elementos irracionales, como una serie infinita S=1+1+1+1..., por ejemplo.

Y de esta idea, quizás se puedan derivar algunas otras...

Un saludo.

[sugata]

Decir que el cardinal de los naturales es la solución a esa ecuación es absurdo.
\( x+1=x\Longrightarrow{}1=0 \)
Y esto no tiene solución tomes series, integrales o hipopótamos.

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que intento mostrar es que no hay solución racional posible para esta expresión:

\( x+1=x=x-1 \), o su equivalente \( x+y=x=x-y \), cuando \( y\neq0 \)

¿Por racional te refieres a que no existe ningún número racional (con el significado que le damos todos los matemáticos) qué cumpla \( x+1=x=x-1 \)?.

Pues todos estamos de acuerdo en que no existe ningún racional \( x \) y tampoco un número real que cumpla esas dos ecuaciones. No se porque pierdes el tiempo intentado mostrar eso.

Tampoco veo que lo intentes "mostrar" (¿demostrar?). Lo dices y luego empiezas a sacar conclusiones que no vienen a cuento.

Y me pregunto: ¿Por qué no hay solución racional posible?
Ciertamente, una respuesta puede ser: -porque no hay solución racional y ya está. ¿Para qué darle vueltas?

Por que si \( x=x+1 \) restando \( x \) a ambos lados tendríamos \( x-x=x+1-x \) y \( 0=1 \) y el cero y el uno por definición son distintos.

Vale, sin embargo, intento divagar un poco. Y mi respuesta es: porque para cualquier racional esta operación genera una contradicción.

Si, bueno es la demostración que he hecho arriba: por reducción al absurdo. Pero vale para cualquier número real, no hace falta hablar de racionales.

Como curiosidad freaky, diría que esto se saca de Platón: en el Sofista critica el razonamiento de Parménides según el cual la negación del ser es, simplemente, su contrario: el No ser. Ello nos llevaba a sostener que sólo existe el ser, porque lo que no es, pues no es porque por definición de contrario no puede ser. Y si solo puede ser el ser, entonces la multiplicidad, el cambio, el mundo físico, no puede ser y por ello, no existe en realidad. Hecho que resulta empíricamente absurdo, es decir contradice nuestra vida diaria.

Platón lo reformula y dice que lo  opuesto al Ser no es el No Ser sin más, sino todo lo que no es propiamente ser. O dicho de otra manera, lo que es otra cosa diferente al ser. Y con ello se ve capaz de justificar nuestra vida diaria.

Así pues, explica que lo contrario del Bien, no es necesariamente el mal, su opuesto directo, sino otra cosa diferente que el Bien, entre las cuales puede estar también el mal obviamente... O que lo contrario del saber, no tiene porque ser directamente la ignorancia, sino algo diferente al saber, etc.

 Y disculpa si soy borde o "ñú" con esto. Pero sacar aquí a Platón es "ruido"; es desviar el debate y una pérdida de tiempo.
 

Y una de las formas aritméticas que carece de solución racional es \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \). Pero además, es la expresión del principio de continuidad, el cual parece ser una violación del principio de transitividad.

Lo que he marcado en rojo para mi no significa nada.

En base a ello entiendo que la sucesión de números racionales no genera jamás un continuo, porque siempre es transitiva: todo número racional $$x$$ se distingue y separa de otro por una distancia arbitraria \( y \).

Igual que en los enteros, en los racionales, en los reales: todo par de números diferentes se distancian por una distancia arbitraria. ¿Y bien?

Para que la sucesión de racionales fuera continua debería de ser posible hallar un racional $$x$$ tal que \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \). Y eso es imposible. A no ser que "llevemos tal operación al infinito" a través de en series infinitas, o de raíz de 2 por ejemplo.

Pues yo diría que \( x+y=x=x-y \) con \( y\neq 0 \) aunque uses irracionaes, o raíces... así que no se que quieres decir.

