Buenas tardes Luís!
Hola
Con ello, de algún modo, me he acordado del producto de Wallis
https://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_Wallis
Luego he vuelto a pensar con lo que ya comenté en el otro hilo sobre "los números tan grandes como queramos" y lo que ya me comentó Luís: que acaso serían algo parecido a los irracionales, y por tanto no se considerarían naturales.
La cosa que intentaba que entendieses en el otro hilo, es que si a ti ahora te da por considerar un número natural a \( 2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdot \ldots \) (y así con otros productos infinitos), entonces estás tomando como conjunto de naturales a una cosa distinta de lo que todo el mundo llama naturales.
Sí, sí, sí, ya me di cuenta cuando me lo comentaste en el otro hilo.
Ojo, estás en tu derecho, digamos. Pero ni siquiera eso contradeciría el Teorema de Cantor.
Tu tendrías un conjunto de "naturales" al que voy a nombrar \( \Bbb M \) para distinguirlo de los naturales "normales" \( \Bbb N \).
Podrías demostrar entonces que hay una biyección entre \( \Bbb M \) y \( P(\Bbb N) \). Pero eso no contradice el Teorema de Cantor que lo que afirma es que (*):
- NO hay una biyección entre \( \Bbb N \) y \( P(\Bbb N) \).
- NO hay una biyección entre \( \Bbb M \) y \( P(\Bbb M) \) (sea lo que sea que tomes como conjunto \( \Bbb M \)).
Esto que dices es muy interesante.
Y aquí estoy completamente de acuerdo: al infinito se disuelven las contradicciones duras, pero a costa de generar entidades difusas y por tanto de una especie diferente; entidades irracionales e infinitas.
Mi problema con este tipo de afirmaciones es que me parecen subjetivas y ambiguas, entonces no tengo mucho que decir al respecto.
Matemáticamente supongo que se puede expresar así:
Tomamos \( x=-x \) como un ejemplo de sistema lógico simple que expresa una contradicción que a mi parecer, conceptualmente hablando, se asemeja a lo que halla Cantor (si existe el conjunto B entonces no puede existir, etc).
Entonces, se puede demostrar que esta contradicción se mantendrá para cualquier otro sistema que le sea equivalente, o para los distintos casos que pueda adquirir el sistema:
\( x+1=1-x \)
Continua expresando la contradicción.\( x+1+1=1+1-x \)
Continua expresando la contradicción....
Así pues, demostramos lo siguiente:
Dado un sistema A contradictorio para el caso \( x \), entonces por inducción será también contradictorio para el caso \( x+1 \)
Ahora bien, que este sistema sea contradictorio para cualquier caso \( x+1 \), no significa que lo sea "siempre". De hecho, basta llevarlo al infinito para disolver la contradicción al obtener, entonces, la siguiente entidad infinita o irracional:
\( x+1+1+...=-x+1+1+1... \) \( \Longleftrightarrow{2x+1+1+...=1+1+1+...} \)
Y está claro que, independientemente del valor natural de \( x \), esta igualdad al infinito ya no mostrará una contradicción, sino que obtendremos, acaso, una indeterminación (aunque incluso, bajo ciertas circunstancias, le podemos atribuir una valor concreto). Hemos transformado, pues, lo contradictorio en lo indeterminado, o infinito.
Así, pues, es lo que me parece que sucede con el argumento de Cantor si lo llevamos a conjuntos infinitos: se elimina la contradicción de su argumento, a cambio de generar entidades indeterminadas, irracionales, en fin, infinitas; como los conjuntos infinitos tipo "el conjunto de todos los naturales".
En tal sentido, lo que aprecio es que no es posible establecer funciones o
emparejamientos generales entre elementos bien definidos, acaso los números naturales o racionales concretos, y elementos indeterminados(acaso conjuntos infinitos, etc), precisamente, por eso mismo. Me parece como intentar mezclar agua con aceite.
Es cierto, pero, que si este parecer mío fuera correcto entonces debería de ser posible de hacer lo que has comentado que no se se puede dar:
- NO hay una biyección entre \( \Bbb M \) y \( P(\Bbb M) \) (sea lo que sea que tomes como conjunto \( \Bbb M \)).