En tal caso, aparecen "números irracionales"

,

Como te digo no se que relación hay entre las ecuaciones  \( x+y=x=x-y \) u los números irracionales. En mi opinión ninguna. Y no veo que nada de lo que dices ponga de manifiesto esa relación.

los cuales parecen dejar de seguir una transitividad pura y dura, y muestran un cierto grado de continuidad.

No se que significado estás dando a aqui a "transitividad pura y dura" ni a "cierto grado de continuidad".

Pues a diferencia de los racionales, éstos no parecen ser números unitarios, concisos y lógicos.

No se que entiendes por unitario, conciso y lógico.

Sospecho que por unitario, en el fondo, quieres decir que no se puede escribir como cociente de enteros. Lo de conciso y lógico, no tengo ni idea de que significado preciso les estás dando.

Nos resulta imposible medir raíz de 2, o colocarlo con cierta precisión arbitraria $$y$$ entre dos racionales cualquiera, y con ello saber la distancia precisa que hay entre raíz de 2 y cualquier racional; pues no hay distancia concreta al no ser un número concreto y racional.

Por ejemplo, imaginamos que \( \sqrt[ 2]{2} \) está en algún lugar MAS ALLÁ de los racionales entre \( \displaystyle\frac{17}{12} \) y \( \displaystyle\frac{41}{29} \). Y si bien sabemos la distancia exacta que separa \( \displaystyle\frac{17}{12} \) de \( \displaystyle\frac{41}{29} \), \( \displaystyle\frac{1}{348} \), resulta imposible saber la distancia entre \( \sqrt[ 2]{2} \) y \( \displaystyle\frac{17}{12} \) o entre  \( \sqrt[ 2]{2} \) y \( \displaystyle\frac{41}{29} \)

Sospecho que todo tu problema es que no somos capaces de dar una expresión decimal finita de \( \sqrt{2} \). Pero eso es una forma de nombrar un número. No la única. Y eso no impide manipular \( \sqrt{2} \) con total precisión.

Dado cualquier número racional \( x=n/m \) uno puede determinar con total precisión si \( x>\sqrt{2} \) ó si \( x<\sqrt{2} \), simplemente comparando \( x^2 \) con \( 2 \).

También puede operarlo con cualquier número y manipular el resultado obtenido.

Entre racionales dada una distancia arbitrariamente grande o pequeña, $$y$$, siempre encontramos otro racional diferente. Este es le principio de transitividad: para cualquier racional hay siempre una distancia concreta y precisa con otro racional.

Igual que entre cualquier par de números reales.

Ahora bien, con los irracionales parece que, en cierto modo, sí se podría hallar algún tipo de continuidad; en la medida que para ellos la ecuación \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \), tiene sentido y solución.

¿A sí?¿Y cuál es? Venga dime dos irracionales \( x,y  \)con \( y\neq 0 \) que cumplan que \( x+y=x=x-y \)?.

Por ejemplo, como hemos visto la ecuación \( x=x\pm{y} \) nunca va a tener solución en los racionales por ser una contradicción. Ahora bien, siendo $$x$$ un número cuadrado y $$y$$ un entero tal que $$\pm{y}=x-2b^2$$, siendo $$b$$ un natural tal que $$x=b^2+(b+1)^2$$, entonces, y sólo entonces, esta ecuación tiene solución irracional cuando $$x,b,y$$ son números "naturales" infinitamente grandes. Y es entonces, con tales valores infinitamente grandes para $$x,b,y$$ obtenemos:

\( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{\sqrt[ 2]{x}}{b} \)

NO entiendo nada de este ejemplo.

Dices \( x \) un número cuadrado. ¿El cuadrado de un entero? Luego dices que en realidad \( x=b^2+(b+1)^2 \) e \( \pm y=x-2b^2 \).

Sea como sea si planteas \( x=x\pm y \) de ahí obtendrás así manejes números enteros, racionales, irracionales o reales: \( y=0 \).

No se que son números naturales "infinitamente grandes". Ni mucho menos como llegas a:

\( \sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{\sqrt[ 2]{x}}{b} \)

Por tanto, la suposición de la existencia de irracionales, como raíz de 2, implica la suposición de que existen números supranaturales, o suprarracionales.

Y dos nuevos nombres para la colección...

Continuará...

AÑADIDO:

El conjunto de todos los naturales, por ejemplo, es un llevar al infinito esta iteración de subconjuntos finitos:

\( \left\{{1}\right\} \)
\( \left\{{1,2}\right\} \)
\( \left\{{1,2,3}\right\} \)
\( \left\{{1,2,3,4}\right\} \)
...

\( \left\{{1,2,3,4,...}\right\} \), este es el conjunto de todos los naturales.

La cardinalidad de cada uno de estos subconjuntos viene dada por su último elemento.

Nada. Eso te lo sacas de la manga. La cardinalidad es algo intrínseco al propio conjunto, no al nombre de sus elementos ni a establecer un orden en ellos.

podrías escribir:

\( \{1\} \)
\( \{7,8\} \)
\( \{1,3,2\} \)
\( \{f,w,p,q\} \)

e igualmente son conjuntos de cardinal \( 1,2,3,4,\ldots \).

Los conjuntos de cardinal UNO son todos los biyectivos con \( \{\emptyset\} \) o si prefieres con \( \{1\} \).
Los conjuntos de cardinal DOS son todos los biyectivos con \( \{\emptyset,\{\emptyset\}\} \) o si prefieres con \( \{1,2\} \).

y así sucesivamente...

Una vez definido el conjunto los naturales es cuando al mismo tiempo se tiene definida su cardinalidad; cualquier conjunto biyectivo con él tiene la misma cardinalidad que él

¿Cuál es la cardinalidad del conjunto de todos los naturales? ¿Si tal conjunto carece de último elemento como va a carecer de una cardinalidad?

No tiene nada que ver.

Sin embargo, hemos decidido considerar que el último elemento es indeterminado y por eso se toma que su cardinal es infinito (valor indeterminado).

No tiene nada que ver. Te basas en concepciones erróneas de como se definen las cosas.

Así pues, esta es la contradicción en los conjuntos: el conjunto de todos los naturales no puede tener un número concreto y determinado de elementos porque no hay un último natural, precisamente porque para cada natural $$x, x+1\neq x$$.

No hay ninguna contradicción ahí.

Y como no existe un último natural, entonces pueden haber tantos naturales como queramos; hecho que nos lleva al infinito, donde la expresión $$x+1\neq x$$ deja de ser una contradicción y la transitividad de los naturales desaparece.

Nada de contradicción. Es cierto que definiendo correcta y precisa cierta aritmética de infinitos, el cardinal de los naturales es solución de $$x+1\neq x$$.

Por tanto el cardinal del conjunto de todos los naturales debe de ser una solución a la ecuación $$x+1= x$$. Y eso sólo es posible tomando elementos irracionales, como una serie infinita S=1+1+1+1..., por ejemplo.

Y aquí otra vez ese "salto mortal" que no se de donde sacas. Vale que bajo definiciones precisas $$\infty$$ es solución de $$x+1=x$$. ¡Pero qué tendrá que ver eso con los números irracionales!: NADA.

Saludos.

[RDC]

Decir que el cardinal de los naturales es la solución a esa ecuación es absurdo.
\( x+1=x\Longrightarrow{}1=0 \)
Y esto no tiene solución tomes series, integrales o hipopótamos.