Quizás me precipite, pero a vuelapluma he pensado en la siguiente propuesta:
Supongamos el conjunto \( \Bbb M \), que contiene entidades indeterminadas, \( m_n \), y con las que podemos definir, precisamente, los subconjuntos infinitos; acaso \( \Bbb N \). Cabría ver estas entidades como dinámicas en vez de fijas, al estilo de las fluxiones(Newton), mónadas(Leibniz), números tan grandes como queramos (Euler). A modo de ejemplo con los naturales:
\( \Bbb N=\left\{{1,2,3,4,5,...}\right\}=\left\{{1,2,3,4,5...,m_{\Bbb N}}\right\}, m_{\Bbb N}\in{\Bbb M} \)
Y dado que \( m_{\Bbb N} \) es una entidad dinámica, entonces, quizás también se pueda expresar el conjunto de los naturales simplemente como:
\( \Bbb N=\left\{{...,m_{\Bbb N}}\right\} \)
En tal sentido, si para emparejar \( P(\Bbb N) \) usamos, por ejemplo, la función que comenté ayer y según la cual cada número natural de cada término del elemento de \( P(\Bbb N) \) es expresado como el número primo de la lista de primos, y luego todos se multiplican; tenemos por ejemplo que:
\( f(3·5·7·11·13·17·19·...)=\left\{{1,2,3,4,5,...}\right\}=\left\{{...,m_{\Bbb N}}\right\} \), siendo:
\( 3·5·7·11·13·17·19·...=m_n, \) con \( m_n\in{\Bbb M} \)
Y que
\( f(3^2·5·7·11·13·...)=\left\{{1,m_{\Bbb N}}\right\} \) siendo \( 3^2·5·7·11·13·...=m_a \)
\( f(3·5^2·7·11·13·...)=\left\{{2,m_{\Bbb N}}\right\} \) siendo \( 3·5^2·7·11·13·...=m_b \)
...
Con lo cual, finalmente:
\( f(3^3·5·7·11·13·...)=\left\{{m_{\Bbb N}}\right\} \) siendo \( 3^3·5·7·11·13·...=m_z \)
Como bien has indicado Luís, de esta forma es posible emparejar \( \Bbb M \) con los elementos infinitos de \( P(\Bbb N) \). Y además, me parece si no me equivoco, que al mismo tiempo también demostramos que siempre existe un \( f(m_x))=m_n \).
Lo que ahora faltaría por ver es si sería posible emparejar todos los subconjuntos de infinitos elementos de \( \Bbb M \), tipo \( M_1=\left\{{m_a,m_b,m_c,...}\right\} \), con elementos de \( \Bbb M \).
A bote pronto parece que volveríamos a tropezar con el mismo dilema que teníamos para emparejar naturales, o racionales, con conjuntos de infinitos naturales. Además, como dices Luís, debemos tener en cuenta que el argumento de Cantor debería de persistir al emparejar \( f:\Bbb M\longrightarrow{P(\Bbb M)} \), porque Cantor no discierne tipologías de conjuntos.
Sin embargo, me parece que aquí hay una diferencia substancial que no teníamos antes y que, quizás, no sólo impida aplicar el argumento de Cantor sino que también permite "saltarse" el problema que tuvimos antes con el emparejamiento de conjuntos infinitos con elementos finitos.
La diferencia es que por antiimagen ahora tenemos elementos indeterminados, dinámicos, infinitos, en vez de elementos fijos, concretos, que siguen las normas lógicas (de identidad, de no contradicción, del todo mayor que las partes, etc) como son los naturales o racionales.
En particular, la exigencia para constituir el conjunto B tomando los elementos de \( \Bbb M \) que no estén en su propia imagen, parece perder efecto y sentido (seguramente debería ahondar en esta idea).
O visto de otro modo. Tenemos que para los elementos \( \Bbb M \) siempre sucede, de un modo u otro, algo imposible para elementos finitos y que rompería esa imposibilidad de emparejar biyectivamente naturales y conjuntos infinitos:
Supongamos que tenemos un conjunto de infinitos elementos de \( \Bbb M \), entonces apreciamos lo siguiente:
\( M_1=\left\{{m_a,m_b,m_c,...}\right\}=\left\{{...,m_x}\right\} \)
Por tanto, ya lo tendríamos definido.
Con lo cual, podríamos afirmar que \( card(\Bbb M)=card(P(\Bbb M)) \)
En fin, pues, esta es la idea.
un saludo.