Buenos días sugata.

si \( x=1+1+1+1+1+... \) 

entonces \( x+1=x \), sin problemas

saludos

[Luis Fuentes]

Hola

si \( x=1+1+1+1+1+... \) 

entonces \( x+1=x \), sin problemas

"Sin problema". Si con la definición usual de límite infinito de una sucesión tenemos en cuenta que:

\( x=1+1+1+1+\ldots=\infty \)

y definimos así la operación suma para infinitos:

\( \infty+1=\infty \)

entonces \( x=\infty \) sería una solución de esa ecuación. Pero:

1) Te empeñas (o esa impresión da) en usar lo anterior para distinguir racionales de números irracionales y no tiene nada que ver.
2) Una vez más. ¿Y qué problema hay que para una operación, la que sea, haya elementos que cumplen \( x*y=x \)? La sensación es que te empeñas en buscar algo ahí que se sale de las reglas de la lógica o algo así; y para nada. Hay multitud de contextos y operaciones en matemáticas donde se da esa propiedad. Te puse como ejemplo la unión de conjuntos.

Saludos.

[RDC]

Buenos días Luís.

Hola

Lo que intento mostrar es que no hay solución racional posible para esta expresión:

\( x+1=x=x-1 \), o su equivalente \( x+y=x=x-y \), cuando \( y\neq0 \)

¿Por racional te refieres a que no existe ningún número racional (con el significado que le damos todos los matemáticos) qué cumpla \( x+1=x=x-1 \)?.

Pues todos estamos de acuerdo en que no existe ningún racional \( x \) y tampoco un número real que cumpla esas dos ecuaciones. No se porque pierdes el tiempo intentado mostrar eso.

Tampoco veo que lo intentes "mostrar" (¿demostrar?). Lo dices y luego empiezas a sacar conclusiones que no vienen a cuento.

Sí, racional es lo que se considera como número racional o elemento de $$\Bbb Q$$:  1, 134, -56,4/3,78/1256,-5/9, etc

Los racionales son los números mesurables (razón no significa más que "medida"). Y medir no es más que el poder comparar algo con una unidad o un patrón de referencia de forma clara. En este sentido, un número racional es un número reducible, comparable o referenciable de forma clara a una unidad.

Lo que parece caracterizar a los números racionales es que cumplen y dan solución a una serie de ecuaciones o operaciones, mientras hay otras que nunca cumplen o hay solución.

Por ejemplo, si tomamos $$x$$ como racional entonces:

1) x=x .

Cualquier racional es solución de esta ecuación. Pero es más, ¿acaso hay otra ecuación como esta, es decir, que todo racional posible sea solución de ella? A bote pronto diría que no, con lo cual ¿por qué no identificar esta operación como un principio fundamental de la aritmética, y acaso la forma de expresar "el principio de identidad" en este ámbito?

2) \( x+y=x=x-y \) , siendo $$y$$ un racional cualquiera diferente de $$0$$.

Estamos de acuerdo que ningún racional cumple tal operación; y de hecho, salta a la vista que es una transgresión a la ecuación 1). Pero es más; esta operación nos informa de que si algún racional fuera solución suya entonces, dado un racional $$x$$, y restándole o sumándole otro racional $$y$$, continuaríamos obteniendo $$x$$. Por tanto, $$x$$ ya no sería "un punto" en medio de otros puntos, sino una "continuidad" algo difusa.

En tal sentido, pues, que no haya solución racional alguna para \( x+y=x=x-y \) , siendo $$y$$ un racional cualquiera diferente de $$0$$, parece indicar que todo racional es siempre puntual, y por tanto, está rodeado de infinitos racionales que son, a su vez, puntuales. Y entiendo que esto mismo es el principio de transitividad: dado un $$x$$ y sumándole o restándole un racional cualquiera $$y$$, siempre encontramos otro racional diferente $$z$$.

De modo que el principio de transitividad asegura que entre dos racionales cualquiera siempre habrá una distancia $$y$$ clara y precisa, es decir, muy bien determinada.

Y me pregunto: ¿Por qué no hay solución racional posible?
Ciertamente, una respuesta puede ser: -porque no hay solución racional y ya está. ¿Para qué darle vueltas?

Por que si \( x=x+1 \) restando \( x \) a ambos lados tendríamos \( x-x=x+1-x \) y \( 0=1 \) y el cero y el uno por definición son distintos.

Vale, sin embargo, intento divagar un poco. Y mi respuesta es: porque para cualquier racional esta operación genera una contradicción.

Si, bueno es la demostración que he hecho arriba: por reducción al absurdo. Pero vale para cualquier número real, no hace falta hablar de racionales.

Como curiosidad freaky, diría que esto se saca de Platón: en el Sofista critica el razonamiento de Parménides según el cual la negación del ser es, simplemente, su contrario: el No ser. Ello nos llevaba a sostener que sólo existe el ser, porque lo que no es, pues no es porque por definición de contrario no puede ser. Y si solo puede ser el ser, entonces la multiplicidad, el cambio, el mundo físico, no puede ser y por ello, no existe en realidad. Hecho que resulta empíricamente absurdo, es decir contradice nuestra vida diaria.

Platón lo reformula y dice que lo  opuesto al Ser no es el No Ser sin más, sino todo lo que no es propiamente ser. O dicho de otra manera, lo que es otra cosa diferente al ser. Y con ello se ve capaz de justificar nuestra vida diaria.

Así pues, explica que lo contrario del Bien, no es necesariamente el mal, su opuesto directo, sino otra cosa diferente que el Bien, entre las cuales puede estar también el mal obviamente... O que lo contrario del saber, no tiene porque ser directamente la ignorancia, sino algo diferente al saber, etc.

 Y disculpa si soy borde o "ñú" con esto. Pero sacar aquí a Platón es "ruido"; es desviar el debate y una pérdida de tiempo.

Sabía que dirías eso, Luís . Sólo era una anécdota histórico-especulativa para mostrar que nuestras ideas no surgen por generación espontánea, ni nos caen del cielo, ni nacemos con ellas dentro y por eso cabría esperar que fueran las únicas y verdaderas; más bien evolucionan: pasan por diferentes etapas a través de múltiples expresiones y así se van desarrollando, hasta que al final, suelen también morir en manos de otras ideas -o se integran y disuelven en ellas.

Quería mostrar, pues, como los principios de identidad y no contradicción han pasado por diferentes etapas, y cómo es necesario buscar formas de expresarlos o materializarlos según los ámbitos (el ámbito de los silogismos clásicos, o de los lenguajes formales, o de la aritmética, etc) porque como ideas tal cuales, saben muy etéreos; o como gusta a muchos decir: muy filosóficos  .

Y una de las formas aritméticas que carece de solución racional es \( x+y=x=x-y \), con \( y\neq0 \). Pero además, es la expresión del principio de continuidad, el cual parece ser una violación del principio de transitividad.

Lo que he marcado en rojo para mi no significa nada.

Como ya he comentado arriba, entiendo que el principio de transitividad es el que asegura que los racionales, que siempre lo cumplen, sean elementos puntuales o atómicos, y por tanto para pasar de un racional a otro sea necesario, siempre, hacer un salto: salvar una distancia o separación, $$y$$, siempre muy concreta y precisa.

La continuidad, en cambio, es el pasar de un valor a otro sin hacer saltos, sin que haya una distancia entre ambos. Por ejemplo:

La continuidad implica que se cumpla:

$$3=3+1=4$$

De modo que:

$$3-3=\pm{1}$$

Como ya he dicho, ningún racional cumple esta ecuación de continuidad, que implica romper su transitividad y por tanto, su identidad puntual. ¿Quién sí lo cumple? Pues los elementos irracionales, es decir, elementos que se han llevado, de algún modo, hasta el infinito. Así se aprecia clarísimamente con los infinitesimales, que no son transitivos en la medida que expresan, precisamente, una continuidad al ser solución a expresión del tipo $$x-x=\pm{y}$$, con $$y\neq  0$$

Y aquí es donde vemos que operaciones que no pueden tener soluciones en los racionales, pues generan una contradicción, tienen solución si las llevamos al infinito. Por ejemplo la operación $$\sqrt[ 2]{2}$$.

Suponemos que $$\sqrt[ 2]{2}$$ es un número racional, único y específico, y por ello transitivo y perfectamente distinguible de los infinitos otros racionales que le rodean. Entonces:

$$\sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}$$, siendo a,b dos números coprimos cualqueira.

$$2b^2=a^2$$

$$2b^2+ab=ab+a^2$$

$$b(2b+a)=a(b+a)$$

$$\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}=\displaystyle\frac{a}{b}$$

Esto implica que $$2b+a=a$$ y que $$b+a=b$$, que son claramente una contradicción para cualquier valor racional que tomen $$a,b$$, pues exige romper la transitividad. Y sin embargo, $$\sqrt[2]{2}$$ exige romperla.

Lo que sí que tenemos, entonces, es la escalera de Eudoxo según la cual:

$$\displaystyle\frac{a}{b}\approx{\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}}$$, mientras se supone que si llevamos a,b a valores infinitamente grandes entonces esta aproximación se convierta, finalmente, en una igualdad y termina la búsqueda porque se ha encontrado el valor de $$\sqrt[2]{2}$$.

Por tanto, pienso que podemos afirmar que:

 $$\sqrt[2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{2b+a}{b+a}$$. Y esto sólo se cumple llevando $$a,b$$ al infinito.

En base a ello entiendo que la sucesión de números racionales no genera jamás un continuo, porque siempre es transitiva: todo número racional $$x$$ se distingue y separa de otro por una distancia arbitraria \( y \).

Igual que en los enteros, en los racionales, en los reales: todo par de números diferentes se distancian por una distancia arbitraria. ¿Y bien?

Precisamente esto quería mostrar. Los irracionales, que son valores que se generan llevando a ciertos racionales al infinito hasta romper su transitividad, no se distancian unos de otros de forma clara y precisa; tal y como sucede con los racionales.

Es cierto que $$\pi>\sqrt[2]{2}$$. Pero lo sabemos por una burda aproximación racional y nada más. Es decir, es cierto que podemos tratar un elemento irracional de forma pseudoracional y por ello pseudopuntual, por ejemplo:

\( \pi=\pi  \), y que \( \pi\pm{y}\neq\ \pi \) , pero eso sólo tiene sentido empleando aproximaciones racionales. De hecho, ¿sabríamos dar un valor y con él, cierta transitividad aparente, a un irracional sin emplear aproximaciones racionales? Ya no digo decimales, sino directamente racionales. Diría que no, pero igual me equivoco.

Y si se me dice: -pero $$\pi$$ tiene una valor concreto más allá de nuestras racionalizaciones-. Lo cierto es que lo único que tenemos de $$\pi$$ son una serie de operaciones equivalentes o simétricas entre sí  y que resulta imposible sacar de ellas una racionalización completa, es decir, hallar una valor concreto, preciso y claro de ellas, mientras imaginamos que si las llevamos al infinito, entonces ahí habrá un valor. Aunque en realidad no sabemos qué significa qué es un valor más allá de lo medible, finito, puntual y concreto. 

Por tanto, lo que muestro es que el valor de un irracional como $$\pi$$, o bien, $$\sqrt[2]{2}$$ por ejemplo, implica, de algún modo, romper la transitividad en pos de una cierta continuidad.  Y si nos imaginamos que es un valor que existe MAS ALLÁ de los racionales, entonces, un valor tal se vuelve muy confuso y oscuro, porque nosotros sólo podemos pensar y distinguir valores mediante racionales. E insisto, ya no digo emplear decimales, digo directamente racionales.

Este es la duda de fondo que me mueve en este tema: Cantor imagina que lo irracional, lo que llevamos al infinito o más allá de todos lo racional, finito y medible, se comporta igual y sigue la misma lógica.  Yo de eso dudo. Nada más.

un saludo!

Pd/ lo de supranaturales no es más que números naturales tan grandes como queramos, o de valor infinito; en fin, lo que debería ser $$a,b$$ para que $$\sqrt[ 2]{2}=\displaystyle\frac{a}{b}=\displaystyle\frac{2b+a}{a+b}$$ tuviera un valor.